Wiskundemeisjes

De BBC zendt al een paar jaar het programma More or less uit op de radio. Van de website:

We like to think that More or Less has no particular subject.

Rather it touches on every subject, with the same calm authority.

We all use numbers in so many ways to argue about, understand, help make sense of the world around us.

More or Less hopes to make that task easier, more entertaining, more surprising.

Over wiskunde in de echte wereld dus, voor een breed publiek!

Presentator Tim Harford

Op 17 april is de nieuwe serie begonnen. De meest recente aflevering is online terug te luisteren, net als de oudere afleveringen in het archief.

Op de website staan een paar filmpjes, waarin programma-gasten uitleggen wat zij met getallen hebben. Marcus du Sautoy vertelt bijvoorbeeld waarom 17 zijn favoriete getal is. Leuk!

Deze column verscheen in De Volkskrant van 3 januari 2009.

Coldplay stond hoog in de eindejaarslijsten met Viva la Vida. Ik zing het titelnummer graag hard mee, maar eigenlijk vind ik Coldplay een wat pretentieuze band. Neem de voorkant van hun vorige album X&Y. Op de hoes stonden een paar gekleurde blokken en er werd reuzegeheimzinnig gedaan over wat de band hiermee bedoelde. De Britse krant The Guardian belde destijds wiskundeprofessor Marcus du Sautoy met de vraag of hij kon ontcijferen wat er stond. De deadline was drie uur later en als het hem niet op tijd lukte, dan zou de krant schrijven `Professor uit Oxford kan code Coldplay niet kraken’. Natuurlijk wilde Du Sautoy deze kop voorkomen, of misschien hield hij net als ik niet zo van Coldplay, dus hij ging snel aan de slag.

Hij gokte dat de blokken een soort code vormden en dat de kleuren er niet toe deden. Veel codes gebruiken maar twee waarden: denk aan de korte en lange piepjes in het S.O.S-signaal van de Morse-code of de nullen en enen in de computer. Bij de hoes van Coldplay zou de aanwezigheid van een blok wel eens een 1 kunnen zijn en de afwezigheid van een blok een 0. De eerste kolom van de blokken van de hoes werd dan 10111. Du Sautoy herkende dit onmiddellijk als de Baudot code voor `X’, waaruit blijkt dat hij niet voor niets professor is geworden.

Die Baudot code was een van de eerste manieren om letters naar getallen om te zetten. De Franse ingenieur Émile Baudot bedacht de code in 1874 om berichten met de telegraaf te versturen. Hij gebruikte een rijtje van vijf nullen en enen voor elke letter en kon zo in totaal 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 32 verschillende symbolen weergeven. Hij gebruikte 11011 om te schakelen tussen letters en andere tekens, net zoals we op een toetsenbord dezelfde toets gebruiken voor 8 en *. Inmiddels is Baudot voorbijgestreefd door betere codes zoals ASCII, maar dankzij Coldplay beleefde hij een kleine revival.

Terug naar het ontcijferen van de hoes, Du Sautoy had gevonden dat de eerste kolom een `X’ voorstelde en hij wist dat het album `X&Y’ als titel had. Kortom: hij was er tamelijk zeker van dat hij de code had gebroken. Voor de zekerheid keek hij naar de rest van de blokken. De rechter kolom werd 10101 en dit was inderdaad de Baudot code voor `Y’. Nu waren alleen nog de twee middelste kolommen over, waarvan de eerste de Baudot-shift 11011 was. Nu moest Du Sautoy toch even opzoeken in de tabel voor andere tekens wat er dan bij de derde kolom 00011 hoorde. Tot zijn grote verbazing stond daar een 9 en geen &. Op de hoes staat dus X9Y in plaats van X&Y. Gek genoeg stond in de krant niets over deze blunder, er was alleen te lezen dat Coldplay zo’n slimme, oude code had gebruikt. Waarschijnlijk hield de redactie wél van de band.

