“Mooie zeden in Ede, zei oom.” Als kind bladerde ik uren in mijn moeders exemplaar van Battus’ Opperlandse taal&letterkunde. Hele stukken leerde ik uit mijn hoofd, waaronder die klassieke omkeerzin. Prachtig vond ik palindromen als levensnevel, moorddroom of nepmarsrampen.

Spelen met letters vind ik nog steeds leuk, maar minstens zo graag speel ik met cijfers. Ook daar heb je mooie palindromen. Een fijn voorbeeld is het priemgetal 11933316181512171330203317121518161333911 (dit getal is alleen te delen door één en zichzelf). Als je van dit getal steeds de eerste en laatste twee cijfers weghaalt, dan krijg je een rijtje met allemaal palindroompriemen. Het eindigt met 2, het enige even priemgetal. Ook aardig is 1030301, de derde macht van 101 (dat zelf een omkeerpriem is).

We weten nog een heleboel niet over symmys in de getallen. Bestaan er bijvoorbeeld oneindig veel palindroompriemen? Hoe groter de getallen, hoe schaarser de palindromen. Tussen de 100 en 999 is één op de tien getallen een palindroom, want bij elke twee begincijfers geeft één van de tien mogelijke eindcijfers een palindroom. Tussen 100.000 en 999.999 is de score nog maar één op de duizend. Bij elke twee cijfers die erbij komen, neemt het percentage palindromen met een factor tien af. Ook priemgetallen zijn steeds zeldzamer in de hogere regionen. Niemand weet of er desondanks toch oneindig veel palindroompriemen zijn.

Nog veel intrigerender is het 196-probleem. Je kunt palindromen soms maken uit gewone getallen. Neem een getal, keer het om en tel het op bij wat je had. Herhaal dit tot je een palindroom krijgt. Als je begint met 32, dan krijg je 32+23 =55 en ben je in één stap klaar. Begin je met 39, dan ga je via 39+93 = 132 naar 132+231 = 363. Als je met een getal onder de honderd begint, dan eindig je altijd bij een palindroom. Al kan het best even duren, vanaf 89 moet je maar liefst 24 stappen maken voordat je eindelijk bij 8813200023188 komt.

Kom je uiteindelijk altijd uit bij een palindroom? Wiskundigen vermoeden dat er getallen zijn waarbij het niet lukt. Het kleinste voorbeeld is 196 (vandaar dat dit het 196-probleem heet). Meer dan een biljoen stappen zijn er al doorgerekend en er verschijnt maar geen palindroom. Het is moeilijk om te bewijzen is dat er nóóit een palindroom komt, want het zou altijd kunnen dat bij een volgende stap ineens een mooie symmetrie tevoorschijn komt. De kans daarop is natuurlijk wel steeds kleiner, omdat in de grote getallen minder en minder palindromen voorkomen. Er zijn meer getallen zoals 196 waarvan we niet weten of ze op een palindroom uitkomen. De slimmeriken hebben vast al geraden dat 691 ook een probleemgeval is. Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen. En daarboven nog veel meer.

Levert een oplossing van dit 196-probleem ook maar iets op? Krijgen we er snellere computers door? Veiligere auto’s? Nog meer welvaart? Waarschijnlijk niet. Maar wie net als ik van Opperlans houdt, begrijpt dat het daar helemaal niet om gaat bij dit soort problemen.

Wij bedanken (nu we dan eindelijk weer eens een klein speechmomentje hebben) de onvolprezen Uitgeverij Nieuwezijds en vormgever Egbert Clement van Studio Jan de Boer. Nu gaan we snel een vreugdedansje doen (en daarna Het Nederlands Viskookboek lezen, want dat won de Gouden Tulp)!

In onze vorige column kon u lezen dat er in Hilberts hotel, een hotel met oneindig veel kamers die genummerd zijn als 1, 2, 3, …, altijd plaats lijkt te zijn. Zelfs als elke kamer bezet is, kan een verdwaalde laatkomer toch een plekje krijgen: iedereen schuift een kamer op. En ook grotere groepen, soms zelfs oneindig groot, pasten er toch steeds weer in.

