Comments on: De wereld draait door http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/ Ionica & Jeanine Thu, 09 Feb 2012 12:29:06 +0100 http://wordpress.org/?v=2.8.4 hourly 1 By: Matthias http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-35423 Matthias Mon, 21 Dec 2009 17:39:21 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-35423 En dit noemen we dan (Sorry, ik zal voortaan wat beter opletten :) ) een hattrick... En ook noemen we 't af en toe spam. Het bewijs van $$ \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} $$ is heel gemakkelijk: Schrijf de som uit: $$ s = 1 + r^1 + r^2 + r^3 + ... $$ $$ r*s = r + r^2 + r^3 + r^4 + ... $$ $$ (s-r*s)=1 $$ $$ s(1-r)=1 $$ $$ s = \frac {1}{1-r} $$ Door s in bovenstaand bewijs te vervangen door $$ r^1 + r^2 + ... $$ bekom je overigens onmiddelijk dat $$ s = \frac {r} {1-r} $$ waarna je opnieuw kan vermenigvuldigen met $$ r^{-1} $$ en het volledige bewijs hebt van jouw stelling. Groetjes En dit noemen we dan (Sorry, ik zal voortaan wat beter opletten :) ) een hattrick… En ook noemen we ‘t af en toe spam.

Het bewijs van \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} is heel gemakkelijk:

Schrijf de som uit:
s = 1 + r^1 + r^2 + r^3 + ...
r*s = r + r^2 + r^3 + r^4 + ...
(s-r*s)=1
s(1-r)=1
s = \frac {1}{1-r}

Door s in bovenstaand bewijs te vervangen door r^1 + r^2 + ... bekom je overigens onmiddelijk dat s = \frac {r} {1-r} waarna je opnieuw kan vermenigvuldigen met r^{-1} en het volledige bewijs hebt van jouw stelling.

Groetjes

]]> By: Matthias http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-35422 Matthias Mon, 21 Dec 2009 17:27:34 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-35422 Overigens, Sander, het is zeker correct, ik ben het namelijk al eens tegengekomen in: http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexGeometricSeriesMod.html We vinden daar $$ \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} $$ voor z in abs waarde kleiner dan 1. We beginnen hier met n vanaf nul. Aangezien we dan een factor z^0 teveel hebben gerekend ten opzichte van jouw geval, kunnen we gewoon 1 ( = z^0) van het rechterlid aftrekken, en n dan wél bij 1 laten starten. $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} - 1 $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} - \frac {1-z}{1-z} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1-1+z}{1-z} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {z}{1-z} $$ Teller en noemer vermenigvuldigen met $$ z^{-1} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {z^{-1} * z}{z^{-1}(1-z)} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{z^{-1}-1} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{z^{-1}-1} $$ z schrijven als $$ \frac {1}{b} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{b^n}=\frac {1}{b-1}$$ Natuurlijk is dit niet echt een bewijs... (Tenzij je er het bewijs van $$ \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} $$ bijzet, maar 't kan vast héél wat korter... :D) Overigens, Sander, het is zeker correct, ik ben het namelijk al eens tegengekomen in:
http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexGeometricSeriesMod.html
We vinden daar
\sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} voor z in abs waarde kleiner dan 1.
We beginnen hier met n vanaf nul. Aangezien we dan een factor z^0 teveel hebben gerekend ten opzichte van jouw geval, kunnen we gewoon 1 ( = z^0) van het rechterlid aftrekken, en n dan wél bij 1 laten starten.

\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} - 1
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} - \frac {1-z}{1-z}
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1-1+z}{1-z}
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {z}{1-z}
Teller en noemer vermenigvuldigen met z^{-1}
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {z^{-1} * z}{z^{-1}(1-z)}
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{z^{-1}-1}
\sum_{n=1}^{\infty} z^n=\frac {1}{z^{-1}-1}
z schrijven als \frac {1}{b}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{b^n}=\frac {1}{b-1}

Natuurlijk is dit niet echt een bewijs… (Tenzij je er het bewijs van \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac {1}{1-z} bijzet, maar ‘t kan vast héél wat korter… :D)

]]> By: Matthias http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-35421 Matthias Mon, 21 Dec 2009 16:36:29 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-35421 Matthijs van Nieuwkerk, de wereldvrede moet je misschien niet aan wiskundigen overlaten, begin daarvoor maar bij jezelf ;) Matthijs van Nieuwkerk, de wereldvrede moet je misschien niet aan wiskundigen overlaten, begin daarvoor maar bij jezelf ;)

