Je trekt 1 af maar herschrijft alles dan zo dat er alleen nog maar plussen in voorkomen. Dus 2^1 -> 3^1 – 1 = 1 + 1. (Eigenlijk 3^0 + 3^0). Die gaat in de volgende stap natuurlijk naar 1. (4^0 + 4^0 – 1 = 4^0 als je het heel formeel doet).

In een iets groter voorbeeld: 2^2 -> 3^2 – 1 = 3^1 + 3^1 + 1 + 1 -> 4^1 + 4^1 + 1 -> 5^1 + 5^1 -> 6^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 -> 7^1 + 1 + 1 + 1 + 1 etc.

Weet iemand trouwens wie dit raadsel ooit bedacht heeft?

2^1 -> 3^1 – 1 -> 4^1 – 1 – 1 -> 5^1 – 1 – 1 – 1 -> etc.

ofwel

2 -> 2 -> 2 -> etc.

Deze gaat dus niet naar 1.

Het overaftelbare zit dus al in de definitie van deze ordinaal.

schrijf je favoriete getal op in termen van machten van 2.

Bijvoorbeeld 27 = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 1.

Nu doen we het volgende: vervang alle 2′en door 3′en en trek een af, vervang alle 3′en door 4′en en trek 1 af, vervang alle 4′en door vijfen en trek 1 af etc… dus de getallen worden afwisselend heel veel groter en een klein beetje kleiner:

27 gaat naar 3^4 + 3^3 + 3^2 = 117 (hoop ik)
dat gaat naar 4^4 + 4^3 + 4^2 – 1 = 4^4 + 4^3 + 4^1 + 1 + 1 + 1 = iets heel groots

dat gaat naar 5^4 + 5^3 + 5^1 + 1 + 1 etc

Bewijs of weerleg: uiteindelijk kom je, na lange omwegen, altijd terecht op 1 en dus op nul.

Het idee van ordinaalgetallen is dat je getallen ziet als een verzameling, en ieder ordinaalgetal is in het bijzonder de verzameling van alle kleinere ordinalen. Dus 0 ‘is’ de lege verzameling 5 = {0, 1, 2, 3, 4} etc. Persoonlijk vind ik dit nogal een zieke manier om over getallen na te denken, maar dat terzijde.

Dan heb je omega die als verzameling gelijk is aan N: het kleinste ordinaalgetal dat groter is dan alle eindige ordinalen, of, in andere woorden, de verzameling van alle eindige ordinalen. Dan wordt het pas echt leuk: je hebt omega + 1: als verzameling gelijk aan omega verenigd {omega}: het kleinste ordinaal dat groter is dan omega, en omega + 2, omega + 3 etc… en 2 omega: de verzameling van alle ordinalen van de vorm n of omega +n, oftewel het kleinste ordinaal groter dan al deze getallen.

En zo kun je verder tellen: 2 omega + 1, 2 omega + 2, 3 omega, 4 omega, omega^2, omega^omega^omega… je kan het zo gek niet bedenken.

Het vrolijke aan deze getallen is dat ze een volgorde hebben. Je kan ze min of meer tellen, hoewel je soms even een paar over moet slaan om aan de anderen toe te komen. Het treurige is dat deze getallen (vanaf omega) als verzameling allemaal even groot zijn: aftelbaar oneindig.

De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen is zelf ook een orinaalgetal (hoewel je misschien een preciezere definitie van ordinaalgetal nodig hebt om dat te geloven): het kleinste ordinaal dat groter is dan alle aftelbare ordinalen.

Hoe dan ook, ‘de verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen’ is de verzameling uit mijn laatste post: alle elementen (de aftelbare ordinaalgetallen) zijn geordend (met de ‘element van’-relatie) en de verzameling elementen (ordinaalgetallen) kleiner dan x is gelijk aan (en dus zeker even groot als) x zelf en dus per definitie aftelbaar.

De enige vraag die overblijft is waarom de verzameling van alle aftelbare ordinalen zelf overaftelbaar is. Hier komt het ‘een ordinaalgetal zijn’ om de hoek kijken: als hij aftelbaar was, was hij element van zichzelf, maar dat is uitgesloten in de constructie van ordinaalgetallen (hier heb je dus eigenlijk een nettere definitie van ordinaalgetal nodig, maar je ziet het wel ongeveer gebeuren in mijn slordigere beschrijving hoop ik).

Ik denk dat de nette definitie zoiets zegt als “ieder getal x heeft een opvolger, gedefinieerd als x verenigd {x} en voor iedere verzameling ordinalen is de vereniging weer een ordinaal”, maar ik weet het niet zeker.