Dit gaf het gevoel dat alle oneindigheden in Hilberts hotel pasten. Maar wat betekent passen of “even groot” precies? Wiskundigen noemen groepen dingen “even groot” als je ze één op één aan elkaar kunt koppelen. Bijvoorbeeld: er zijn evenveel positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) als positieve even getallen (2, 4, 6, …), want je kunt elk getal koppelen aan het dubbele: 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, enzovoorts.

Dit type oneindig heet “aftelbaar”. Er is een duidelijke nummer 1 aan te wijzen, een nummer 2, enzovoorts. Je bent nooit klaar met aftellen, want de verzameling is oneindig, maar je kunt ze op een rijtje zetten, net als 2, 4, 6, … en de kamers in Hilberts hotel. Ook de verzameling van breuken, al lijkt die veel groter, is aftelbaar. Maar niet alle getallen zijn breuken: en zijn beroemde voorbeelden.

De verzameling van alle getallen tussen 0 en 1 is niet aftelbaar. Het bewijs is bijzonder elegant, maar vereist wel enig hersenwerk.

Getallen tussen 0 en 1 hebben een (oneindig lange) decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: of of .

Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waar ze allemaal op staan. Wat blijkt? Hoe die lijst er ook uitziet, je kunt altijd een nieuw getal tussen 0 en 1 construeren dat niet op de lijst staat. Dat doe je als volgt. We beginnen met 0 en de komma. Nu gaan we de eerste decimaal van het nieuwe getal als volgt bepalen: als de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, en als het wel een 2 was kiezen we een 1.

Nu verschilt de eerste decimaal van ons nieuwe getal van de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst. We kiezen op dezelfde manier een tweede decimaal: als de tweede decimaal van het tweede getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, anders een 1. Enzovoorts.

Een voorbeeld van een hypothetische lijst met de constructie van een stukje van het nieuwe getal.

Dit nieuwe getal staat nergens op de lijst. Ga maar na: het is niet gelijk aan het eerste getal op de lijst, want de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet gelijk aan het 37e getal, want de 37e decimaal verschilt. Kortom: het nieuwe getal ontbreekt op de lijst, wat de lijst ook was! Maar het zou er wel op moeten staan, want het is een getal tussen 0 en 1. Dat betekent dat de getallen tussen 0 en 1 niet op een lijst te zetten zijn, en er dus geen koppeling bestaat met de aftelbare verzameling 1, 2, 3, … . Echt een ander soort oneindig, dus!

ps Hebben jullie ook Wetenschap 101 al gezien? Dat is de nieuwe videoblog van Govert Schilling en mij.

Oneindig is ook één van de moeilijkste begrippen in de wiskunde. De metafoor van Hilberts Hotel (genoemd naar wiskundige David Hilbert) laat zien hoe raar oneindig zich gedraagt. Hilberts Hotel heeft een oneindig aantal kamers. Die kamers zijn zoals gebruikelijk in een hotel genummerd: 1, 2, 3, enzovoorts. Het hotel is vol, alle kamers zijn bezet. De logische conclusie lijkt dat er geen enkele gast meer bij past.

Dan meldt zich een wanhopige reiziger bij de balie, is er echt geen kamer meer vrij? De receptionist denkt even na en knikt dan enthousiast. Via de intercom vraagt hij alle gasten om één kamer op te schuiven: de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoorts. Daarna is kamer 1 vrij voor de reiziger en heeft nog steeds elke gast een kamer. Deze oplossing werkt voor elk eindig aantal gasten dat zich meldt aan de balie. Dat is behoorlijk tegenintuïtief: het hotel is vol, maar tegelijkertijd is er altijd plaats voor een willekeurig aantal nieuwe gasten.