]]> By: Sander http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34986 Sander Mon, 30 Nov 2009 15:17:04 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34986 Nadat ik die "moeilijke" opgave zag dacht ik dat dit wat leuker zou zijn: Bewijs dat: $$ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{b^i} = \frac{1}{b-1}$$ Ik weet niet wat de oplossing is. Ik weet ook niet of het überhaupt correct is. Kijk maar wat je ermee doet. Nadat ik die “moeilijke” opgave zag dacht ik dat dit wat leuker zou zijn:
Bewijs dat:
\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{b^i} = \frac{1}{b-1}

Ik weet niet wat de oplossing is. Ik weet ook niet of het überhaupt correct is. Kijk maar wat je ermee doet.

]]> By: HJ http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34932 HJ Thu, 19 Nov 2009 23:15:06 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34932 ("Wat is het nut van ..") Recent liet prof. Vincent Icke zien hoe je moet zorgen je voordracht aan te passen aan je publiek, of het nu draait om geinteresseerde leken of gespecialiseerde promovendi. De kijkers van DWDD werden expliciet als doelgroep benoemd. Als ik een ding goed begrepen heb is dat je geen voorzichtige uitspraken moet doen. "Als u nu eens alles uitdoet wat aan technologie te danken is kunnen we verder praten" zo ongeveer is de aanpak, waarna Icke uitlegt dat u dan zelfs uw ondergoed wel kunt vergeten vanwege het elastiek. Het nut van de laatste stelling van Fermat lijkt me echt te veel gevraagd. Dat 3-4-5 een rechte hoek bepaalt en nuttige wiskunde is lijkt meer het nivo. (Over TomTom. Ook Icke gaf ook dat voorbeeld, maar dan vanwege de noodzakelijke relativistische correcties). ("Geef eens een voorbeeld.. ") Kijk nog eens naar het TED filmpje van Marcus-du-Sautoy dat Ionica onlangs aanbeval. Het gaat niet om de diepte van het antwoord, maar om de bezieling, de twinkeling in de ogen. Knap, mensen die dat kunnen. (”Wat is het nut van ..”) Recent liet prof. Vincent Icke zien hoe je moet zorgen je voordracht aan te passen aan je publiek, of het nu draait om geinteresseerde leken of gespecialiseerde promovendi. De kijkers van DWDD werden expliciet als doelgroep benoemd. Als ik een ding goed begrepen heb is dat je geen voorzichtige uitspraken moet doen. “Als u nu eens alles uitdoet wat aan technologie te danken is kunnen we verder praten” zo ongeveer is de aanpak, waarna Icke uitlegt dat u dan zelfs uw ondergoed wel kunt vergeten vanwege het elastiek. Het nut van de laatste stelling van Fermat lijkt me echt te veel gevraagd. Dat 3-4-5 een rechte hoek bepaalt en nuttige wiskunde is lijkt meer het nivo. (Over TomTom. Ook Icke gaf ook dat voorbeeld, maar dan vanwege de noodzakelijke relativistische correcties).

(”Geef eens een voorbeeld.. “) Kijk nog eens naar het TED filmpje van Marcus-du-Sautoy dat Ionica onlangs aanbeval. Het gaat niet om de diepte van het antwoord, maar om de bezieling, de twinkeling in de ogen.
Knap, mensen die dat kunnen.

]]> By: HalveWiskundige http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34909 HalveWiskundige Mon, 16 Nov 2009 23:20:51 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34909 Wiskunde is goed voor [SPOILER]het milieu[/SPOILER]! Wiskunde is goed voor het milieu!

