Wiskundemeisjes

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

In onze vorige column kon u lezen dat er in Hilberts hotel, een hotel met oneindig veel kamers die genummerd zijn als 1, 2, 3, …, altijd plaats lijkt te zijn. Zelfs als elke kamer bezet is, kan een verdwaalde laatkomer toch een plekje krijgen: iedereen schuift een kamer op. En ook grotere groepen, soms zelfs oneindig groot, pasten er toch steeds weer in.

Dit gaf het gevoel dat alle oneindigheden in Hilberts hotel pasten. Maar wat betekent passen of “even groot” precies? Wiskundigen noemen groepen dingen “even groot” als je ze één op één aan elkaar kunt koppelen. Bijvoorbeeld: er zijn evenveel positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) als positieve even getallen (2, 4, 6, …), want je kunt elk getal koppelen aan het dubbele: 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, enzovoorts.

Dit type oneindig heet “aftelbaar”. Er is een duidelijke nummer 1 aan te wijzen, een nummer 2, enzovoorts. Je bent nooit klaar met aftellen, want de verzameling is oneindig, maar je kunt ze op een rijtje zetten, net als 2, 4, 6, … en de kamers in Hilberts hotel. Ook de verzameling van breuken, al lijkt die veel groter, is aftelbaar. Maar niet alle getallen zijn breuken: en zijn beroemde voorbeelden.

De verzameling van alle getallen tussen 0 en 1 is niet aftelbaar. Het bewijs is bijzonder elegant, maar vereist wel enig hersenwerk.

Getallen tussen 0 en 1 hebben een (oneindig lange) decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: of of .

Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waar ze allemaal op staan. Wat blijkt? Hoe die lijst er ook uitziet, je kunt altijd een nieuw getal tussen 0 en 1 construeren dat niet op de lijst staat. Dat doe je als volgt. We beginnen met 0 en de komma. Nu gaan we de eerste decimaal van het nieuwe getal als volgt bepalen: als de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, en als het wel een 2 was kiezen we een 1.

Nu verschilt de eerste decimaal van ons nieuwe getal van de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst. We kiezen op dezelfde manier een tweede decimaal: als de tweede decimaal van het tweede getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, anders een 1. Enzovoorts.

Een voorbeeld van een hypothetische lijst met de constructie van een stukje van het nieuwe getal.

Dit nieuwe getal staat nergens op de lijst. Ga maar na: het is niet gelijk aan het eerste getal op de lijst, want de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet gelijk aan het 37e getal, want de 37e decimaal verschilt. Kortom: het nieuwe getal ontbreekt op de lijst, wat de lijst ook was! Maar het zou er wel op moeten staan, want het is een getal tussen 0 en 1. Dat betekent dat de getallen tussen 0 en 1 niet op een lijst te zetten zijn, en er dus geen koppeling bestaat met de aftelbare verzameling 1, 2, 3, … . Echt een ander soort oneindig, dus!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

We krijgen meer post van lezers dan we kunnen beantwoorden. Daarom deze keer antwoord op een aantal veelgestelde vragen.

Weten jullie een leuk onderwerp voor mijn profielwerkstuk?
Natuurlijk, maar het is beter als je zelf iets verzint. Kies een willekeurig onderwerp dat je superleuk vindt en zoek de wiskunde daarbij. Als je bijvoorbeeld heel erg van Lady Gaga houdt, onderzoek dan of er een formule is die de perfecte hit voorspelt en zo ja, of Gaga’s knaller Born this way daaraan voldoet. Als je van voetbal houdt, kun je berekenen wat de perfecte hoek is om een strafschop te nemen.

Ik heb een koffer met een cijferslot van drie cijfers van 0 tot en met 9. Ik ben de code vergeten. Kunnen jullie een lijst geven van alle mogelijkheden die ik moet proberen? Of zijn dat er oneindig veel?
Het slechte nieuws is dat we geen lijst gaan geven, het goede nieuws is dat er maar duizend mogelijkheden zijn. Begin bij 000, ga door naar 001 en zo steeds één verder tot je bij 999 bent. Als je een beetje doorwerkt, kun je in een paar uur alle mogelijkheden proberen.

Mijn dochter is dol op wiskunde, maar weet niet wat ze er later mee kan doen. Is het wel slim voor haar wiskunde te studeren?
Ja, afgestudeerde wiskundigen hebben de laagste werkeloosheid en werken in alle hoeken en gaten van de maatschappij. Wij hebben in elk geval nooit spijt gehad van onze studiekeuze.

Wat is de kans dat ik win met de hamsterbingo/lotto/staatsloterij?
Heel erg klein. Begin er niet aan.

Hoeveel boodschappen moet ik kopen voordat ik alle superdieren/voetbalkaartjes compleet heb?
Heel erg veel. Begin er niet aan.