En het wordt nog gekker! Een bus van InfinityTravels brengt een (zeer lange) bus met oneindig veel reizigers naar het hotel. Nu zal de receptionist toch zeker moeten zeggen dat er geen plaats is? Maar nee, ook hierop verzint hij een list: hij stuurt alle gasten naar de kamer met het dubbele van hun kamernummer. De gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 4, die in kamer 3 naar kamer 6, enzovoorts. Dan komen alle kamers met een oneven nummer vrij en kunnen er in een vol hotel dus toch nog oneindig veel gasten bij. (Nu maar hopen dat er ook oneindig veel kamermeisjes zijn.)

Dan komt InfinityTravels na een speciale aanbieding met oneindig veel bussen met daarin elk oneindig veel passagiers. De receptionist kan op dezelfde manier als net oneindig veel kamers leegmaken, maar als hij dan begint met bus 1 in te laden, dan komen de passagiers in de volgende bussen nooit aan de beurt. Maar ook nu verzint de receptionist iets slims: hij begint met passagier 1 van bus 1, daarna mag passagier 1 van bus 2 komen, dan passagier 2 van bus 1 en zo zigzagt hij door alle passagiers in alle bussen en krijgt iedereen een kamer.

Schema voor het uitladen van de buspassagiers

Het lijkt alsof er altijd plaats is in Hilberts Hotel en toch is er een ander soort oneindig die er níet inpast. Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Maar dat is iets voor een volgende column.

Genieën spreken tot de verbeelding. En als gewone mensen opeens een onontdekt genie blijken te zijn, spreekt dat nog veel sterker tot de verbeelding. Want wie weet! Misschien hebben wij zelf ook wel een onontdekt groot talent dat ons eeuwige roem en geluk zal brengen! Er is dan ook een niet aflatende stroom aan tv-programma’s te zien die ons, de gewone mensen, uitdagen om onze talenten aan de rest van de wereld te laten zien.

En al is wiskunde misschien niet zo geschikt voor een talentenjacht op televisie, er zijn wel degelijk anekdotes in omloop over onontdekte wiskundegenieën. Een van de bekende urban legends over zo’n wiskundegenie gaat ongeveer als volgt: een gewone student komt een wiskundeprobleem tegen, gaat eraan werken, en lost het op. Zonder te weten dat het betreffende probleem een open, onopgelost wiskundeprobleem was waar de grote geesten hun tanden al op stukgebeten hadden.

Deze verhaallijn zie je terug in de film Good Will Hunting. Een jonge schoonmaker (gespeeld door Matt Damon) maakt de gangen van het MIT schoon en leest zodoende een wiskundevraagstuk op een schoolbord. Hij gaat aan de slag, en jawel: lost het op. Het zogenaamd onopgeloste probleem op het schoolbord in deze film is trouwens in werkelijkheid een standaardopgave die een gemiddelde wiskundestudent makkelijk moet kunnen maken, maar dat is een ander verhaal.

Hoe onwaarschijnlijk de situatie in Good Will Hunting ook is (zonder opleiding is het feitelijk onmogelijk om wiskundenotatie te lezen, hoe slim je ook bent, want dat is gewoon een hele rits afspraken waarvan je weet moet hebben), er zit wel een kern van waarheid in.

In 1939 ging George Dantzig, student in Berkeley, naar een college van professor Jerzy Neyman. Hij was te laat. Toen hij binnenkwam, stonden er twee statistiekproblemen op het bord. Hij nam aan dat het de huiswerkopgaven waren voor deze week, schreef ze over en ging er aan werken. Ze leken wat moeilijker dan anders. Meestal kreeg hij zijn huiswerk wel in een paar uur af, maar nu had hij een paar dagen nodig. Met excuses bracht bij ze naar Neyman, die hem sommeerde het huiswerk maar op zijn bureau te leggen. Een week of zes later bonkte Neyman op zondagochtend opgewonden bij Dantzig op de deur: “Ik heb een inleiding geschreven bij je artikel! Lees het snel even door, dan kan ik het direct opsturen voor publicatie!” Dat was het moment waarop Dantzig merkte dat hij iets bijzonders gedaan had: de problemen die hij opgelost had, bleken open problemen te zijn.

