René Descartes, geschilderd door Frans Hals (1648)

Descartes kwam uit een redelijk vooraanstaande familie, verscheidene familieleden bekleedden hoge ambtelijke functies. Zijn vader was advocaat en magistraat. René Descartes kreeg een algemene opleiding aan het Jezuïetencollege van La Flèche en studeerde een tijdje aan de universiteit van Poitiers.

In 1618 vertrok Descartes naar Nederland, waar hij in het leger van Prins Maurits militaire ervaring wilde opdoen, en daarna reisde hij door naar Duitsland en Bohemen, waar hij als officier vocht in het leger van de katholieke Maximiliaan I van Beieren. Descartes verbleef nog een tijd in Parijs, maar in 1628 keerde Descartes terug naar Nederland en daar bleef hij tot 1649. In Nederland stond hij in contact met verscheidene wiskundigen: hij studeerde bij Adriaan Metius in Franeker en hij kende Constantijn Huygens, bijvoorbeeld.

In 1637 publiceerde Descartes zijn werk Discours de la Méthode in Leiden, dat als een van de appendices la Géométrie bevatte. Dit is Descartes’ meest invloedrijke wiskundige werk. In de jaren die volgden verschenen nog allerlei werken, vooral over filosofie.

De Géométrie was bijzonder omdat Descartes hierin een eerste opzet maakt voor de analytische meetkunde. Op wiskonst.nl (een site gemaakt door studenten voor een seminarium geschiedenis van de wiskunde) kun je meer lezen over Descartes en de Géométrie (klik op “Commentaren” en dan op “René Descartes – …”).

In 1650 overleed Descartes in Stockholm, waar hij op verzoek van koningin Christina van Zweden heengegaan was om haar les te geven. Het verhaal gaat dat Descartes een longontsteking opliep: hij was gewend om lang in bed te blijven, maar moest de koningin vroeg in de ochtend lesgeven, wat zijn weerstand om zeep hielp. Anderen geloven dat hij de ziekte opliep toen hij een vriend behandelde die die ziekte had.

En zeer recent is er een nieuwe hypothese opgedoken: de Duitse filosooof Theodor Ebert beweert dat Descartes niet door een natuurlijke oorzaak overleden is, maar door een communie-hostie met arsenicum erin! Als schuldige wijst hij priester Jacques Viogué aan, die bang zou zijn dat Descartes een bekering van koningin Christina tot het katholicisme in de weg zou staan. Lees hier het artikel daarover in the Guardian.

De papyrus laat zien hoe de Egyptenaren rekenden. Ze konden rekenen met bepaalde breuken, al schreven ze die heel anders op dan wij. Ze gebruikten de stambreuken (dat zijn de breuken die wij aanduiden met waarbij een geheel getal is, zoals en ) en de breuk die wij schrijven als . De papyrus bevat vooral oplossingen voor praktische problemen, en was misschien bedoeld voor het onderwijs aan de zogenaamde schrijvers, die waarschijnlijk een hele laag van de bureaucratie vormden.

Op BBC radio 4 was deze week in de serie A History of the World in 100 Objects een item over de Rhind papyrus te horen. De directeur van het British Museum vertelt over deze papyrus, die stamt uit ongeveer 1550 v. Chr. Hier kun je de uitzending beluisteren en beter naar een stuk van de papyrus kijken!

Het nieuwe jaar is net begonnen. Hoe staat het met uw goede voornemens? De mijne hebben dit jaar vooral met werk te maken (mijn proefschrift eindelijk afmaken, bijvoorbeeld), maar een van de meest voorkomende goede voornemens is een paar kilo afvallen.

Volgens de laatste cijfers van het CBS had in 2008 maar liefst 46,9 procent van de Nederlanders van twintig jaar of ouder overgewicht. Hierbij is overgewicht gedefinieerd met behulp van de zogenaamde Body Mass Index (BMI): je BMI is je gewicht gedeeld door het kwadraat van je lengte, waarbij je je gewicht in kilogrammen en je lengte in meters moet invullen. Wie 60 kilo weegt en 1 meter 67 lang is, heeft een BMI gelijk aan 60/(1,67)² = 21,5.

