Reacties op: Gevangenen en hoeden

Door: Groenger

Groenger — Wed, 03 Oct 2012 14:11:08 +0000

De strategie is heel eenvoudig.
In totaal zijn er 2 tot de macht 3 = 27 mogelijkheden.

De strategienis:
Als de gevangene twee verschillende kleuren ziet, kiest hij de derde ontbrekende kleur, als hij twee dezelfde kleuren ziet, kiest hij de kleur die hij ziet.

Uitleg:
1) stel er zijn drie verschillende kleuren, de kans hierop is 6/27. Elke gevangene ziet twee kleurenen kiest de derde kleur. De gevangenen worden vrijgelaten.
2) stel er zijn drie dezelfde kleuren, de kans hierop is 3/27. Elke gevangene kiest nu die kleur. De gevangenen worden vrijgelaten.
3) in alle andere gevallen (21 van de 27) zijn er twee dezelfde en een afwijkende kleur. In deze gevallen leidt de strategie tot een verkeerd resultaat. De gevangenen worden nu geëxecuteerd.

Totaal aantal successen is dus 6/27 + 3/27 = 9/27 = 1/3

Door: Michelle R

Michelle R — Sun, 16 May 2010 09:16:08 +0000

De beste strategie is natuurlijk om te weigeren om dit spel te spelen. Vrijkomen met een kans van maximaal 1/3 weegt niet op tegen ge-executeerd worden met een kans van minstens 2/3.
Stel je voor dat je medegevangenen geen wiskundemeisjes zijn, dan ben je helemaal kansloos.

Door: Peter B

Peter B — Thu, 13 May 2010 23:15:38 +0000

Hier is een andere versie van het probleem die de laatste tijd de ronde doet. Deze versie heeft wel het nadeel dat hij op nog minder punten geloofwaardig is dan de meeste versies, en dat je meer verzamelingenleer nodig hebt dan de vraagstelling misschien suggereert... Er zijn oneindig veel gevangenen. Ze weten dat het "proces" als volgt zal verlopen. Alle gevangenen krijgen een rode of een witte hoed op. Ze zien welke kleur hoed elke andere gevangene heeft, maar natuurlijk niet welke kleur hun eigen hoed heeft. Op een gegeven moment wordt er een signaal gegeven. Op dat moment moet iedereen tegelijk een kleur noemen. Degenen die hun eigen kleur noemen, worden vrijgelaten; degenen die het fout hebben, worden terechtgesteld. De gevangenen mogen van tevoren overleggen over een strategie. Gelukkig zijn de gevangenen enorm goede wiskundigen en kunnen ze onbeperkt efficiënt communiceren. De vraag is nu: kunnen ze een strategie bedenken waarbij altijd alle gevangenen op eindig veel na worden vrijgelaten?

Door: Sjoerd Visscher

Sjoerd Visscher — Thu, 13 May 2010 23:08:30 +0000

Met 4 gevangenen en 4 kleuren is de kans ook 1/4e!

Door: Sjoerd Visscher

Sjoerd Visscher — Thu, 13 May 2010 15:00:32 +0000

@Koen Goed punt!

@HJ Bij de som 0 is de strategie onafhankelijk van welk nummer je aan welke kleur toekent, anders niet.

Door: Koen

Koen — Thu, 13 May 2010 11:30:36 +0000

@Sjoerd Visscher Ze kunnen het niet beter doen als ze van tevoren een strategie mogen afspreken, want dat zou in het bijzonder betekenen dat de eerste gevangene vaker dan 1 van de 3 keer de kleur van zijn hoed goed heeft. Dit kan niet, want de kleur van de andere twee hoeden geeft geen informatie over de eigen hoed. (Als we aannemen dat de kleuren van de hoeden onafhenkelijk van elkaar zijn.) (De hierboven beschreven strategie zorgt er alleen maar voor dat als een gevangene goed 'gokt' dat dan de andere 2 ook goed 'gokken' gokken.)

Door: Sponzen Ridder

Sponzen Ridder — Wed, 12 May 2010 10:46:30 +0000

Het mysterie wordt ook vergroot door het gegeven dat ze geblinddoekt de kamer worden binnen gebracht en dan pas een hoed op krijgen!

Mooi raadsel. De eerste kiest voor zichzelf inderdaad de ontbrekende kleur als de andere twee verschillende hoeden hebben, zo kunnen die hun eigen kleur juist opschrijven. Als de andere twee gelijke kleur hebben, dan kiest de eerste die kleur. De anderen merken dat dat logischerwijze onmogelijk de 'ontbrekende' kan zijn, dat ze dus dezelfde kleur op hebben en schrijven hun kleur juist op. De 1/3 onzekerheid zit dus bij gevangene één.

Maar dat bewijst nog niet dat de kans werkelijk 1/3 is. Want als er *twee* strategieën zouden bestaan, dan moet je nog rekening houden met de kans dat alle drie de gevangenen dezelfde strategie hanteren (ongeveer 1/4) :-)

Dus eigenlijk moet je extra bewijzen dat er geen tweede strategie kan bestaan. Dat is gelukkig niet veel werk.De enige informatie die gevangene 1 kent is: de hoeden die ik zie zijn gelijk/verschillend. De enige communicatie mogelijkheid aan gevangene 2 is: ik schrijf de juiste kleur op van die hoed 3 of niet. Er zijn dus maar twee mogelijkheden waarvan er slechts ééntje werkt.

Door: Gerhard

Gerhard — Wed, 12 May 2010 10:28:16 +0000

@Peter.
Here is a simpler way of formulating the same idea: In 9 of the 27 possible situations, all three colors are identical or are all pairwise different. The prisoners hope for these 9 cases, and behave accordingly.

Door: Jan Paul

Jan Paul — Wed, 12 May 2010 09:33:49 +0000

Ik vind het wel een zware straf hoor, geëxecuteerd worden wegens het niet zo sterk zijn in statistiek. Maar ja, ze zeggen altijd dat je in het land zelf geweest moet zijn om er over te kunnen oordelen. Dus misschien is het toch terecht.

Door: HJ

HJ — Tue, 11 May 2010 21:27:42 +0000

Mevrouw de kandidaat, gefeliciteerd met uw fraaie proefschrift. Ik zou graag met u van gedachten wisselen over één van de bijgevoegde stellingen, die met de drie gevangenen met hoedjes. Kan één van uw paranimfen de stelling voorlezen?
[..]
Laten we het probleem uit uw blog veralgemeniseren. Een willekeurig aantal gevangenen met n kleuren hoedjes, uitgedrukt als getallen 0,1,..,n-1. In zekere zin bestaat de oplossing eruit om de som van de kleur van alle hoedjes modulo n te weten te komen: elke gevangene kan uit die som en de kleuren van de overige hoedjes zijn eigen kleur bepalen. Die som kan met kans 1/n goed gegokt worden, onafhankelijk van het aantal gevangenen. In de oplossing uit de blog raadt elke gevangene dat de som nul is en bepaalt op die manier zijn eigen kleur. Mijn vraag aan u is nu: hoe weten de gevangenen (zonder overleg) dat zij elk de som nul moeten aannemen? Is niet elke som even waarschijnlijk en gokt iedereen maar wat?