Morgen wordt wereldwijd pi-dag gevierd. Elk jaar verzamelen pi-liefhebbers zich in de derde maand op de veertiende dag (oftewel: 3,14) voor een feestje. Tijd om de grootste misverstanden over deze wiskundige constante recht te zetten.

1. Pi heeft iets te maken met de stelling van Pythagoras.
In de kerstuitzending van Bananasplit kwam pi ter sprake. Danny de Munck gaf onmiddellijk toe dat hij niets wist van wiskunde. Naast hem zat Nance, zij had ook geen wiskundeknobbel, maar “wist nog wel dat pi de stelling van Pythagoras is”. Helaas, pi en de stelling van Pythagoras zijn de twee dingen die de meeste mensen onthouden hebben van wiskunde, maar ze hebben niets met elkaar te maken. De stelling van Pythagoras gaat over driehoeken, terwijl pi van cirkels komt. Pi is de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter: ongeveer 3,14. Het maakt niet uit hoe groot of klein de cirkel is, de verhouding tussen omtrek en diameter is altijd precies pi. Daarnaast verschijnt pi ook op allerlei andere plaatsen: bijvoorbeeld in de verdeling van schoenmaten.

2. Pi is precies 3,14.
Pi begint als 3,14159 en daarna volgen nog oneindig veel cijfers. In die cijfers zit geen regelmaat. In de praktijk wordt daarom altijd een benadering van pi gebruikt. In de bijbel laat Solomo voor een tempel een bekken maken: “vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el”. Volgens deze tekst is pi dus gelijk aan 30/10 = 3, een eenvoudige benadering. Hoe nauwkeuriger de berekening, hoe meer decimalen er nodig zijn. Pi is niet te schrijven als een breuk, maar kan wel goed benaderd worden met breuken. Op school wordt vaak 22/7 (ongeveer 3,14285) gebruikt voor pi.

3. In de Amerikaanse wet staat dat pi gelijk is aan 3.
Het is een vaak voorkomend misverstand dat een bijbelvaste Amerikaanse staat in de wet heeft vastgelegd dat pi drie is. Zoiets is nooit gebeurd of zelfs maar voorgesteld. Wel is in 1897 in Indiana een merkwaardig wetsvoorstel ingediend door een amateurwiskundige. Hij wilde pi anders definiëren om berekeningen makkelijker te maken. In zijn voorstel waren allerlei verschillende waarden voor pi te vinden, variërend van 3,2 tot 4(!). Het voorstel werd in eerste instantie unaniem aangenomen, maar het sneuvelde alsnog in de senaat. Niet omdat de senaatsleden vonden dat er iets mis was met de theorie, maar omdat ze dachten dat pi geen zaak van wetgeving was.

4. In pi zitten geheime boodschappen verstopt.
Het zoeken naar gecodeerde boodschappen in de oneindige reeks decimalen van pi is een populaire hobby. Door de cijfers om te zetten naar letters kun je zinnen als “God bestaat” in de decimalen ontdekken. Het probleem is dat wiskundigen vermoeden dat elk rijtje cijfers uiteindelijk een keer in de decimalen van pi voorkomt, dus dan zou ook de zin “God bestaat niet” vanzelf een keer in de decimalen opduiken, net als de integrale tekst van Hamlet of de Volkskrant van vandaag. Voor wie het moeilijk te geloven vindt dat in één getal alle mogelijke teksten zijn gecodeerd: er is een getal waarvan we dit zeker weten dat alle mogelijke codes er instaan. Dat is de contante van Champernowne: 0,12345678910111213141516… enzovoorts. Niets magisch aan dus.

5. Het is belangrijk om pi zo ver mogelijk uit te rekenen.
Al eeuwenlang is het een sport om zoveel mogelijk decimalen van pi uit te rekenen. Omdat het er oneindig veel zijn, valt het record steeds weer te verbeteren. Zhu Chongzi berekende bijvoorbeeld rond het jaar 500 al dat pi tussen 3,1415926 en 3,1415927 ligt. Op dit moment staat het record op 2,7 biljoen cijfers. Om een indruk te geven hoe belachelijk veel cijfers dit zijn: als je deze 2,7 biljoen cijfers gaat opzeggen (zeg één per seconde), dan duurt dat 85.616 jaar. Voor de meeste berekeningen zijn echter een stuk of tien cijfers na de komma ruim voldoende en niemand heeft meer dan duizend cijfers nodig.

