Comments on: Kurt Gödel en zijn onvolledigheidsstelling

By: Wiskundemeisjes » Blog Archive » Vallende sterren (10)

Wiskundemeisjes » Blog Archive » Vallende sterren (10) — Thu, 09 Apr 2009 07:42:10 +0000

[...] Onder Hilbert werkte hij aan het axiomatiseren van de wiskunde. In diezelfde tijd bewees Gödel zijn onvolledigheidsstelling. Gentzen was eerst ongerust dat dit gevolgen had voor zijn werk, maar later schreef hij dat het [...]

By: bjorn

bjorn — Fri, 07 Mar 2008 18:22:19 +0000

wat zijn aalle cijfers cmet 123 er mogen maar 3 getallen zijn

By: Joop Theunissen

Joop Theunissen — Wed, 06 Feb 2008 13:11:39 +0000

Toevallig loop ik aan tegen een paar reacties op mijn opmerking dat er geen oneindige verzamelingen zijn, zoals er wel eindige verzamelingen zijn. Een opmerking: iemand gebruikt de uitdrukking Oneindig aantal elementen. Brrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Hartelijke groetjes.
Joop Theunissen

By: Wiskundemeisjes » Vallende sterren (1)

Wiskundemeisjes » Vallende sterren (1) — Fri, 12 Oct 2007 13:43:12 +0000

[...] wiskundige is de beroemde Kurt Gödel. We schreven al eerder over Gödel en zijn onvolledigheidsstelling en over de film die onlangs over zijn leven gemaakt [...]

By: Arno van Asseldonk

Arno van Asseldonk — Sun, 09 Sep 2007 19:41:35 +0000

@Joop Theunissen: In de wiskunde verstaan we onder een verzameling een aantal bij elkaar genomen of gedachte objecten. Deze objecten noemen we de elementen van de desbetreffende verzameling. Het aantal elementen van een verzameling noemen we het kardinaalgetal van deze verzameling.
Als je het begrip verzameling uitsluitend in de alledaagse betekenis van het woord opvat, kan een verzameling inderdaad alleen maar eindig zijn omdat zo’n verzameling slechts een eindig aantal elementen bevat, maar als je het begrip verzameling in de strikt wiskundige betekenis van het woord opvat, dan bestaan er naast eindige verzamelingen ook oneindige verzamelingen, ofwel verzamelingen met een oneindig aantal elementen. De verzameling van de natuurlijke getallen, dus de verzameling getallen 1, 2, 3,… is in dat verband een bekend voorbeeld.
Zoals ik al aangaf noemen we aantal elementen van een verzameling het kardinaalgetal van deze verzameling. Als het aantal elementen van zo’n verzameling eindig is, zeggen we dat zo’n verzameling een finiet kardinaalgetal heeft. Zo zal een verzameling met 4 elementen het finiete kardinaalgetal 4 hebben.
Als het aantal elementen van zo’n verzameling
oneindig is, zoals bij de verzameling natuurlijke getallen, zeggen we dat zo’n verzameling een transfiniet kardinaalgetal heeft.
Als 2 verzamelingen hetzelfde kardinaalgetal hebben, en dus hetzelfde aantal elementen hebben, zeggen we dat deze verzamelingen gelijkmachtig zijn. Je kunt dan ieder element van de ene verzameling koppelen aan ieder element van de andere verzameling via een zogenaamde een-op-een-relatie.
Wanneer we naast de natuurlijke getallen ook nog het getal 0 en de negatieve gehele getallen -1, -2, -3,… erbij nemen krijgen we de verzameling gehele getallen, en als we de verzameling nemen van alle gebroken getallen, ofwel alle getallen van de vorm a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn en b niet 0 is, dan krijgen we de verzameling rationale getallen.
Het blijkt nu dat de verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen hetzelfde aantal elementen hebben als de natuurlijke getallen. Ze zijn dus oneindige verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de verzameling natuurlijke getallen. We noemen een oneindige verzameling die gelijkmachtig is met de verzameling natuurlijke getallen een aftelbare verzameling. De verzameling gehele getallen en de verzameling rationale getallen zijn dus aftelbaar, zoals dat heet. Aan ieder element van een aftelbare verzameling kan dus via een een-op-een-relatie een natuurlijk getal worden gekoppeld, en omgekeerd. Wanneer het niet mogelijk is om aan ieder element van een oneindige verzameling via een een-op-een-relatie een natuurlijk getal te koppelen, en ook niet omgekeerd, noemen we zo’n oneindige verzameling een overaftelbare verzameling. Een voorbeeld van zo’n overaftelbare verzameling is de verzameling oneindige decimale breuken tussen 0 en 1. Deze verzameling is gelijkmachtig met de verzameling reële getallen. De verzameling reële getallen bevat naast de rationale getallen de irrationale getallen, ofwel de getallen die niet als een rationaal getal kunnen worden geschreven, zoals bijvoorbeeld het getal pi.
Een overaftelbare verzameling is weliswaar ook een oneidige verzameling, maar met meer elementen dan een aftelbare verzameling, dus een overaftelbare verzameling heeft meer elementen dan de verzameling natuurlijke getallen. We zien dus dat er niet alleen diverse oneindige verzamelingen bestaan, maar dat er zelfs oneindige verzamelingen met een verschillend (transfiniet) kardinaalgetal kunnen bestaan, en het blijkt zelfs dat het aantal verschillende (transfiniete) kardinaalgetallen zelf ook weer oneindig is.