Dantzigs oplossingen werden de basis voor zijn dissertatie. En ook later deed hij belangrijke dingen: hij bedacht de zogenaamde simplexmethode, een methode die veel gebruikt wordt bij optimaliseringsproblemen (denk aan maximaliseren van productie, of het minimaliseren van kosten).

Ik zie deze anekdote persoonlijk liever als een stimulans tot een open blik dan als een verhaal over een onvermoed genie. Dantzig was onbevooroordeeld. Hij wist niet dat het vraagstuk een bekend open probleem was, dus hij benaderde het als ieder ander huiswerkprobleem. Moeilijk, maar ja, het was een huiswerkopgave, dus uiteindelijk zou het moeten lukken. En zo was het.

Vorige maand overleed de Nederlandse wiskundige N.G. de Bruijn. Ik ontdekte zijn speelse wiskunde jaren geleden toen een vriend mijn hulp vroeg bij het kraken van een code. Hij wilde als grap de boodschap op iemands telefoonbeantwoorder veranderen. Zijn slachtoffer had een destijds hypermodern apparaat dat je vanaf elke telefoon op afstand kon bedienen, mits je de geheime viercijferige code invoerde. Je mocht daarbij net zoveel getallen intoetsen als je wilde. Dus als de juiste code 4567 was, dan kwam je met 1234567 of 4444567 in het systeem. Mijn vriend vroeg zich af wat de snelste manier was om de10.000 mogelijke codes te proberen. Domweg alle mogelijkheden achter elkaar intoetsen gaf een reeks van 40.000 cijfers. Wist ik een wiskundige truc om het sneller te doen?

Ik begon eerst met een eenvoudiger probleem: een zo kort mogelijke rij zoeken met alle viercijferige codes van alleen enen en nullen. In dat geval zijn er zestien verschillende mogelijkheden, en alle mogelijkheden na elkaar proberen geeft dan een reeks van 64 cijfers. Maar ik zag al snel dat het sneller kan doordat codes elkaar mogen overlappen. Toets bijvoorbeeld 000011 en je probeert met zes cijfers meteen drie codes: 0000, 0001 en 0011.

Als je die overlap optimaal gebruikt, dan zit elk cijfer dat je intoetst in vier verschillende combinaties, behalve de drie cijfers aan het begin en einde. In het beste geval zou je daarom zestien combinaties in negentien cijfers kunnen proppen. Na een tijdje prutsen op een envelop vond ik het volgende rijtje: 0000111101100101000. Liefhebbers mogen controleren dat in deze negentien cijfers inderdaad alle zestien mogelijke codes zitten.

Voor de telefoonbeantwoorder vermoedde ik dat op een zelfde manier alle tienduizend codes in slechts 10.003 cijfers moesten passen. Maar daar was met pen en papier geen beginnen aan. Toen wees een vriendelijke wiskundige me erop dat N.G. de Bruijn dit soort rijen al uitgebreid had geanalyseerd. Ze dragen nu zelfs zijn naam. De Bruijn bewees dat er altijd een rijtje bestaat waarin elke combinatie precies één keer voorkomt. Het maken van zo’n rij is nog best lastig, maar met wat programmeerwerk vond ik voor mijn vriend inderdaad een reeks van 10.003 cijfers met alle codes voor de telefoonbeantwoorder.

N.G. de Bruijn (die zelf trouwens bescheiden opmerkte dat hij niet de eerste was die een De Bruijn-rijtje beschreef.)

