Comments on: Een gemene gastheer http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/ Ionica & Jeanine Thu, 09 Feb 2012 12:29:06 +0100 http://wordpress.org/?v=2.8.4 hourly 1 By: Marco http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32848 Marco Thu, 30 Oct 2008 04:56:06 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32848 Ha Koen, De optimale strategie blijkt wat ingewikkelder dan ik dacht, maar hier is 'ie. SPOILERWAARSCHUWING!!! Ik heb geprobeerd de spoiler-plugin te gebruiken, maar de leesbaarheid laat wat te wensen over. Zo moet je de muis apart over elke paragraaf houden en kan je maar 1 paragraaf tegelijk lezen. Daarom nu een oplossing zonder balkjes. Ik laat trouwens nog wel wat te puzzelen over. En wie weet heeft er iemand een mooier bewijs dan ik. Zo ben ik wel benieuwd naar de oplossing in het boek. De strategie: maak eerst een rondje met telkens 1 gast en 3 lege stoelen. Daarna een tweede ronde met naast elke gast die in de eerste ronde geplaatst is, een nieuwe gast. Nu blijft een kwart van de stoelen over, en worden de laatste gasten verdeeld. Ga je als gast tijdens de laatste ronde zitten, dan is er een kans van 3/4 dat het servet aan je linkerkant door je linkerbuur gepakt is. Er is namelijk een kans van 1/2 dat de eerste-ronde-gast twee plaatsen links van je naar rechts greep en een kans van 1/4 dat hij naar links greep, maar je directe linkerbuur naar rechts. Omdat je aan elke kant een kans van 3/4 hebt dat je servet weg is, heb je een kans van (3/4)^2=9/16 dat je de avond zonder servet moet doorbrengen. Dit verhaal geldt voor een kwart van de 48 gasten, dus de verwachtingswaarde van het aantal gasten zonder servet is 12*9/16=27/4. Maar waarom is dit optimaal? Noem een gast een Leider als hij geplaatst wordt tussen twee lege stoelen en een Laatste als hij geplaatst wordt tussen twee reeds geplaatste gasten. Voor elke Laatste is de kans dat hij zonder servet komt te zitten gelijk aan $$! (1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b}),$$ waarbij $$a$$ (respectievelijk $$b$$) de afstand is tot de eerste Leider links (respectievelijk rechts) van hem. Bij iedere Laatste hoort een Groep, bestaande uit alle gasten links van hem tot en met de dichtstbijzijnde Leider aan zijn linkerkant (inclusief) en alle gasten rechts van hem tot de dichtstbijzijnde Leider aan zijn rechterkant (exclusief). Iedere gast zit dus in precies 1 Groep. De Groep horend bij een Laatste bestaat uit $$a+b$$ personen en de verwachtingswaarde van het aantal personen zonder servet in die Groep is $$(1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b})$$. Het verwachte deel mensen zonder servet in een Groep is dus $$! f(a,b)=(1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b})/(a+b).$$ Bijvoorbeeld, in een Groep met $$a=b=2$$ hebben gemiddeld 9 op de 64 gasten geen servet. Nu kun je laten zien dat voor alle positieve gehele getallen a en b het getal $$f(a,b)$$ kleiner dan 9/64 is, behalve voor $$a=b=2$$. Bijvoorbeeld door een tabel te maken voor alle a en b van 1 tot en met 6 en door op te merken dat, als $$ a $$ of $$ b $$ groter is dan 6, dan geldt $$f(a,b) < 1/(1+7) = 1/8 < 9/64$$. Conclusie: als er alleen Groepen zijn met $$a=b=2$$, zoals in bovenstaande strategie, dan heeft gemiddeld 9/64 deel van de gasten geen servet. Als er niet alleen Groepen zijn met $$a=b=2$$, dan heeft gemiddeld minder dan 9/64 deel van de gasten geen servet. Dus de bovenstaande strategie is optimaal voor de gemene gastheer. Dit argument werkt alleen als het aantal gasten deelbaar door 4 is en tenminste 8 is (zoals 48). Met andere aantallen gasten is een aantal uitzonderingsregels en wat meer rekenwerk nodig. Ha Koen,

De optimale strategie blijkt wat ingewikkelder dan ik dacht, maar hier is ‘ie.

