Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Patronen en regelmaat vinden, dat vinden wiskundigen leuk. Maar een patroon of trucje waarvan je vermoedt dat het opgaat, is eigenlijk pas interessant als je kan bewijzen dat het in alle gevallen geldt.

Het voorbeeld dat ik hier geef, behandelt een manier om te zien of een getal deelbaar is door 3.

Op de basisschool leerde ik daar een trucje voor: een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. En inderdaad: het getal 456 is deelbaar door 3 en de cijfersom 4+5+6 = 15 ook; het getal 1234 is niet deelbaar door 3 en 1+2+3+4=10 ook niet. Het sterke aan dit trucje is dat het voor alle getallen geldt.

Dit trucje lijkt iets magisch! Iets dat uit de lucht komt vallen, handig is, en dat je gewoon moet onthouden. Maar hoe komt het nou eigenlijk dat het trucje werkt? Daar kwam ik pas veel later achter.

De reden is dat we rekenen in het 10-tallig stelsel. Als we een getal opschrijven, bijvoorbeeld weer 1234, dan bedoelen we eigenlijk: 1 duizendtal, 2 honderdtallen, 3 tientallen en 4 eenheden. Oftewel: 1234 = 1∙1000 + 2∙100 + 3∙10 + 4. De positie van een cijfer in het getal bepaalt dus met welke macht van tien je het moet vermenigvuldigen.

Maar wat heeft dat met het trucje voor deelbaarheid door 3 te maken? De crux ligt hier. De som van de cijfers van een getal heeft een mooie eigenschap, namelijk: deze cijfersom verschilt altijd precies een 3-voud van het getal zelf! In het voorbeeld: 1234 en 10 verschillen 1224, en 1224 = 3 ∙ 408.

We gaan verder met 1234. De som van de cijfers is 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Het verschil tussen 1234 en 10 kunnen we dus schrijven als: 1234 – 10 = 1000 + 200 + 30 + 4 – (1 + 2 + 3 + 4), wat we handig kunnen ordenen als 1000 – 1 + 200 – 2 + 30 – 3 + 4 – 4. Dit is gelijk aan 1∙999 + 2∙99 + 3∙9, want 1000 – 1 = 999 en 200 – 2 = 2∙99 en 30 – 3 = 3∙9. Omdat zowel 999 als 99 en 9 deelbaar door 3 zijn, is het getal 1∙999 + 2∙99 + 3∙9 deelbaar door 3.

Hetzelfde argument, inclusief het handig ordenen, werkt voor elk ander getal dan 1234. Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts, die allemaal deelbaar door 3 zijn. (En door 9, wat de reden is dat het trucje voor deelbaarheid door 9 hetzelfde werkt.)

Kortom: de som van de cijfers van een getal verschilt een 3-voud van het getal zelf. En als het getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook.

Ik vind dit een mooi voorbeeld van wat wiskundigen vaak doen: bewijzen dat bepaalde handige trucjes of patronen voor alle getallen gelden, door een onweerlegbaar argument te geven. Dat is de kracht van wiskunde!

Op de weblog van wiskundige Tanya Khovanova las ik een leuk stukje (er staan veel meer leuke stukjes op haar weblog!) over deelbaarheid door 7. Dit specifieke stukje is niet door haar zelf geschreven, maar door gastblogger David Wilson. Ik vertaal het hieronder.

Deze graaf kun je gebruiken om te zien of een getal deelbaar is door 7. Schrijf een getal op. Begin bij de witte knoop helemaal onderin de graaf. Voor ieder cijfer in , volg zwarte pijlen, en als je naar het volgende cijfer gaat, volg dan één witte pijl.

Bijvoorbeeld, als , volg drie zwarte pijlen, dan een witte pijl, dan twee zwarte pijlen, dan weer een witte pijl en ten slotte vijf zwarte pijlen.

Als je weer uitkomt bij de witte knoop onderin, dan is deelbaar door 7, en anders niet.

Zoals Khovanova ook opmerkt: dat is niet het enige dat deze graaf doet. Je kunt uit deze graaf ook aflezen wat de rest van een getal is bij deling door 7. Maar het is leuker om dat zelf uit te zoeken. En kijk hier voor de interessante reacties op haar stukje.