De Bruijn-rijen duiken op onverwachte plekken op. In het Sanskriet was er tweeduizend jaar geleden al één als ezelsbruggetje om namen te onthouden. Tegenwoordig zijn de rijtjes nuttig bij DNA-analyse en data-compressie. De mooiste toepassing – naast het kraken van die telefoonbeantwoorder- kwam ik laatst tegen in een goocheltruc. Je kunt er in een pak speelkaarten voor zorgen dat elke zes opeenvolgende kaarten een ander kleurenpatroon hebben (bijvoorbeeld zrzzrz, waar z een zwarte kaart is en r een rode). Een slimme goochelaar laat het dek couperen door een vrijwilliger, vraagt daarna zes mensen om steeds de bovenste kaart te pakken en laat degenen met een rode kaart hun hand opsteken. Uit die minimale informatie kan hij dankzij het unieke zwart-rood-patroon dan precies zeggen welke kaarten de vrijwilligers hebben. Jammer dat je deze truc alleen goed kunt uitvoeren als je net zo slim bent als N.G. de Bruijn.

Een van de grootste misverstanden omtrent wiskunde is dat mensen die wiskunde leuk vinden het ook altijd makkelijk vinden. Dat is niet zo: iedereen komt vanzelf op een punt dat hij het niet meer snapt. Een belangrijk verschil tussen mensen die zichzelf goed of juist slecht in wiskunde vinden, is hoe ze daar vervolgens mee omgaan.

Voor wiskundigen begint de uitdaging dan pas! Ze gaan met frisse moed het probleem te lijf, bereiden zich mentaal voor op een serie frustraties en vertrouwen erop dat doorzetten uiteindelijk zal leiden tot, in het ideale geval, een euforisch gevoel van begrip: “ja natuurlijk zit het zo!” En soms duurt dat heel lang. Of komt het niet. Kan gebeuren.

Mensen met wiskundeangst (math anxiety) gaan daar heel anders mee om. Meestal hebben ze in hun schooltijd op een bepaald moment een gevoel van “sudden death” ervaren, schrijft Sheila Tobias in haar boek “Overcoming math anxiety”. Bij haarzelf kwam dat toen ze leerde dat hetzelfde betekent als . Ze snapte dat het consistent was met de regels voor machten, maar dat voelde niet als een echte uitleg. En toen kreeg ze het gevoel dat het niet alleen moeilijk was om het te begrijpen, maar zelfs fundamenteel onmogelijk. Een irrationele reactie, maar eentje die veel vaker voorkomt. Meestal gepaard aan het gevoel dat eerdere wiskundesuccessen dus blijkbaar “gefaket” waren. Mensen met wiskundeangst gaan fouten vermijden in plaats van onderzoeken, en geloven vaker dat wiskunde iets is dat je kunt of niet kunt, een aangeboren eigenschap waar je niets aan kunt veranderen.

Waarom is juist wiskunde eng? Wiskunde bouwt sterk voort op eerder opgedane vaardigheden, als je ergens een steek hebt laten vallen is het moeilijk die weer op te halen. Er is druk om “het goede antwoord” te geven, met de onterechte implicatie dat er altijd maar één goed antwoord is. En wiskunde, hoe exact ook, is soms onverwacht dubbelzinnig zonder dat dat expliciet gemaakt wordt. In en betekenen de =-tekens iets heel verschillends: het eerste geeft aan dat de vergelijking opgelost moet worden, het tweede dat de bewering waar is, welk getal ook is. Dat blijkt echter niet uit de vorm van de uitdrukking. Dat soort dubbelzinnigheden kunnen verwarring opleveren, en een gevoel van onmacht.

Om wiskundeangst te voorkomen is het belangrijk om als docent of ouder te benadrukken dat het denkproces belangrijker is dan het eindantwoord. Dat wiskunde niet iets is wat je kan of niet kan, maar dat je kan (moet) oefenen. Dat al die wiskunde ergens vandaan komt, door mensen bedacht is om echte vragen op te lossen, en dat je ook in wiskundesommen creatief kunt zijn. Dat samenwerken productief is. En vooral: niet opgeven.

In 2010 werd in een Amerikaans onderzoek aangetoond dat wiskundeangst bij leraressen op de vroege basisschool (en negentig procent van die docenten is vrouw) meisjes in hun klas (maar niet de jongens!) negatief beïnvloedt: zij geloven vaker dat meisjes niet goed zijn in wiskunde, en hun wiskundeprestaties blijven achter. Genoeg reden om wiskundeangst als een probleem te zien, zeker bij leraren (in opleiding).