SPOILERWAARSCHUWING!!!
Ik heb geprobeerd de spoiler-plugin te gebruiken, maar de leesbaarheid laat wat te wensen over. Zo moet je de muis apart over elke paragraaf houden en kan je maar 1 paragraaf tegelijk lezen. Daarom nu een oplossing zonder balkjes. Ik laat trouwens nog wel wat te puzzelen over. En wie weet heeft er iemand een mooier bewijs dan ik. Zo ben ik wel benieuwd naar de oplossing in het boek.

De strategie: maak eerst een rondje met telkens 1 gast en 3 lege stoelen. Daarna een tweede ronde met naast elke gast die in de eerste ronde geplaatst is, een nieuwe gast. Nu blijft een kwart van de stoelen over, en worden de laatste gasten verdeeld.

Ga je als gast tijdens de laatste ronde zitten, dan is er een kans van 3/4 dat het servet aan je linkerkant door je linkerbuur gepakt is. Er is namelijk een kans van 1/2 dat de eerste-ronde-gast twee plaatsen links van je naar rechts greep en een kans van 1/4 dat hij naar links greep, maar je directe linkerbuur naar rechts.
Omdat je aan elke kant een kans van 3/4 hebt dat je servet weg is, heb je een kans van (3/4)^2=9/16 dat je de avond zonder servet moet doorbrengen.
Dit verhaal geldt voor een kwart van de 48 gasten, dus de verwachtingswaarde van het aantal gasten zonder servet is 12*9/16=27/4.

Maar waarom is dit optimaal? Noem een gast een Leider als hij geplaatst wordt tussen twee lege stoelen en een Laatste als hij geplaatst wordt tussen twee reeds geplaatste gasten. Voor elke Laatste is de kans dat hij zonder servet komt te zitten gelijk aan

(1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b}),

waarbij a (respectievelijk b) de afstand is tot de eerste Leider links (respectievelijk rechts) van hem.
Bij iedere Laatste hoort een Groep, bestaande uit alle gasten links van hem tot en met de dichtstbijzijnde Leider aan zijn linkerkant (inclusief) en alle gasten rechts van hem tot de dichtstbijzijnde Leider aan zijn rechterkant (exclusief). Iedere gast zit dus in precies 1 Groep. De Groep horend bij een Laatste bestaat uit a+b personen en de verwachtingswaarde van het aantal personen zonder servet in die Groep is (1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b}).
Het verwachte deel mensen zonder servet in een Groep is dus

f(a,b)=(1-2^{-a})\cdot (1-2^{-b})/(a+b).

Bijvoorbeeld, in een Groep met a=b=2 hebben gemiddeld 9 op de 64 gasten geen servet. Nu kun je laten zien dat voor alle positieve gehele getallen a en b het getal f(a,b) kleiner dan 9/64 is, behalve voor a=b=2. Bijvoorbeeld door een tabel te maken voor alle a en b van 1 tot en met 6 en door op te merken dat, als a of b groter is dan 6, dan geldt
f(a,b) < 1/(1+7) = 1/8 < 9/64.

Conclusie: als er alleen Groepen zijn met a=b=2, zoals in bovenstaande strategie, dan heeft gemiddeld 9/64 deel van de gasten geen servet. Als er niet alleen Groepen zijn met a=b=2, dan heeft gemiddeld minder dan 9/64 deel van de gasten geen servet. Dus de bovenstaande strategie is optimaal voor de gemene gastheer.

Dit argument werkt alleen als het aantal gasten deelbaar door 4 is en tenminste 8 is (zoals 48). Met andere aantallen gasten is een aantal uitzonderingsregels en wat meer rekenwerk nodig.