Dat de records toch steeds sneuvelen heeft twee redenen. Allereerst hebben snelle rekenmethodes allerlei andere toepassingen, het uitrekenen van pi is niet meer dan een mooie test. Bovendien raakt het uitrekenen van zoveel mogelijk decimalen voor sommige mensen een obsessie. Zelfs Isaac Newton raakte in de ban van pi en schreef in 1666: “Ik schaam me om te vertellen tot hoeveel cijfers ik deze berekeningen heb uitgevoerd, toen ik niets anders te doen had.”

Tot en met 28 maart hangen de eerste miljoen decimalen van pi in de Centrale Bibiliotheek Rotterdam als onderdeel van een expositie over de geschiedenis van pi. Morgen wordt tussen 13.00 en 17.00 uur pi-dag gevierd met lezingen, wiskundige puzzels en pi-koekjes. De toegang is vrij. Adres: Bibliotheek Rotterdam, Hoogstraat 110, Rotterdam. Meer informatie op de site van de bibliotheek.

Ze begon gelijk over de stelling van Pythagoras en schreef op.

Overigens ging Kim deze formule niet invullen, maar begon ze daarna over de hoek van 90 graden. Nu mailden verschillende lezers ons dat alweer een BN-er niets weet van wiskunde. Maar Kim zei in het interviewtje na de opdracht al dat de stelling van Pythagoras natuurlijk is.

Het zou best zo kunnen zijn dat Kim de mol is en doet alsof ze niets van wiskunde weet, terwijl ze heimelijk de werken van Serre leest. Maar ik gok van niet. Ik volg dit jaar voor het eerst Wie is de mol? en heb het idee dat de kijker door de montage zoveel mogelijk op het verkeerde been wordt gezet. Ik denk nu dat Frits of Erik de mol is…

Je kunt de hele aflvering hier terugkijken. De opgave van Kim zit na ongeveer 13 minuten. Overigens was de scheikunde-opgave met water afmeten met verschillende emmers natuurlijk ook een wiskundesom.

Danny de Munk: “Ik ben absoluut geen rekenwonder, mij kun je echt een oor aannaaien aan alle kanten.”
Frans Bauer: “En jij, kun jij dat berekenen zo’n…”
Nance: “Ik wist wel dat de stelling van Pythogaras was, maar hoe je het berekent…”
Frans Bauer:”Dat is hardstikke makkelijk, je pakt gewoon de hoogte maal de lengte en dan pak je de middenas van de cirkel en dat vermenigvuldig je. [gevolgd door nog wat handgebaren en getallen]”

Oei. Voor alle BN-ers die deze site lezen en zich afvragen wat wel is: de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter. Dat is alles.

Hier kun je de hele aflevering terugkijken, het pi-fragment zit na ongeveer 54 minuten.

Zelf weet Rinnooy Kan als geen ander dat het verstandig is je te blijven ontwikkelen. De wiskundige verliet op zijn 41ste de wetenschap. ‘De tragiek van de wiskundige is dat je vanaf je veertigste weinig nieuws meer kunt. Ik weet niet wat het precies is, maar je creativiteit, flexibiliteit of je vermogen slijt om lang en diep na te denken over abstracties. Het is een groot verdriet van menig wiskundige.’

Hoewel hij zich niet meer actief bezighoudt met wiskunde, heeft hij zijn passie ervoor behouden. Voor het eerst in het gesprek begint hij uitbundig te vertellen.

‘G.H. Hardy schreef daar zo’n prachtig boekje over! Pas op zijn 60ste beseft hij dat zijn creativiteit aan het verdwijnen is. Hij vindt zijn leven zinloos geworden. Maar het kan ook anders. Hardy beschrijft een prachtige anekdote over de Indiase wiskundige Ramanujan, die op zijn sterfbed ligt. Wiskundigen zijn niet de makkelijkste praters, dus Hardy zegt dat hij in een taxi zat met een nummer waar hij echt niks bijzonders in kon ontdekken, ik meen 1789.