Over de naam van deze rubriek, wiskundemeisjes, is al heel wat gemopperd. Dat meisjes is denigrerend voor serieuze wiskundigen. En zijn we sowieso niet te oud om onszelf meisjes te noemen? Maar nooit krijgen we vragen over het eerste deel van de naam, terwijl wiskunde toch best een merkwaardig woord is. In het Engels heet het vak mathematics, in het Frans mathématiques en in het Hongaars matematika. Allemaal afkomstig van máthēma, oud-Grieks voor “wat men leert”. Hoe komen wij dan aan wiskunde?

Die naam hebben we te danken aan wiskundige Simon Stevin (1548-1620). In zijn tijd verschijnen wetenschappelijke werken in het Latijn. Stevin vindt dat onzin en schrijft zelf zeer bewust in het Nederlands. Dat is namelijk een heldere, efficiënte taal en bovendien kunnen zo ook werklieden zijn teksten lezen. Aan het begin van zijn boek Wheegconst gaat Stevin bladzijden lang te keer over taal en geeft hij lijsten waaruit blijkt dat het Nederlands veel lekker korte woorden van één lettergreep heeft. Tegen buitenlanders die klagen dat Nederlands moeilijk om te leren is zegt hij: “Om dat een witte muer beter om schilderen is dan Paris oirdeel, is sy daerom oock constigher?”

Paris oirdeel - iets kunstiger dan een witte muur (zou ik zeggen)

Stevin introduceert een hele lijst Nederlandse alternatieven voor leenwoorden. Hij gebruikt bijvoorbeeld liever middellijn dan diameter. Veel van zijn termen gebruiken we nog steeds: wiskunde bijvoorbeeld. Maar ook evenwijdig, meetkunde, sterrenkunde en scheikunde. Wiskunde komt overigens van het al langer gebruikte wisconst: de kunst van het weten (denk aan het Duitse wissen of “wis en waarachtig”).

Niet alle woorden van Stevin worden een succes. Zo wil hij singconst gebruiken voor muziek, letterconst voor grammatica en redenconst voor retoriek. Hij houdt duidelijk erg van const, maar deze alternatieven slaan niet aan. Erg mooi vind ik strijtreden voor argument. En kunt u nog raden wat Stevin bedoelt met een lanckrondt?

Stevin doet veel meer dan het propageren van de Nederlandse taal. Hij schrijft een hele reeks boeken en combineert in zijn werk steeds nieuwe theoretische ontdekkingen met praktische toepassingen. In 1585 verschijnt bijvoorbeeld De Thiende, een invloedrijk pleidooi om het tientallig stelsel te gebruiken. Natuurlijk is dit boek geschreven in zijn volkstaal en in de opdracht maakt hij duidelijk voor wie het is: “Den sterrekijckers, landtmeters, tapijtmeters, wijnmeters, lichaemmeters int ghemeene, muntmeesters ende alle cooplieden wenscht Simon Stevin gheluck”. Zijn boek is een bestseller, mede door de praktische tips die hij hierin geeft. Zo laat hij zien hoe tapijtmeesters hun meetstok aan de achterkant kunnen indelen in tienden om hun rekenwerk te vereenvoudigen.

Hobbyprojectje van Simon Stevin

Stevin is ook militair adviseur van Prins Maurits en laat de prins de blits maken met een zeilwagen die 28 passagiers supersnel van Scheveningen naar Petten brengt. Verder bewijst hij vóór Galileo dat voorwerpen van verschillende gewichten even snel vallen, ontwerpt hij betere molens en schrijft een handboek voor burgers tijdens roerige tijden.

Kortom: wat een held was die Simon Stevin. Hij draait zich vast om in zijn graf als hij hoort dat de Nederlandse universiteiten nu voornamelijk in het Engels werken.