Je hebt overgewicht als je een BMI hebt van 25 of meer. Met een BMI tussen de 25 en 30 heb je matig overgewicht, en bij een BMI van 30 of meer heb je ernstig overgewicht. Je hebt ondergewicht als je BMI kleiner is dan 18,5.

Maar wat betekent dat getal nou eigenlijk? Het is een heel rare grootheid: je deelt je gewicht (je massa, eigenlijk) door het kwadraat van een lengte. De bijbehorende eenheid is dus kg/m². Fysiologisch gezien betekent deze grootheid helemaal niets, de BMI meet geen echt bestaande eigenschap van je lichaam.

Een ander probleem is dat de index geen rekening houdt met lichaamsbouw en vetpercentages. Een atletisch persoon met veel spieren en weinig vet is relatief zwaar en heeft een hoge BMI, want spieren hebben een hogere dichtheid dan vet. Toch wil je eigenlijk niet zeggen dat zo iemand overgewicht heeft. Ook hoe het vet over je lichaam verdeeld is, wat wel uitmaakt voor de gezondheidsrisico’s, wordt niet meegenomen in de BMI.

Waar komt die BMI dan eigenlijk vandaan?

De BMI wordt ook wel queteletindex genoemd, naar de wiskundige en sterrenkundige Adolphe Jacques Quételet (1796 – 1874). Hij was een van de eersten die statistische methoden gebruikte voor sociale fenomenen zoals criminaliteit en sterftecijfers. Daarvóór werd statistiek eigenlijk alleen maar in de sterrenkunde gebruikt.

Adolphe Quételet

Quételet probeerde aan de hand van metingen gegevens over “de gemiddelde mens” te verkrijgen. Hij verzamelde gegevens van een heleboel mensen en stelde een relatie vast tussen lengte en gewicht. In de Engelse versie van zijn boek staat: “the weight is in proportion to the square of the stature”, in andere woorden: over de hele populatie genomen staat het gewicht zo’n beetje in een vaste verhouding tot het kwadraat van de lengte.

In 1972 werd de queteletindex door Ancel Keys, die de invloed van voeding op gezondheid onderzocht, omgedoopt tot de Body Mass Index. Hij linkte de formule wel aan overgewicht, maar stelde ook dat de BMI alleen geschikt is voor populatiestudies en niet als diagnostisch instrument voor individuen.

Toch wordt de index daar veel voor gebruikt, vooral omdat hij zo gemakkelijk te berekenen is. Maar of je nu een officieel gezonde BMI hebt of niet: als je broeken sinds de Kerst wat strakker zitten, kan goede voornemens maken geen kwaad.

Ik heb het boek gerecenseerd voor de Mathematical Intelligencer (in het Engels, dus). De recensie begint zo:

‘‘They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. ‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to , also Euler’s). ‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship.

Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (), edges () and faces () always satisfy the equality . For example, a cube contains 8 vertices, 12 edges and 6 faces, and indeed, 8 – 12 + 6 = 2.

But if this formula is so simple, why did no one think of it earlier, especially when, as Richeson explains, people had been fascinated by polyhedra for millennia?

Hier kun je het hele stuk lezen (pdf).

Het is geen gemakkelijk boek. Het vereist niet meer voorkennis dan VWO-wiskunde, maar je moet wel echt je best doen om mee te denken. Maar als je doorzet leer je een boel: het boek vormt een goede balans tussen wiskundige gedachtegangen, historische feiten en subtiele historische ontwikkelingen. Onderweg leer je, aan de hand van de veelvlakkenformule van Euler, waar het vakgebied van de topologie nou eigenlijk over gaat en hoe het ontwikkeld is.

Voor scholieren of andere mensen die liever in het Nederlands lezen over veelvlakken: wiskundedocent De Leuw heeft op zijn website een toegankelijker stuk over veelvlakken gezet, met opgaven erbij, zie hier.

Lezer Jan mailde dat het verhaal gaat dat Donald Knuth, de informaticus, ooit gezegd heeft dat de bladzijdenummering van de meeste tijdschriften verkeerd is omdat de bladzijdenummers bovenaan de bladzijde staan en met 1 (één) beginnen. Zijn stelling was: bladzijdenummers onderaan de bladzijden (van boeken etcetera) horen bij 1, maar bladzijdenummers bovenaan de bladzijde met 0 (nul) te beginnen. Kan iemand dat verhaal bevestigen?