‘‘Nee, nee Hardy, dat zie je verkeerd!’, zegt Ramanujan zonder een seconde na te denken en bijna overlijdend. ‘Het is het kleinste getal dat je op twee manieren kunt schrijven als de som van twee derde machten’.’

Rinooy Kan lacht. ‘Dat is toch fenomenaal! Het klopt, hè?’

Bijna goed! Het is een van onze favoriete anekdotes, maar het getal klopt natuurlijk niet.

HJ wees ons ook op een grappige ingezonden brief die de volgende dag verscheen:

Aftakeling

Hierbij een reactie op het interview met SER-voorzitter Alexander Rinnooy Kan (Economie, 15 december). Niet 1789 maar 1729 is het kleinste getal dat op twee manieren de som van twee derdemachten is (namelijk die van 10 en 9 zowel als die van 12 en 1). Ik ben een wiskundige van 65 jaar en nog zeer alert. Gelukkig geldt de aftakeling niet voor iedere wiskundige vanaf 40 jaar.

Ruud Engelschman, Rheden

Op deze site kun je meer lezen over de zogenaamde “taxicab-getallen” die naar de Hardy-Ramanujan-anekdote vernoemd zijn.

Twee Amsterdammers maakten als antwoord hierop een filmpje met wat feiten over Amsterdam, zie the Truth About Amsterdam. Eén van die feiten was: 40,3% van de Amerikanen heeft cannabis geprobeerd, tegenover 22,6% van de Nederlanders.

Het antwoord van O’Reilly: “The way they use statistics in The Netherlands is different. Plus, it’s a much smaller country.”

Dit wiskundemeisje wist niet of ze moest lachen of huilen. Gelukkig staat er op  the Truth About Amsterdam een nieuw filmpje waar het nog een keer wordt uitgelegd.

(Noomi Rapace als Lisbeth Salander in de verfilming van het eerste deel die in augustus uitkomt)

Ik zal niet teveel verklappen, maar Lisbeth Salander, een van de hoofdfiguren, is een jonge vrouw die er uitziet als een jongetje van veertien; gewelddadig, anti-sociaal en eigenzinnig is, extreem goed is met computers en gespecialiseerd is in persoonsonderzoeken. In het tweede deel, “De vrouw die met vuur speelde”, leest ze een wiskundeboek: “Dimensions in Mathematics” van Dr. L.C. Parnault, Harvard University, 1999.

Voordat ze het artikel in “Popular Science” had gelezen, was ze nooit ook maar één seconde gefascineerd door wiskunde of had ze ook maar bedacht dat de tafels van vermenigvuldiging mathematiek waren. De tafels van vermenigvuldiging, dat was iets wat ze in een middag op school uit haar hoofd had geleerd en ze had maar niet kunnen begrijpen waarom de meester daar een heel jaar over was blijven doorzeuren.

Plotseling had ze de onverbiddelijke logica vermoed die achter de gepresenteerde redeneringen en formules moest zitten, wat haar naar de planken van de academische boekhandel had geleid. Maar pas toen ze “Dimensions in Mathematics” had opengeslagen, was er een heel nieuwe wereld voor haar opengegaan. Wiskunde was eigenlijk een logische puzzel met oneindige variaties; raadsels die konden worden opgelost. De truc was niet om rekenvoorbeelden op te lossen, want vijf maal vijf was altijd vijfentwintig. De truc was om de structuur te begrijpen van de verschillende regels die het mogelijk maakten om elk willekeurig wiskundig probleem op te lossen.

Lisbeth raakt in de ban van de laatste stelling van Fermat: de vergelijking heeft geen geheeltallige oplossingen als en , en allemaal niet nul zijn. Fermat beweerde in 1637 dat hij een mooi bewijs gevonden had, maar dat de kantlijn waarin hij schreef te klein was om het te bevatten. Uiteindelijk werd de stelling in de jaren ‘90 bewezen door Andrew Wiles. Maar zijn bewijs is zó modern, dat dat onmogelijk het bewijs kan zijn waarvan Fermat beweerde dat hij het gevonden had. Dus Lisbeth gaat erover nadenken.