]]> By: Arno van Asseldonk http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34908 Arno van Asseldonk Mon, 16 Nov 2009 19:29:42 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34908 @jan van de craats: Ik zie mezelf nog niet bij De wereld draait door zitten, dus ik vrees dat ik je het antwoord op je vraag "wat zal de reactie van Mathijs van Nieuwkerk zijn" helaas schuldig zal moeten blijven. @martjn: Als een wiskundige vanwege zijn of haar gebrek aan belangstelling voor literatuur door sommige alfa’s als een wereldvreemde nerd wordt beschouwd, zegt dat naar mijn mening meer iets over deze alfa's dan over de wiskundige in kwestie. Ik denk dat we er voor moeten waken dat we iedere alfa per definitie als wereldvreemd ten opzichte van de wiskunde menen te moeten beschouwen. Wellicht gaat dat nog wel op voor de medewerkers van De wereld draait door, wat ik voor hen helaas wel jammer vind, maar mogelijk niet voor anderen. @jan van de craats: Ik zie mezelf nog niet bij De wereld draait door zitten, dus ik vrees dat ik je het antwoord op je vraag “wat zal de reactie van Mathijs van Nieuwkerk zijn” helaas schuldig zal moeten blijven.
@martjn: Als een wiskundige vanwege zijn of haar gebrek aan belangstelling voor literatuur door sommige alfa’s als een wereldvreemde nerd wordt beschouwd, zegt dat naar mijn mening meer iets over deze alfa’s dan over de wiskundige in kwestie.
Ik denk dat we er voor moeten waken dat we iedere alfa per definitie als wereldvreemd ten opzichte van de wiskunde menen te moeten beschouwen. Wellicht gaat dat nog wel op voor de medewerkers van De wereld draait door, wat ik voor hen helaas wel jammer vind, maar mogelijk niet voor anderen.

]]> By: armie http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34905 armie Mon, 16 Nov 2009 15:25:04 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34905 Het is een soundbite-programma, dus een uitgebreid antwoord wordt meteen onderbroken. Dan maar korte zinnetjes spuien, met praktische voorbeelden: Wiskunde zorgt dat de Erasmusbrug niet doorzakt. Dat je TomTom werkt. Dat je kleren, je eten, ja al je boodschappen zo goedkoop mogelijk geproduceerd en vervoerd worden. Dat je computer werkt, je telefoon. Dat er OV-dienstregelingen kunnen worden gemaakt op basis van statistiek in plaats van natte-vinger-werk (gegarandeerd reactie hierop). Dat soort dingen? Het is een soundbite-programma, dus een uitgebreid antwoord wordt meteen onderbroken. Dan maar korte zinnetjes spuien, met praktische voorbeelden:
Wiskunde zorgt dat de Erasmusbrug niet doorzakt. Dat je TomTom werkt. Dat je kleren, je eten, ja al je boodschappen zo goedkoop mogelijk geproduceerd en vervoerd worden. Dat je computer werkt, je telefoon. Dat er OV-dienstregelingen kunnen worden gemaakt op basis van statistiek in plaats van natte-vinger-werk (gegarandeerd reactie hierop).
Dat soort dingen?

]]> By: martjn http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34904 martjn Mon, 16 Nov 2009 10:10:32 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34904 @Arno, dat zijn inderdaad mooie antwoorden, maar alleen zinvol als je voor eigen parochie preekt. Volgens mij is het grootste probleem dat Mathijs en tafelheer met enige trots kunnen stellen dat ze vroeger niks van wiskunde snapten. Als een wiskundige zegt dat literatuur hem niet interesseert wordt hij door alfa's weggezet als een wereldvreemde nerd. Dus de volgende keer dat iemand vraagt wat het nut van wiskunde is, is de wedervraag: wat is het nut van Shakespeare? Kun je daarna een boompje opzetten over wie het zinvolst bezig is. (Naar smaak aanpassen aan wat je opponent het meest aan het hart gaat) @Arno, dat zijn inderdaad mooie antwoorden, maar alleen zinvol als je voor eigen parochie preekt.

Volgens mij is het grootste probleem dat Mathijs en tafelheer met enige trots kunnen stellen dat ze vroeger niks van wiskunde snapten. Als een wiskundige zegt dat literatuur hem niet interesseert wordt hij door alfa’s weggezet als een wereldvreemde nerd. Dus de volgende keer dat iemand vraagt wat het nut van wiskunde is, is de wedervraag: wat is het nut van Shakespeare? Kun je daarna een boompje opzetten over wie het zinvolst bezig is. (Naar smaak aanpassen aan wat je opponent het meest aan het hart gaat)

]]> By: jan van de craats http://www.wiskundemeisjes.nl/20091113/de-wereld-draait-door/comment-page-1/#comment-34902 jan van de craats Sun, 15 Nov 2009 23:21:42 +0000 http://www.wiskundemeisjes.nl/?p=5085#comment-34902 @Arno: zie je jezelf al deze antwoorden geven bij DWDD? En wat denk je dat de reactie van MvN zal zijn? @Arno: zie je jezelf al deze antwoorden geven bij DWDD? En wat denk je dat de reactie van MvN zal zijn?

]]>