Toevallig las ik deze week ook The Salmon of Doubt van de onvolprezen Douglas Adams. In Unfinished Business of the Century bespreekt hij één van de grote problemen van de 20ste eeuw: de tekst van “”Do-Re-Mi,” uit The Sound of Music. De tekst begint echter met iets anders…

Just a few more days to go. I think it’s important not to leave a century, let alone a millennium, without cleaning up behind you, and there is clearly unfinished business to attend to. I suggest that the Net community try to identify this unfinished business and see if, between us, we can’t get it squared away so that we can all enjoy the New Year celebrations with the sense of a century well done.

But first, a word to the pedants.

Yes, I know you all think that the millennium doesn’t change till a year later, and very tedious you are about it, too. In fact, you are so keen to have something you can wag your fingers at the rest of the world about, that you are completely missing the point. IT HAS NO SIGNIFICANCE WHATSOEVER! It is merely an excuse to go “Whoa! Look at that! There they go!” as all the digits change.

What other significance can it _possibly_ have? Ten (along with its multiples) is an arbitrary number. January 1 is an arbitrary date. And if you happen to think that the birth of Jesus Christ is a significant moment, then all we can say with any certainty is that 1 A.D. isn’t when it happened. Or 0 A.D., if the previous year had been called that (which, as we all know because the pedants keep banging on about it, it wasn’t).

Then, as the historians (a _much_ more interesting bunch than the pedants) tell us, the calendar has been played around with so many times in the intervening years anyway that the whole thing is doubly meaningless.

Consider this: we’ve only relatively recently got our time- and date-keeping precisely defined and standardised, with the aid of atomic clocks and suchlike. And on January 1, 2000 (if the doomsayers are to believed) all of our computer systems will go haywire and plunge us back in the stone age (or not, as the case may be). So it seems to me that midnight on December 31 is the only solid and reliable point we have in the entire sorry mess, and so perhaps we should be celebrating that just a little bit. And instead of saying that we have got the end of the millennium (or bi- millennium) wrong, we should say that our ancestors got the _beginning_ of it wrong, and that we’ve only just sorted the mess out before starting a new mess of our own. What the hell does it matter anyway? It’s just an excuse for a party.

Bij dat laatste sluit ik me van harte aan. Ik wens jullie allemaal een mooi feestje vanavond en vooral heel veel goeds voor 2010!

Nog maar een paar nachtjes slapen en dan is het 2010. Eindelijk zijn we verlost van die onbestemde jaren nul. Een nieuw decennium, een nieuw geluid! Hoewel, waren er niet van die wijsneuzen die in 2000 beweerden dat het nieuwe millennium pas op 1 januari 2001 begon? Begint het nieuwe decennium dan soms ook pas volgend jaar?

Helaas hebben de wijsneuzen in dit geval gelijk: onze jaartelling loopt vanaf het jaar één en niet vanaf het jaar nul. Dus als je netjes telt, dan begint het nieuwe decennium inderdaad pas over iets meer dan een jaar. Zo is het vastgelegd en daar valt niets meer aan te veranderen. Op nieuwjaarsborrels kun je de wijsneuzen dus gelijk geven en snel over iets anders beginnen.

Bijvoorbeeld over dat het wel heel raar is dat er geen jaar nul is. Blijkbaar was het eerst één voor Christus (al waren daarvan op dat moment nogal weinig mensen op de hoogte) en daarna ineens één na Christus. Dat levert merkwaardige dingen op. Neem bijvoorbeeld een Romein die geboren werd in 10 voor Christus. In het jaar 30 na Christus werd deze man dan 39. Dat is toch een beetje vreemd. De Romein in kwestie merkte daar weinig van, want onze huidige jaartelling werd pas eeuwen later vastgelegd.

Een Romein die al genoeg aan zijn hoofd heeft

In 525 gebruikte Dionysius Exiguus voor het eerst de term Anno Domini, oftewel Het jaar des Heeren, wat wij nu aanduiden met na Christus. Exiguus bedacht het jaartelsysteem om de juiste data van Pasen te kunnen bepalen, een belangrijke zaak voor de kerk en middenstand. Hij gebruikte de telling niet voor historische gebeurtenissen en verklaarde trouwens ook niet hoe hij nou wist dat het op dat moment het jaar 525 was.