Naschrift: inmiddels kreeg ik allerlei reacties van mensen die (al dan niet na het lezen van Wikipedia) veel meer weten van Baudot codes dan ik. Misschien had ik iets genuanceerder moeten schrijven over de varianten van de Baudot codes, maar het was natuurlijk ook maar een korte column...

Eindelijk had ik de afgelopen week tijd om Finding Moonshine te lezen en wat is dit een ge-wel-dig boek! Het vorige boek van Marcus du Sautoy (The music of the primes) vond ik ook tof, maar Finding moonshine is nóg beter.

Het boek bestaat uit een dagboek van één jaar uit het leven van Du Sautoy. Elke maand is een hoofdstuk. Du Sautoy gebruikt persoonlijke belevenissen als aanleiding om te vertellen over symmetrie, wiskundigen en hun ontdekkingen. In oktober bezoekt hij bijvoorbeeld met zijn gezin het Alhambra. Du Sautoy is vastbesloten om alle zeventien elementen van de behangpatroongroep te vinden in de tegels van de paleizen. Hij legt zijn zoon (en ons) uit waarom twee tegelpatronen die er anders uitzien toch dezelfde symmetrie hebben. Aan het eind van de dag mist Du Sautoy nog drie patronen als zijn zoon hem meesleurt naar de museumwinkel. Het is duidelijk dat de rest van het gezin soms een beetje moe wordt van Du Sautoy. Best begrijpelijk, want de volgende dag gaat hij 's morgens vroeg in zijn eentje terug om alsnog de drie missende symmetrieën te zoeken. Hij negeert zelfs een 'verboden toegangsbordje' (en legt uit dat dit voor een wiskundige een enorme stap is) om de laatste te vinden...

In Finding Moonshine wordt op een voor leken begrijpelijke manier uitgelegd waarom wiskundigen zo geïnteresseerd zijn in symmetrie en wat een symmetrie nu eigenlijk is. Du Sautoy schrijft over de geschiedenis van wiskundige ideeën op een manier waar ik erg van houd: in grote lijnen, met veel anekdotes en soms wat slordig. Ik vermoed dat sommige (wat preciezere) wiskundigen deze stukken tandenknarsend zullen lezen, maar dit boek is ook niet voor hen bedoeld. Du Sautoy heeft er nu eenmaal voor gekozen om een boek voor een brede doelgroep te schrijven en hij moet daarom soms wat details weglaten.

Ik bewonder Du Sautoy om zijn keuze: niet eerder las ik een zo openhartig verslag van hoe het is om in deze tijd als wiskundige te werken. Neem bijvoorbeeld zijn gedachten als twee studenten hem vertellen dat ze niet verder willen als wiskundige.

What is unsettling for me is that they both questioned the importance of what we are doing. They've asked that 'What's it all for?' question, and think they have seen the Emperor without any clothes. Anton has questioned whether the problems we are working on are really important. I've explained why I think these are fundamental questions about basic object in nature, but I can see that he isn't convinced. I feel I am having to defend my whole existence.

Het boek staat vol met aardige voorbeelden en uitspraken, ik zal er binnenkort een paar apart op de site zetten. In de tussentijd kunnen jullie natuurlijk zelf al lang Finding Moonshine bestellen. Voor wie liever boeken in het Nederlands leest is er bijzonder goed nieuws: komend voorjaar (2009) verschijnt de vertaling van dit boek bij uitgeverij Nieuwezijds. Ik weet nu al wat mijn moeder volgend jaar krijgt voor moederdag!

Marcus du Sautoy is zeker één van mijn favoriete nog levende wiskundigen. Hij doet veel aan de popularisering van wiskunde: hij presenteert programma's bij de BBC en schreef het onvolprezen boek The music of the primes. Zijn nieuwe boek gaat over symmetrie en het heet Finding Moonshine. Ik ga het binnenkort bestellen!

Du Sautoy werkt(e) als wiskundige aan zeta-functies. Hij kreeg in 2001 de prestigieuze Berwick Price van London Mathematical society. Ook werd hij in april 2004 door Esquire gekozen als een van de honderd meest invloedrijke mannen onder de veertig.