]]> By: Koen http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32830 Koen Mon, 27 Oct 2008 14:58:49 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32830 Door in QBasic (jaha... programmeren old-school) een testje los te laten met 10 personen blijkt na 10000 keer testen dat de gastheer het beste de mensen om en om neer kan zetten. Maar vraag me niet waarom... (QBasic verhinderd mij met simpel programmeren meer dan 10 gasten te testen) Resultaten met 10 personen aan tafel: open plekken tussen de gasten - gemiddeld aantal zonder servet 0 - 0,5 1 - 1,25 2 - 1,19 3 - 1,25 4 - 0,94 Maar aangezien 10 niet deelbaar is door 3 ook een test voor 9 mensen aan tafel 0 - 0,50 1 - 1,12 2 - 1,13 3 - 0,90 Marco, al meer tijd? Door in QBasic (jaha… programmeren old-school) een testje los te laten met 10 personen blijkt na 10000 keer testen dat de gastheer het beste de mensen om en om neer kan zetten. Maar vraag me niet waarom…
(QBasic verhinderd mij met simpel programmeren meer dan 10 gasten te testen)

Resultaten met 10 personen aan tafel:
open plekken tussen de gasten – gemiddeld aantal zonder servet
0 – 0,5
1 – 1,25
2 – 1,19
3 – 1,25
4 – 0,94

Maar aangezien 10 niet deelbaar is door 3 ook een test voor 9 mensen aan tafel
0 – 0,50
1 – 1,12
2 – 1,13
3 – 0,90

Marco, al meer tijd?

]]> By: Marco http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32818 Marco Fri, 24 Oct 2008 15:47:36 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32818 Ha Koen, misschien beter dat het antwoord niet op de site staat, zo blijven we nog even doorpuzzelen! Volgens mij kan het eviller (wow, wat zou de taaltoets hiervan vinden?), maar ik heb nu geen tijd. Ha Koen, misschien beter dat het antwoord niet op de site staat, zo blijven we nog even doorpuzzelen! Volgens mij kan het eviller (wow, wat zou de taaltoets hiervan vinden?), maar ik heb nu geen tijd.

]]> By: Koen http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32817 Koen Fri, 24 Oct 2008 13:59:38 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32817 Marco, sorry, ik was het even vergeten!! Goed dan! Aangezien je minstens 2 mensen nodig hebt om voor een 3e persoon de servetten weg te nemen is het maximum wat toevallig zonder servet zou kunnen zitten 1/3 van het gezelschap. Ik denk dus dat er groepen van 3 gemaakt moeten worden. De gastheer moet dan om de 3 stoelen iemand neerzetten, 1 bezet, 2 leeg. In 1 rondje dus 16 wiskundigen. Dan zet hij de overgebleven plekken gewoon vol. Ik kan het alleen niet bewijzen of verder verklaren, maar in mijn probeersels lijkt dit het meest "evil". Jammer trouwens dat het antwoord niet na een week of wat ook op de site staat... Marco, sorry, ik was het even vergeten!!

Goed dan!
Aangezien je minstens 2 mensen nodig hebt om voor een 3e persoon de servetten weg te nemen is het maximum wat toevallig zonder servet zou kunnen zitten 1/3 van het gezelschap. Ik denk dus dat er groepen van 3 gemaakt moeten worden. De gastheer moet dan om de 3 stoelen iemand neerzetten, 1 bezet, 2 leeg. In 1 rondje dus 16 wiskundigen. Dan zet hij de overgebleven plekken gewoon vol. Ik kan het alleen niet bewijzen of verder verklaren, maar in mijn probeersels lijkt dit het meest “evil”.

Jammer trouwens dat het antwoord niet na een week of wat ook op de site staat…

]]> By: Jan http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32793 Jan Sun, 19 Oct 2008 12:15:41 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32793 Google heeft op de site books.google.nl het hele (oudste) boek online gezet. Peter Winkler puzzles intikken op deze site volstaat: derde hit. Google heeft op de site books.google.nl het hele (oudste) boek online gezet. Peter Winkler puzzles intikken op deze site volstaat: derde hit.