Ruim 200 jaar later gebruikte de monnik Bede als eerste een jaar vóór Christus. Hij legde toen het begin van onze jaartelling vast als het jaar één. Het lijkt een bewuste keuze te zijn geweest om de jaartelling te laten beginnen bij één en niet bij nul. Vaak wordt geopperd dat Bede domweg nooit had gehoord van het getal nul, maar dat is niet waar. Hij gebruikte regelmatig het Latijnse woord nulla (niets) waar wij nu een nul zouden schrijven.

Sindsdien gebruiken historici nooit meer het jaar nul, maar sterrenkundigen, Boeddhisten en Hindoes doen dat wel. Vaak worden de verschillende keuzes uitgelegd als het verschil tussen meten en tellen. Bij tellen begin je vanaf één, denk aan de pagina’s van een krant. Bij meten begin je vanaf nul: zoals bij een liniaal. Onze eigen leeftijd meten we dus in jaren, we beginnen te tellen vanaf nul jaar.

Het telargument bij de jaartelling snap ik zelf nooit zo goed: voordat je één iets hebt, heb je er toch nul? En geen min één? Ik kan eigenlijk geen enkel goed argument verzinnen om de jaartelling te laten beginnen bij het jaar één. Wat zie ik over het hoofd? Waarschijnlijk kan een vriendelijke wijsneus dat me haarfijn vertellen op een nieuwjaarsborrel.

Maar onlangs bleek dat dit helemaal niet de wiskundige Legendre is! Peter Duren vertelt in zijn artikel Changing Faces: The Mistaken Portrait of Legendre (pdf) dat de man op dit portret de politicus Louis Legendre is. Waar komt de verwarring vandaan? Ditzelfde portret verschijnt al meer dan honderd jaar als beide personen.

Het portret van Louis Legendre verscheen in een boek in 1833, en hoewel zijn volledige naam achter in de index staat, staat onder het portret alleen zijn achternaam. Er staan ook een paar prominente wiskundigen in het boek, dus waarschijnlijk heeft iemand een keer niet zo goed opgelet en aangenomen dat het om de wiskundige ging. Daarna is het portret een eigen leven gaan leiden, ook omdat er verder geen enkel portret van de wiskunde Legendre bekend was, en iedereen die hem persoonlijk gekend had al lang overleden was.

Toen dit probleem via internet aan het licht kwam, ging men natuurlijk op zoek naar een echt portret van de wiskundige. En wonderbaarlijk genoeg is dat gelukt: in een serie karikaturen dook een karikatuur van de wiskundige Legendre op, samen met de wiskundige Fourier (zie hier). Op die karikatuur zie Legendre er zo uit, waarschijnlijk vooral om hem met de dikke en vrolijke Fourier te contrasteren:

Op de website van Gérard Michon, die de karikatuur ontdekte in een catalogus, is meer informatie over de ontdekkingstocht te vinden, maar lees dus vooral ook Durrens interessante artikel.

(Via de weblog van Dave Richeson en een tip van Tom Koornwinder.)

Riemann publiceerde zijn hypothese in november 1859. Hier kun je meer lezen over zijn artikel, en ook kun je daar Riemanns originele manuscript als pdf downloaden. De eerste pagina ziet er zo uit:

Het is misschien een beetje gek om te vieren dat we iets al heel lang niet kunnen bewijzen of weerleggen, maar onopgeloste problemen zijn heel belangrijk in de wiskunde: het zoeken naar een oplossing voor zo’n groot probleem levert vaak een boel interessante wiskunde en onverwachte verbanden op, ook als de oplossing niet gevonden wordt. Allerlei wiskundigen over de hele wereld geven vandaag lezingen om de 150e verjaardag van de Riemann-hypothese te vieren. Niet hier in de buurt, helaas. Gelukkig heb ik begin november op een conferentie met mijn geschiedenis-van-de-wiskunde-collega’s al geproost op deze verjaardag van de Riemann-hypothese!