Vaak als ik op internet een bijzonder goed geschreven stuk over wiskunde tegenkom, met daarin volop pakkende voorbeelden, dan blijkt dat geschreven door Du Sautoy. Redenen genoeg om te vragen wie deze man bewondert. Hij kiest een naam die we eigenlijk al eerder verwacht hadden in deze rubriek...

Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck werd in 1928 geboren in Berlijn. Zijn vader was een opmerkelijk figuur: deze anarchist werd op 18-jarige leeftijd al veroordeeld tot de doodstraf in Rusland, kreeg gratie omdat hij zo jong was, verloor een arm bij een ontsnappingspoging en werd later vrijgelaten. Hij vocht in de Spaanse burgeroorlog en werd uiteindelijk als 'ongewenst' gedeporteerd naar Auschwitz, waar hij in 1942 overleed. Alexander woonde toen al een paar jaar in Frankrijk. Hij studeerde later aan de universiteit van Montpellier. Daarna ging hij naar Parijs en Nancy en werd hij lid van de legendarische groep Bourbaki. Na een paar jaar in São Paulo en Kansas, keerde Grothendieck in 1956 terug naar Frankrijk. Drie jaar later werd hij hoofd van het nieuwe Institut des Hautes Études Scientifiques. Hieronder een foto van Grothendieck tijdens zijn legendarische Séminaire de géométrie algébrique.

Over Grothendieck valt veel meer te vertellen. We vroegen Du Sautoy per email waarom hij Grothendieck bewondert en wat er zo bijzonder is aan zijn werk. Ik vind zijn antwoorden te mooi om te vertalen. Ik verwacht dat de meeste lezers geen moeite zullen hebben met het Engels...

"He created a new language to be able to gain new insights into how to solve equations. Solving equations has been a major theme in mathematics ever since the Ancient Babylonians started solving the first quadratic equations. But some equations have proved very difficult to unlock. For example the equations at the heart of Fermat's Last Theorem remained enigmatic for centuries. It was only with the developments of techniques of Grothendieck and other French mathematicians that we have finally got the tools to solve such problems.

Grothendieck is a master of seeing structure where others before could only see a mess. It is a very abstract language that he has produced and many mathematicians are still battling to master its grammar. But everyone knows that mathematics changed after Grothendieck's contribution."

Have you ever worked together?

"In a dramatic gesture Grothendieck left mathematics in 1970 in his early 40s. He turned instead to politics. He turns 80 this year. So unfortunately I am too young to have worked with him which is a shame. His mathematical seminars at IHES in Paris are the stuff of legend. He was an incredibly charismatic mathematician. A mathematical prophet."

What kind of person is he?

"Grothendieck is an extremely complicated personality. His mathematics is extremely abstract and tough. He had an incredibly difficult childhood which you can read about in the last chapter of The Music of the Primes. The way he abandoned mathematics for politics upset many people. He currently lives the life of a hermit, hiding in the Pyrenees. It is said that he has gone crazy in later life and is starving himself to death."

Do you know a nice story about him?

"Grothendieck decided that teaching algebraic geometry in the jungles around Hanoi was the best way to protest against the Vietnam War. Not sure what the locals made of his incredibly abstract mathematics."

Du Sautoy raadt iedereen van harte aan om eens te kijken op de Grothendieck Circle.

De Abelprijs gaat dit jaar naar John Griggs Thompson en Jacques Tits. Thompson werkt aan de University of Florida en Tits aan het Collège de France.

Ze krijgen de prijs voor hun belangrijke bijdragen aan de algebra, en in het bijzonder voor het vormgeven van de moderne groepentheorie. Thompson bewees uitzonderlijk diepe stellingen die de fundering legden voor de complete klassificatie van eindige simpele groepen, en Tits creëerde een nieuwe, invloedrijke visie op groepen als meetkundige objecten. Lees vooral ook het leuke en zeer toegankelijke artikel van Marcus du Sautoy over groepentheorie!