Willen jullie mijn wiskundig bewijs lezen?
Het lezen van een bewijs kost vaak net zo veel tijd als het maken ervan. Wij hebben helaas geen tijd om allerlei bewijzen door te ploegen. Gelukkig is er een prima systeem om nieuwe resultaten te beoordelen en verspreiden: wetenschappelijke tijdschriften. Maak daarom vooral een artikel van je bewijs en stuur het op.

Kan ik de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel toepassen om te laten zien dat er gaten in de wet zijn?
Nee, nee en nog eens nee. De stelling van Gödel zegt weliswaar dat er in een consistent systeem altijd beweringen bestaan die wel waar zijn, maar niet binnen dat systeem te bewijzen. Maar die stelling geldt voor formele systemen die de rekenkunde omvatten en met de regels van de logica werken. Je mag dit resultaat dus niet zomaar veralgemeniseren naar andere vakgebieden als rechten.

Hoeveel sudoku’s zijn er?
6.670.903.752.021.072.936.960.

Ik las een paar maanden geleden een leuke column van jullie, maar ik kan hem nergens vinden op internet. Kunnen jullie mij de tekst sturen?
Al onze columns staan op deze site, vaak met reacties van andere lezers.

Brekend nieuws: Wiskundige Vinay Deolalikar heeft een voorlopige versie verspreid van een artikel dat claimt te bewijzen dat P != NP. Deolalikar is een serieuze onderzoeker en had het bewijs alleen bedoeld voor een handvol deskundigen. Hij werkt nog aan een definitieve versie, maar zijn eerste versie circuleert nu al op internet. Ik heb vandaag weinig tijd om erover te schrijven, maar dit nieuws kan natuurlijk niet onvermeld blijven!

Voor niet-wiskundigen: lees op Kennislink wat P- en NP-problemen zijn.

Voor wiskundigen: bekijk zelf het bewijs of volg de discussie op Dick Liptons blog.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Aan het eind van de Boekenweek leek het me mooi om net als de 75 auteurs in de prachtige bundel “Titaantjes waren we” een brief aan mijn jonge ik te schijven.

Lief pubermeisje Ionica,

Laat ik maar met de deur in huis vallen: het is tijd dat je ontdekt wat je écht leuk vindt. Op school vind je het vooral fijn om goede cijfers te halen. Je vindt daarom alle vakken wel leuk, behalve dan gymnastiek en tekenen (waarvoor je nooit meer dan een zes haalt en die voldoende krijg je vooral omdat de leraren vinden dat je zo aandoenlijk je best doet). Maar er is niets waarover je echt enthousiast bent, niets waarover je ‘s avonds na het eten wilt nadenken, niets om je tanden eens in te zetten.

Dit is een nog jongere Ionica. Als puber keek ik natuurlijk altijd chagerijnig vanachter mijn puistjes, dus daar ga ik hier geen foto van plaatsen.

Ik weet vrij zeker dat er iets is dat je geweldig vindt: wiskunde. Je denkt nu dat wiskunde gaat over het berekenen van driehoekszijdes, het tekenen van grafiekjes en het oplossen van vergelijkingen. Maar wiskunde is veel meer dan die sommen die je nu krijgt. Wiskunde gaat nauwelijks over rekenen, het gaat om grote ideeën en over helder nadenken. Het allermooiste van wiskunde zijn de waterdichte bewijzen.

Heb je bijvoorbeeld al eens gehoord van priemgetallen? Dat zijn getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf. Zeventien is een voorbeeld, en 1999 (probeer als je me niet gelooft maar eens een deler van 1999 te vinden op je rekenmachine). Meer dan tweeduizend jaar geleden bewees de Griekse wiskundige Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs is na al die jaren nog steeds mooi en helder.

Neem eens aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Die kun je dan in een lijstje zetten en nummeren: het eerste noem je , het volgende en zo ga je door tot het laatste priemgetal op de lijst dat je noemt. Maak nu een nieuw getal x door al deze priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen en er één bij op te tellen. Dus . Vanzelfsprekend is groter dan één en dat betekent dat door minstens één priemgetal te delen is. Die deler zou op onze lijst met alle priemgetallen moeten staan.

Maar als je x deelt door dan houd je een rest van één over. Hetzelfde geldt voor en elk ander priemgetal op onze lijst priemgetallen. Dus is door geen van de priemgetallen op die lijst te delen. Dat kan twee dingen betekenen: óf is zelf een priemgetal, óf is te delen door een of ander priemgetal dat niet op de lijst staat. In beide gevallen ontbreekt er een priemgetal op onze lijst: terwijl we aannamen dat alle priemgetallen daarop stonden. Kortom: er zijn oneindig veel priemgetallen, want je kunt voor elke eindige lijst priemgetallen een priemgetal vinden dat er niét opstaat. Klaar! Als je dit bewijs inderdaad mooi vindt (en dat is zo, toch?), koop dan eens een boek over getaltheorie. Er zal een wereld voor je opengaan.

Tenslotte nog een klein advies: als je straks voor het eerst naar de disco gaat, doe dan niet je favoriete roze Snoopy-trui aan. Geloof me.

Liefs,

Ionica