]]> By: Jan http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32792 Jan Sun, 19 Oct 2008 12:15:06 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32792 Google heeft op de site books.google.nl het hele (oudste) boek online gezet. intikken op deze site volstaat: derde hit. Google heeft op de site books.google.nl het hele (oudste) boek online gezet. intikken op deze site volstaat: derde hit.

]]> By: Marco http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32785 Marco Fri, 17 Oct 2008 04:46:44 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32785 Koen? Ik wacht... Ha, weer geslaagd voor de spamfiltertoets! Koen? Ik wacht…

Ha, weer geslaagd voor de spamfiltertoets!

]]> By: Koen http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32749 Koen Fri, 10 Oct 2008 14:01:35 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32749 Haha... Ja, sorry hoor... :) De kans is het grootst dat je geen servet kunt pakken als je al 2 mensen naast je hebt, dus moet je 1 man neerzetten en dan 1 overslaan, 1 neerzetten etc. Tenminste, dat is mijn 1e gedachte... Ik kom er op terug... ;) Haha… Ja, sorry hoor… :)

De kans is het grootst dat je geen servet kunt pakken als je al 2 mensen naast je hebt, dus moet je 1 man neerzetten en dan 1 overslaan, 1 neerzetten etc. Tenminste, dat is mijn 1e gedachte…
Ik kom er op terug… ;)

]]> By: Marco http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32745 Marco Thu, 09 Oct 2008 15:33:11 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32745 Ha Koen, let even op de titel van het stukje. Dit is een gemene gastheer en hij wil dat zoveel mogelijk mensen geen servet hebben. Ha Koen, let even op de titel van het stukje. Dit is een gemene gastheer en hij wil dat zoveel mogelijk mensen geen servet hebben.

]]> By: Koen http://www.wiskundemeisjes.nl/20081003/een-gemene-gastheer/comment-page-1/#comment-32742 Koen Thu, 09 Oct 2008 13:26:54 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=1618#comment-32742 Het lijkt me heel simpel, hij kan iedereen behalve 1 neerzetten op de goede plek. Zet er 1 gewoon neer, en dan de volgende telkens rechts ernaast. (Of linksom, maar ik ben rechts vandaar... :P) De 1e kiest een servet, rechts van hem wordt iemand neergezet. Als de 1e het servet rechts heeft gepakt kan de 2e alleen ook naar rechts pakken en de 3e (daar weer rechts van) ook. Ga je zo rond dan heeft iedereen een servet. Pakt de 1e het servet links van hem en wordt er rechts iemand neergezet dan kan die kiezen uit links of rechts. Kiest hij rechts dan heeft de 3e geen keus meer en kiest altijd rechts, dan blijft het servet tussen 1 en 2 over en heeft de laatste geen servet. Het is dus maximaal 1 persoon zonder servet, hoe groot de tafel ook is..? Het lijkt me heel simpel, hij kan iedereen behalve 1 neerzetten op de goede plek.
Zet er 1 gewoon neer, en dan de volgende telkens rechts ernaast. (Of linksom, maar ik ben rechts vandaar… :P)
De 1e kiest een servet, rechts van hem wordt iemand neergezet. Als de 1e het servet rechts heeft gepakt kan de 2e alleen ook naar rechts pakken en de 3e (daar weer rechts van) ook. Ga je zo rond dan heeft iedereen een servet.
Pakt de 1e het servet links van hem en wordt er rechts iemand neergezet dan kan die kiezen uit links of rechts. Kiest hij rechts dan heeft de 3e geen keus meer en kiest altijd rechts, dan blijft het servet tussen 1 en 2 over en heeft de laatste geen servet.

Het is dus maximaal 1 persoon zonder servet, hoe groot de tafel ook is..?

]]>