De wiskundemeisjes gaan in beraad en in de loop van de komende week zullen we de winnaars van de grote Abelprijstoto bekendmaken.

Inmiddels hebben we een heleboel mooie wiskundige foto's ontvangen voor onze zomerprijsvraag. Als jij ook kans wilt maken op een wiskundemeisjes-prijzenpakket of een mooi boek over wiskunde, dan moet je voor 1 september jouw mooiste foto met wiskunde naar ons toe mailen!

Wat zit er in het prijzenpakket? Een wiskundemeisjes-t-shirt naar keuze, een leuk wiskundeboek en een jaarabonnement op Pythagoras! De twee troostpijzen zijn elk een wiskundeboek.

Ter extra motivatie maken we nu vast bekend uit welke boeken de winnaar mag kiezen!

• Simon Singh: Fermat’s Last Theorem of Het Laatste Raadsel van Fermat.
• Marcus du Sautoy: The music of the primes.
• Karl Hofmann e.a.: Proofs from the book.
• Paul Hoffman: The man who loved only numbers.
• Arno van den Essen: Magische vierkanten.

(Ionica en Jeanine)

Een tijdje terug vroeg mijn beste vriend me of ik The music of the primes van Marcus du Sautoy al gelezen had. Hij was er laaiend enthousiast over en bracht het dezelfde avond voor me mee. Hij vertelde tijdens het eten een paar mooie anekdotes die erin stonden en bekende dat hij na het lezen van dit boek ook een wiskundige zou willen zijn (hij is informaticus).

Inmiddels heb ik The music of the primes met veel plezier gelezen. Du Sautoy beschrijft de geschiedenis van de Riemann hypothese met veel anekdotes, metaforen en mooie verhalen. Hij beschrijft goed hoe wiskundigen werken, zonder al te veel moeilijke wiskunde te gebruiken. Hierdoor is het boek ook voor niet-wiskundigen goed te lezen.

Sommige van de anekdotes zijn wat belegen (alweer 1729). Maar alleen het verhaal hoe Hendrik Lenstra zorgde dat Don Zagier een fles wijn verloor, maakt het boek al de moeite waard... Ik vond het ook heel interessant om te lezen hoe Hilbert besloot om in 1900 de beroemde lijst onopgeloste problemen op te stellen of hoe Princeton werd opgericht. Erg fijn was ook de job description die Julia Robinson indiende bij personeelszaken in Berkeley:

"Monday--tried to prove theorem, Tuesday--tried to prove theorem, Wednesday--tried to prove theorem, Thursday--tried to prove theorem; Friday--theorem false."

The music of the primes is geheel onterecht nog niet in het Nederlands vertaald, dus wie het wil lezen moet de Engelse versie bestellen. Er is wel een prachtige website bij gemaakt en ook de homepage van Marcus du Sautoy is een aanrader.

(Ionica)

Een jaar geleden schreven we hier, hier en hier over het vermoeden van Goldbach. Dat vermoeden zegt: ieder even getal groter dan twee is te schrijven als de som van twee priemgetallen.

Dit klinkt niet zo ingewikkeld, maar het blijkt toch heel moeilijk te zijn: tot nu toe is niemand er in geslaagd om het daadwerkelijk te bewijzen. Wel zijn al heel veel even getallen gecontroleerd. Vorige week hoorden we het nieuws dat inmiddels alle even getallen van 4 tot 10¹⁸ geverifieerd zijn: die zijn inderdaad allemaal te schrijven als som van twee priemgetallen. Dit levert natuurlijk helemaal geen garantie op dat het ook geldt voor alle getallen groter dan 10¹⁸, hoe indrukwekkend dat getal er ook uitziet.

