Echter; als wiskundigen met het begrip oneindig aan de haal gaan, gaat het steevast fout.
Oneindig heeft geen nummerieke waarde, het is net als nul geen benoembaar getal, maar een filosofisch principe.
Je kunt dus niet via berekening of redenatie bewijzen dat het ene oneindig groter of anders is dan het andere.

Bijvoorbeeld: met even veel (pseudo)logica kan ik beweren dat, juist omdat alle positieve gehele getallen (1,2,3...) gekoppeld kunnen worden aan hun verdubbeling en verdubbelde getallen altijd even zijn, er meer positieve even getallen (2,4,6...) zijn dan positieve gehele getallen ?
De verzameling gehele getallen bestaat namelijk ook reeds voor de helft uit even getallen.

Of minder elegant maar wel zo realistisch, als men alle getallen tussen 0 en 1 met factor oneindig vermenigvuldigt (een enigzinds basale maar wel legitieme wiskundige bewerking) moet het inzichtelijk zijn dat deze verzameling getallen niet anders is dan de verzameling van alle "gewone" hele getallen en net zo koppelbaar of niet koppelbaar, dat is maar hoe je er tegenaan wilt kijken.

Het begrip oneindig omvat helaas dan ook oneindig veel verzamelingen van oneindig zinloze inhoud.
Of : oneindig + 1 is ook maar gewoon oneindig

Het is met het begrip oneindig eigenlijk net als met god, per defenitie niet kenbaar en dus niet beschrijfbaar, altijd veranderend en toch altijd zichzelf.
Een beetje saai, want je kunt er niet mee en niet op rekenen. Nul is veel leuker.

met vriendelijk groet
Koen Padding

In de praktijk komen oneindigheden dan ook slechts op een indirekt manier voor. Neem bijvoorbeeld de volgende meetkundige reeks:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .....

De volgende term is steeds een factor 2 kleiner dan de vorige. Als we dit door 2 delen dan krijg je de reeks:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .....

Maar dit is precies de eerste reeks maar dan met de eerste term weggelaten. Dit is dus analoog aan Hilbert's hotel waarbij de eerste plaats vrijkomt als je alles een plaats opschuift. We hebben immers geen termen weggelaten, iedere term is door twee gedeeld, maar dit is blijkbaar equivalent met de eerste term weglaten.

Als de som van de reeks S is, dan is dus
1/2 S = S - 1, dus S = 2.

Als je dit preciezer formuleert, dan moet je kijken naar de partiele sommaties:

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ...+ 1/2^n

Dan hebben we slechts eindig veel termen, en dan is S = 2 de limit van Sn waarbij n naar oneidig gaat. De betekenis hiervan is dat je willekeurig dicht bij 2 kan komen door n groot genoeg te kiezen.

Preciezer geformuleert: Voor iedere u bestaat er een N zodanig dat voor alle n groter dan N, het verschil tussen sn en 2 kleiner dan die u is (verschil betekent hier absolute waarde v.h. verschil). Dus ongeacht hoe klein je die u kiest, kun je altijd een voldoende grote N vinden zodat n groter dan N nemen garandeert dat het verschil van sn en 2 minder dan u is.

Je ziet dus dat in deze formulering alleen maar eindige grootheden voorkomen. Je kan Sn exact uitrekenen:

Sn = 2 - 2^(-n)

Dat de limiet 2 is kun je dan eenvoudig bewijzen.

Sn is nu niet meer analoog aan Hilbert's hotel, omdat na deling met 2 je niet alleen de eerst term kwijt bent, je krijgt ook de term 2^(-n+1) erbij.

Als er in het hotel (het hotel met het oneindig aantal kamers) nog een extra kamer gecreëerd kan worden (+ 1), dan had het toch in eerste instantie geen oneindig aantal kamers?

Een hotel met oneindig veel kamers dat verdubbelt in omvang; dat zal in eerste instantie zeker geen oneindig aantal kamers gehad hebben. Is 2 x oneindig groter dan 1 x oneindig? Kan oneindig met zichzelf vermenigvuldigt worden? Kun je dan ook de wortel trekken uit oneindig?

Jeanine schrijft: “Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waarop ze allemaal -getallen tussen 0 en 1- staan”?
Maar dat kan dus niet, je kunt geen lijst opstellen waarop alle getallen tussen 0 en 1 staan. Je kunt er wel aan beginnen, maar je komt er nooit klaar mee.

Misschien heb ik er moeite mee dat geprobeerd wordt abstracte (poëtische, filosofische?) wiskunde te verduidelijken met concrete voorbeelden.

Als er in het hotel (het hotel met het oneindig aantal kamers) nog een extra kamer gecreëerd kan worden (+ 1), dan had het toch in eerste instantie geen oneindig aantal kamers?

Een hotel met oneindig veel kamers dat verdubbelt in omvang; dat zal in eerste instantie zeker geen oneindig aantal kamers gehad hebben. Is 2 x oneindig groter dan 1 x oneindig? Kan oneindig met zichzelf vermenigvuldigt worden? Kun je dan ook de wortel trekken uit oneindig?

Jeanine schrijft: "Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waarop ze allemaal -getallen tussen 0 en 1- staan"?
Maar dat kan dus niet, je kunt geen lijst opstellen waarop alle getallen tussen 0 en 1 staan. Je kunt er wel aan beginnen, maar je komt er nooit klaar mee.

Misschien heb ik er moeite mee dat geprobeerd wordt abstracte (poëtische, filosofische?) wiskunde te verduidelijken met concrete voorbeelden.