Het getal van Graham is zo groot, dat zelfs gigantische getallen als googol of googolplex er volkomen bij in het niet vallen. Het getal van Graham is te groot om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten. Het getal dient te worden weergegeven als een element van een rij getallen gedefinieerd met behulp van Knuths pijlomhoognotatie. Met behulp van elementaire getaltheorie is echter wel uit te rekenen hoe het eind van het getal er uit ziet. De laatste tien cijfers van het getal van Graham zijn ...2464195387 .

Zodra we de functie

{zinnen beginnende met "Het kleinste getal"}->{positieve gehele getallen}U{'onzin'}

volledig vastgelegd hebben, dan kunnen we van elke verzameling bepalen wat het kleinste element is, zelfs van de verzameling van getallen waarvan de kortste beschrijving langer is dan 87 tekens. Laten we dat kleinste getal x noemen. Als we echter de zin "Het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving langer is dan deze." naar x sturen, hebben we de functie, en daarmee de verzameling waar we over spreken, veranderd.

Dus elke verzameling heeft wel een kleinste getal, maar als je dat getal probeert te beschrijven, dan heb je mogelijk de verzameling veranderd.

Alleen als je de verzameling niet verandert (of beter: het kleinste getal uit de verzameling niet wijzigt), kun je de "Het kleinste getal van die verzameling." naar een geheel getal sturen, anders kun je het alleen naar 'onzin' sturen.

Je kunt natuurlijk ook een nieuwe functie maken die alleen kijkt naar de functiewaarden van je oude functie (en niet naar zijn eigen functiewaarden). En dan een derde die alleen kijkt naar de eerste twee functies, enzovoort. Net zoals je dat kunt doen in de verzamelingenleer om de paradox met de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, te omzeilen.
Elke verzameling geef je een niveau en een verzameling mag alleen verzamelingen bevatten die van een lager niveau zijn dan de verzameling zelf is, wat equivalent is met een functie die alleen mag verwijzen naar eerder gedefinieerde functies.

ik geef toe dat ik vorige keer al behoorlijk wat holle retoriek nodig had om een schokkende conclusie aan jouw bewijs te verbinden, dus ik vrees dat het met de verbeterde versie niet meer gaat lukken.

Maar toch een poginkje:

In je oorspronkelijke bewijs gebruik je: als het kleinste getal met eigenschap A niet bestaat (in de nieuwe versie zou dat iets zijn als dat de zin "het kleinste getal met eigenschap A" naar 'onzin' gestuurd wordt, dan bestaat er geen enkel getal met eigenschap A.

Dit is op zichzelf een interessante eigenschap van getallen die niet helemaal triviaal is, maar wel waar.

Als nu eigenschap A zoiets is als 'niet tot verzameling B behorend' dan betekent het feit dat onze zin naar onzin gestuurd wordt, dat ieder getal tot verzameling B behoort.

Dit leidt tot problemen wanneer B eindig is. Normaal gesproken is dit geen probleem: een zin als "Er is een getal dat niet tot de verzamling B behoort" zal voor eidige B altijd waar zijn en dus niet naar onzin gestuurd worden.

Het gebruik van het woord kleinste maakt echter alles anders. Zoals je hierboven met een voorbeeld aantoont kun je wel een eindige verzameling B maken waarvoor 'het KLEINSTE getal dat geen element is van B' WEL onzin is.

Kortom: onze aanname dat iedere verzameling getallen een kleinste element heeft is fout.

PS natuurlijk zijn alle gehele getallen bijzonder - maar binnen de reele getallen vormen de bijzondere getallen slechts een nulverzameling.

Nee, ik heb niet bewezen dat er eindig veel getallen zijn. Ik heb bewezen dat als het bewijs dat elk getal bijzonder is correct is, dat dan dezelfde methode gebruikt kan worden om te bewijzen dat er een getal bestaat dat niet bijzonder is, wat een tegenspraak oplevert. Dus het bewijs dat alle getallen bijzonder zijn is niet correct. En daarmee ook mijn bewijs dat er een niet-bijzonder getal bestaat. Dat jij dat bewijs gebruikt hebt om aan te tonen dat er maar eindig veel getallen zijn, is dus ook niet correct.

PS1: De fout zit in de definitie van x.

Verbeterde definitie van karakteriseren.

We beschouwen de functie

{zinnen die beginnen met "Het kleinste getal"}->{gehele getallen} U {'onzin'}

die aan elke zin het kleinste getal met die eigenschap toekent. Als er geen kleinste getal met die eigenschap is, dan sturen we de zin naar 'onzin'.

Dus "Het kleinste getal dat perfect is." gaat naar 6 en "Het kleinste getal dat groter dan zichzelf is." en "Het kleinste getal dat koeien onlangs opschreven." gaan naar onzin. (Nee, ik wil geen discussie over wat voor intelligente koe die tot zes of zeven kon tellen dan ook. De zin mag sowieso naar 'onzin' omdat hij geen tijdloze definitie is.)

De vraag is: waar sturen we "Het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving langer is dan deze beschrijving." heen? Stel we sturen die naar het gehele getal x, dan voldoet x niet meer aan de beschrijving dus hadden we hem niet naar x moeten sturen. Conclusie: deze zin kunnen we niet naar een geheel getal sturen. Dus deze zin moet wel naar 'onzin' gestuurd worden.

Hetzelfde gaat fout in het bewijs dat elk getal bijzonder is. We kunnen "Het kleinste getal dat niet bijzonder is." niet naar een geheel getal sturen. Dus ook deze zin gaat naar 'onzin'.

PS2: Met mijn definitie van bijzonder is elk getal daadwerkelijk bijzonder.
We kunnen namelijk met inductie elk getal een definierende zin geven

1 is het kleinste getal.

2 is het kleinste getal dat niet het kleinste getal is.

3 is het kleinste getal dat niet het kleinste getal of het kleinste getal dat niet het kleinste getal is is.

algemeen:

n is het kleinste getal dat niet (beschrijving van 1) of (beschrijving van 2) of ... of (beschrijving van n-1) is.

Merk op dat dit niet de kortste of meest leesbare beschrijvingen oplevert.

Verder zijn deze beschrijving in essentie allemaal dezelfde, en om deze dus bijzonder te noemen gaat misschien een beetje ver.

Ik ben nog op zoek naar de goede definitie van bijzonder.