Het is een beetje jammer dat de stelling van Fermat in het boek alleen maar voorkomt als het geval , want dat klopt gewoon niet. Het geval is veel makkelijker dan het algemene geval en werd veel eerder bewezen. Het is ook jammer dat de redacteur niet zo goed heeft opgelet: bij het begin van elk deel staat een vergelijking, en steeds zijn de kwadraten per ongeluk niet in superscript, maar gewoon op dezelfde regel afgedrukt, zodat er formules staan als .

Maar het wiskundige zijspoor is maar een heel klein onderdeel van het verhaal, en deze foutjes mogen de pret niet drukken. Zeker lezen dus, als je van spannende boeken en intrigerende personages houdt!

En bestaat dat fascinerende boek “Dimensions in Mathematics” nou echt? Nee, zo schrijft Harvard University Press zelf maar op de website:

Dimensions in Mathematics – a phantom, a chimera

Mystery Readers who will have snagged a copy of Steig Larsson’s newest thriller The Girl Who Played with Fire (it’s out in the UK, translated from the original Swedish; US edition is coming in July) will have noticed that female protagonist Lisbeth Salander satisfies her nascent interest in spherical astronomy with the help of a book titled “Dimensions in Mathematics,” written by one L. C. Parnault and apparently published by Harvard University Press in 1999.

Unfortunately for those of you who would like to follow in Lisbeth’s footsteps and penetrate the “dimensions of mathematics” for yourselves, you’ll have to turn somewhere other than the work of the esteemed Dr. Parnault, for as far as we can tell, and if our memories and our computers have not completely failed us, HUP has in fact published no such work, in 1999 or at any other time. Thus it seems that Mr. Larsson, whose Scandanavian crime fiction has won him a good deal of posthumous fame, leaves us with more than just fictional mysteries. We can only speculate about what Dr. Parnault would have been like, had we actually known or published him, and as for the contents of his mythical “Dimensions,” well, that’s an even greater mystery. For all we know, it could be the key to the universe or something, and now it’s gone missing! So if you’ve spied a copy of “Dimensions” in some musty back-alley secondhand shop, or know the whereabouts of our friend Dr. Parnault, or if somehow you yourself are Dr. Parnault, just, um, get in touch.

De kwaliteit van lessen rekenen en wiskunde verschilt veel per basisschool. Bijna een kwart van de scholen presteert onder het gemiddelde en ruim een kwart doet het bovengemiddeld goed.

Dat de kwaliteit van rekenlessen sterk verschilt is natuurlijk wel nieuws. Maar dat het aantal scholen dat bovengemiddeld presteert ongeveer even groot is als het aantal dat ondergemiddeld presteert, lijkt ons minder bijzonder.

[...]
G: Do you recognize that there’s a difference between “point zero zero two dollars” and “point zero zero two cents”?
[pause]
M: Point zero zero two dollars?
G: Do you recognize that there is actually…
M: …and point zero zero two cents.
G: Yes, do you you recognize there’s a difference between those 2 numbers?
[pause]
M: No.
G: Okay, is there a difference between 2 dollars and 2 cents?
M: Well, yeah, sir..
G: Well okay, is it.. is there a difference between .002 dollars and .002 cents?
M: .002 dollars and .002 cents.
G: Yes, is there a difference between..
M: Sir, sir, they’re.. they’re both the same if you, if you look at ‘em on paper-wise.
[...]

En het gaat maar door! Arme George wordt na zijn lange uitleg doorverbonden naar (A)ndrea en kan het hele verhaal opnieuw beginnen. Hier nog een stukje