By: Marco

Marco — Sun, 09 Sep 2007 15:36:43 +0000

@Joop Theunissen: Als je onder een `verzameling’ het resultaat van het woord `verzamelen’ verstaat, dan zal een oneindige verzameling natuurlijk niet bestaan. Maar er is ook het wiskundige begrip `verzameling’, wat een soort basisbegrip is in de wiskunde. Als voorbeelden van verzamelingen kan je dan denken aan de verzameling van alle gehele getallen. Deze verzameling bevat oneindig veel getallen.

By: Joop Theunissen

Joop Theunissen — Sun, 09 Sep 2007 14:34:48 +0000

oneindige verzameling is een wanbwgrip, het is een taalverkrachting. Wasnt wat is een verzameling? Antwoord: het resultaat van verzamelen. En zo’n resultaat kan alleen maar eindig zijn. Zolang je aan het verzamelen bent bestaat het resultaat niet. Het begrip oneindig of oneindigen behoort niet tot de verzameling zelf.
Joop Theunissen

By: Geert

Geert — Mon, 09 Apr 2007 14:52:29 +0000

Misschien een vitterijtje, maar ‘consistent’ betekent voor zover ik weet dat het systeem nooit zowel een uitspraak als haar ontkenning kan bewijzen; m.a.w. er zijn geen contradicties bewijsbaar binnen het systeem.

De eigenschap dat een systeem enkel ware beweringen kan produceren, wordt ‘betrouwbaarheid’ (E: ’soundness’) genoemd.

By: Jasper

Jasper — Sun, 07 Jan 2007 16:06:43 +0000

Overigens is het bewijs van Gödel ver reikender dan alleen de wiskunde. Het betreft ieder voldoende sterk consistent formeel systeem. Hoewel in de vorige eeuw logica en wiskunde bijna identiek werden, een consequentie van de PM van Hilbert en Russel, zijn zij dat niet.
Overigens is de gelijkstelling van logica aan wiskunde een bewijs voor de kracht van mathematici en de zwakte van logici, maar dat is een ander verhaal

By: Vincent

Vincent — Mon, 07 Aug 2006 13:48:57 +0000

trouwens, volgens mij is het niet zo heel moeilijk om voorbeelden van ware maar onbewijsbare uitspraken te geven zolang je maar een heel klein axiomastelseltje hanteert. Ik geloof dat het mogelijk moet zijn alle getallen te definieren zonder het bestaan van oneindige verzamelingen aan te nemen. Het kan dan onmogelijk zijn om uitspaken van het type “alle getallen hebben die-en-die eigenschap” in een keer te bewijzen, maar voor ieder getal dat je uitkiest blijkt het dat het die eigenschap wel degelijk heeft (mits je je eigenschap slim kiest).

Een voorbeeld is geloof ik (maar nu betreden we het domein van de speculatie en wilde geruchten) het volgende:

neem een getal en schrijf het binair.

Trek 1 af en schrijf de uitkomst weer binair.

Maak hiervan een groter getal door de cijfers te interpreteren in het drietallig stelsel.

Trek van dit grotere getal weer 1 af en schrijf de uitkomst nog steeds drietallig.

Maak nu een groter getal door de cijfers die je net hebt opgeschreven als een getal in het viertalligstelsel te interpreteren

Trek weer 1 af etc.

Mijn bewering is nu: uiteindelijk kom je altijd uit op 0.

Voorbeeld:
111_2 (7 in normale mensen taal) wordt:
110_2 (6 in normale mensentaal) wordt:
110_3 (13 in normale mensentaal) wordt:
102_3 (12 in normale mensentaal) wordt:
102_4 (18 in normale mensentaal) wordt:
101_4 (17 in normale mensentaal) wordt:
101_5 (26 in normale mensentaal) wordt:
100_5 (25 in normale mensentaal) wordt:
100_6 (36 in normale mensentaal) wordt:
55_6 (35 in normale mensentaal) wordt:
55_7 (40 in normale mensentaal) wordt:
54_7 (39 in normale mensentaal) wordt:
54_8 (44 in normale mensentaal) wordt:
53_8 (43 in normale mensentaal) wordt:
…
50_12 (60 in normale mensentaal) wordt:
4(11)_12 (59 in normale mensentaal)
4(11)_13 (63 in normale mensentaal)

etc
etc
etc

Het is een lange weg omdat in het begin de sprongen omhoog veel groter zijn dan de 1 omlaag, maar de aanhouder wint.

Als je wel gelooft in het bestaan van oneindige verzamelingen is er een eenvoudig bewijs dat het voor alle begingetallen goed gaat, maar ik heb nooit een bewijs gezien dat met bijv. inductie werkt.

Iemand een idee?

Natuurlijk kun je het bestaan van oneindige verzamelingen aan je axioma’s toevoegen en dan moet je weer een nieuw voorbeeld van een ware maar niet bewijsbare stelling verzinnen. De kracht van Goedels bewijs is dat hij het voor alle axiomastelsels in een keer doet.