Er bestaat een goed voorbeeld van een probleem dat ook over priemgetallen gaat waarbij de tabellen enigszins misleidend waren, ook al gingen ze tot heel grote getallen. Gauss vroeg zich af: stel dat je een groot getal N hebt, hoeveel priemgetallen bestaan er die kleiner zijn dan N? Hij gaf een schatting voor dit aantal in termen van N. Gauss dacht dat zijn schatting steeds beter klopt als N groter wordt, en dat is inderdaad het geval. Maar hij dacht ook dat zijn schatting altijd te ruim zou blijven. In de tabellen zag het er inderdaad zo uit, en zelfs tot heel grote getallen is dat zo. Maar in 1912 bewees Littlewood dat Gauss' schatting soms toch te laag uitvalt. De eerste keer dat dat gebeurt is echter pas bij een getal dat groter is dan het aantal atomen in het waarneembare heelal! Lees meer hierover in dit artikel uit Plus magazine.

Laten we dus vooral hopen op een echt bewijs van het vermoeden van Goldbach, want met controleren alleen komen we er niet. Tenzij we op een dag ontdekken dat het vermoeden niet waar is door een tegenvoorbeeld te vinden!

Lees verder over het vermoeden van Goldbach en een vermeend bewijs op Kennislink.

(Jeanine)

Voor wie het nog niet gemerkt heeft: elke laatste donderdag van de maand verschijnt een aflevering van De favoriete (nog levende!) wiskundige van… op de wiskundemeisjes. Elke maand vragen we een bekende wiskundige welke nog levende wiskundige hij (of zij) bewondert. Ons idee hierbij is dat we wel weten wie de grote namen uit de geschiedenis zijn (Pythagoras, Euler, Gauss, wie kent ze niet?), maar dat niet zo duidelijk is wie op dit moment belangrijk werk doen. We willen met deze rubriek interessante wiskundigen en hun werk in het zonnetje zetten.

Hier vind je een overzicht van de bekende professoren die we spraken en de wiskundigen die zij bewonderen.

1. Juni 2006: Manjul Bhargava kiest Jean-Pierre Serre.
2. Juli 2006: Persi Diaconis kiest Doron Zeilberger.
3. Augustus 2006: Rob Tijdeman kiest Wolfgang Schmidt.
4. September 2006: Jan van de Craats kiest Keith Devlin.
5. Oktober 2006: Roger Penrose kiest Michael Atiyah.
6. November 2006: Robbert Dijkgraaf kiest Maxim Kontsevich.
7. December 2006: Georges Gonthier kiest John Conway.
8. Januari 2007: Mark Peletier kiest Felix Otto.
9. Februari 2007: Ellen Baake kiest Warren Ewens.
10. Maart 2007: Michael Atiyah kiest Jean-Pierre Serre.
11. April 2007: Terence Tao kiest Endre Szemerédi.
12. Mei 2007: Wendelin Werner kiest Harry Kesten.
13. Juni 2007: Mike Bennett kiest Richard Guy.
14. Juli 2007: László Lovász kiest Vera Sós.
15. Augustus 2007: Sjoerd Verduyn Lunel kiest Jack Hale.
16. September 2007: Kees Vuik kiest Gene Golub.
17. Oktober 2007: Mai Gehrke kiest Bjarni Jónsson.
18. November 2007: Frans Oort kiest David Mumford.
19. December 2007: Gunther Cornelissen kiest Yuri Ivanovich Manin.
20. Januari 2008: Jan van Maanen kiest Celia Hoyles.
21. Maart 2008: Constance van Eeden kiest Charles M. Stein.
22. April 2008: Marcus du Sautoy kiest Alexander Grothendieck.
23. Juni 2008: Ronald Cramer kiest Avi Wigderson.
24. Juli 2008: Felix Otto kiest Stefan Müller.
25. Augustus 2008: Lex Schrijver kiest László Lovász.
26. September 2008: Jeffrey Shallit kiest Hendrik Lenstra.
27. Oktober 2008: Hendrik Lenstra kiest Bjorn Poonen.
28. December 2008: Eric Maskin kiest Pierre Deligne.

(Ionica & Jeanine)