[...]
A: …so all we have to do with the calculator is decimal point zero zero two and multiply it by how many kilobytes that you had…
G: This is where… This is where you’re wrong, I, I don’t know how to make this any clearer. Let’s try this. Write down 1 cent. How do you write down 1 cent?
A: Point zero one.
G: How do you write down half a cent?
A: Uhhh, that would be point zero zero five of a cent.
G: Okay.
A: [laughing] I don’t know, I’m not a mathematician. All I’m telling you is I can tell you that with the calculator…
G: Yep.
A: …and we take the .002 as everybody has told you that you’ve called in and spoke to…
G: Yes, but…
A: …and as our system bill accordingly, is correct.
G: But you said .002 *cents*. Why don’t you just write it down on a piece of paper. You have .002 *cents* not dollars. .002 *cents*…
A: Right
G: …times my 35,893. It’s a number, but it’s still in *cents*. If you quoted me .002 *dollars*, everything is correct. If you quoted me .002 dollars, which represents two tenths of one cent – per kilobyte, then everything is fine. But I wasn’t quoted two tenths of one cent, I was quoted two one-thousandths of one cent. I was quoted .002 cents. It’s a terminology problem. You guys are quoting .002 dollars as if it’s cents, simply because there’s a decimal point involved.
A: We’re not quoting .002 dollars, we’re quoting .002 *cents*
G: Ah, God.. Honestly.
A: I mean the computer is calculating the, the figure here…
G: I know it is, it’s… it’s a terminology issue…
A: …and we are calculating the figure here, and we’re all coming up with the same thing – except for you.
G: .002 cents is different than .002 dollars. I’m being charged .002 dollars per kilobyte. .002 dollars is one tenth of one… I mean, two tenths of one cent.
A: Okay, well, I mean it’s obviously a difference of opinion…
[...]

Enfin, ga voor de rest van het verslag, de audiofile en nog veel meer over Verizon naar VerizonMath. Dit alles inspireerde Randall Patrick Munroe, de maker van xkcd, tot het uitschrijven van de volgende cheque.

1. Een mogelijke reden voor het uitblijven van grote ladingen meisjes die wiskunde gaan studeren zou kunnen zijn dat meisjes die wiskunde leuk vinden minder geneigd zijn naar een activiteit te gaan waar vooral mannen zijn:

Zelfs meiden die zelf een exact vak studeren, voelen zich minder op hun gemak in een situatie waar de mannelijke wiskundestudenten in de meerderheid zijn. Wanneer in een promotiefilmpje voor een conferentie over hun vakgebied overwegend mannen te zien zijn, hebben ze minder interesse die bijeenkomst bij te wonen dan wanneer in zo’n filmpje de verhouding tussen het aantal mannen en vrouwen gelijk lijkt.

Aldus drie psychologen uit Stanford.

2. De koppenmaker van de NRC vindt mannen die een exacte studie doen nerds, en vrouwen niet.

3. Het woord “wiskundemeisjes”, dat voor wij deze weblog begonnen slechts een of twee google-hits had, raakt steeds meer ingeburgerd.

(Wij vinden nerds trouwens best leuk, maar wij zijn dan ook wel wiskunde gaan doen natuurlijk.)

Als lijstjesgek ben ik dol op de Internet Movie Database (IMDb voor vrienden). Ze houden ook een lijst bij van de top 250 van de beste films, die door stemmen van gebruikers wordt bepaald. Laatst viel me op dat onderaan die pagina een formule staat. Ik vond het heel goed dat ze lieten zien hoe de lijst werd samengesteld en wilde hier al een lovend stukje schrijven over de IMDb. Tot ik eens beter naar de formule keek. Dit is hem:

beoordeling = (v ÷ (v+m)) × R + (m ÷ (v+m)) × C,

waarbij

R = het gemiddelde cijfer dat de film krijgt,
v = het aantal stemmen voor de film,
m = het minimale aantal stemmen dat nodig is om in de lijst te komen (op dit moment 1300),
C = het gemiddelde cijfer over alle films genomen (op dit moment een 6.7).

Op de IMDb zeggen ze dat dit een true Bayesian estimate is. Ik vroeg aan een voorbij rennende hoogleraar in de statistiek of dat klopte. Hij antwoordde: “Onzin! Dit heeft niets met Bayes te maken, dit is gewoon een gewogen gemiddelde met een paar constantes erin.”

Mij verbaast het vooral dat de drempelwaarde m op deze manier gebruikt wordt. Je zou willen dat voor films waarbij het aantal stemmen (v) lager is dan m, er iets geks uit de formule komt (iets negatiefs of heel kleins). Maar dat is helemaal niet het geval, zoals dit eenvoudige plaatje (waarbij het aantal stemmen loopt van 1000 tot 1500) laat zien.

Zouden ze niet liever v-m gebruiken in plaats van v+m (hoewel dat in de noemer zeker geen goed idee is)? Of zie ik iets over het hoofd?
(Ionica)