Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Patronen en regelmaat vinden, dat vinden wiskundigen leuk. Maar een patroon of trucje waarvan je vermoedt dat het opgaat, is eigenlijk pas interessant als je kan bewijzen dat het in alle gevallen geldt.

Het voorbeeld dat ik hier geef, behandelt een manier om te zien of een getal deelbaar is door 3.

Op de basisschool leerde ik daar een trucje voor: een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. En inderdaad: het getal 456 is deelbaar door 3 en de cijfersom 4+5+6 = 15 ook; het getal 1234 is niet deelbaar door 3 en 1+2+3+4=10 ook niet. Het sterke aan dit trucje is dat het voor alle getallen geldt.

Dit trucje lijkt iets magisch! Iets dat uit de lucht komt vallen, handig is, en dat je gewoon moet onthouden. Maar hoe komt het nou eigenlijk dat het trucje werkt? Daar kwam ik pas veel later achter.

De reden is dat we rekenen in het 10-tallig stelsel. Als we een getal opschrijven, bijvoorbeeld weer 1234, dan bedoelen we eigenlijk: 1 duizendtal, 2 honderdtallen, 3 tientallen en 4 eenheden. Oftewel: 1234 = 1∙1000 + 2∙100 + 3∙10 + 4. De positie van een cijfer in het getal bepaalt dus met welke macht van tien je het moet vermenigvuldigen.

Maar wat heeft dat met het trucje voor deelbaarheid door 3 te maken? De crux ligt hier. De som van de cijfers van een getal heeft een mooie eigenschap, namelijk: deze cijfersom verschilt altijd precies een 3-voud van het getal zelf! In het voorbeeld: 1234 en 10 verschillen 1224, en 1224 = 3 ∙ 408.

We gaan verder met 1234. De som van de cijfers is 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Het verschil tussen 1234 en 10 kunnen we dus schrijven als: 1234 – 10 = 1000 + 200 + 30 + 4 – (1 + 2 + 3 + 4), wat we handig kunnen ordenen als 1000 – 1 + 200 – 2 + 30 – 3 + 4 – 4. Dit is gelijk aan 1∙999 + 2∙99 + 3∙9, want 1000 – 1 = 999 en 200 – 2 = 2∙99 en 30 – 3 = 3∙9. Omdat zowel 999 als 99 en 9 deelbaar door 3 zijn, is het getal 1∙999 + 2∙99 + 3∙9 deelbaar door 3.

Hetzelfde argument, inclusief het handig ordenen, werkt voor elk ander getal dan 1234. Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts, die allemaal deelbaar door 3 zijn. (En door 9, wat de reden is dat het trucje voor deelbaarheid door 9 hetzelfde werkt.)

Kortom: de som van de cijfers van een getal verschilt een 3-voud van het getal zelf. En als het getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook.

Ik vind dit een mooi voorbeeld van wat wiskundigen vaak doen: bewijzen dat bepaalde handige trucjes of patronen voor alle getallen gelden, door een onweerlegbaar argument te geven. Dat is de kracht van wiskunde!

Het is er niet helemaal de juiste maand voor, maar laatst las ik over wiskundige één-april-resultaten. Het idee is dat je een tamelijk eenvoudige bewering bewijst met overdreven ingewikkelde wiskunde. Bijvoorbeeld:

Voor alle gehele getallen is irrationaal.

Bewijs: Stel dat er positieve gehele getallen en bestaan zodat . Aan beide kanten de -de macht nemen, geeft . Dat betekent dat

Erg grappig, toch? Ik las over één-april-resultaten op de blog van Dick Lipton. Hij vertelt dat het idee van Faadosly Polir komt. Chapeau voor Faadosly! Kunnen jullie zelf ook een mooi voorbeeld verzinnen?

Dit stukje is waarschijnlijk alleen leuk voor mensen die wel eens een studieboek wiskunde gelezen hebben, of een college wiskunde hebben gevolgd op de universiteit. En een beetje flauw is het ook. Ik vond namelijk een website met een lijst van 36 bewijsmethodes. En dan niet geldige en nuttige bewijsmethodes zoals bewijzen uit het ongerijmde of met volledige inductie, maar bewijsmethodes zoals:

• Proof by necessity: "It had better be true, or the entire structure of mathematics would crumble to the ground."
• Proof by lost reference: "I know I saw it somewhere...."
• Proof by hasty generalization: "Well, it works for 17, so it works for all reals."

Hier kun je ze alle 36 lezen!