Wiskundemeisjes

Deze column staat in de Volkskrant van gisteren.

Bij lezingen doe ik soms een experiment dat ik ooit zag in een Christmas Lecture van Richard Dawkins. Ik kondig aan dat er een paranormaal iemand in de zaal is en vraag het publiek om op te staan (wat altijd een goed idee is halverwege een dag vol praatjes). Ik haal een euro uit mijn zak en vraag de helft van de zaal om heel sterk “kop” te denken en de andere helft om zich te concentreren op “munt”. Ik gooi de euro en kijk welke kant er boven ligt. De helft van de zaal die het fout dacht, mag weer gaan zitten. De andere helft verdeel ik opnieuw in twee groepen die aan kop of munt moeten denken. Zo ga ik door tot er uiteindelijk maar één iemand over is. Die persoon heeft dan een keer of zeven achter elkaar correct “voorspeld” hoe de munt zal vallen. Dit moet wel een heel bijzonder iemand zijn, met speciale telepathische gaven! Meestal begint de zaal op dat moment te protesteren: natuurlijk blijft er altijd één iemand over als je het op deze manier aanpakt. Daar is helemaal niets bijzonders aan.

Maar dit eenvoudige principe is de basis van een succesvolle fraude. Stel je voor dat je op een regenachtige maandag een brief krijgt van een bedrijf dat voorspelt dat het aandeel Ahold de komende week zal stijgen. Een week later is de koers inderdaad omhoog gegaan en krijg je van datzelfde bedrijf een nieuwe brief, met daarin de voorspelling dat de komende week Randstad zal dalen. En jawel, die week keldert de koers van dat aandeel. Zo gaat het nog vier weken door en elke keer klopt de voorspelling van het bedrijf. Na zes correcte voorspellingen vraagt het bedrijf of je voor 1000 euro de week erna een beleggingsadvies wilt. De kans is groot dat je op dat moment gelooft dat dit bedrijf de geheime formule achter beurskoersen heeft ontdekt. Je kunt bakken met geld verdienen door hun advies te volgen!

Dit bedrijfje doet hetzelfde als een munt opgooien, maar hier zie je niet de enorme groep mensen waarbij de voorspelling misgaat. Het bedrijf begint met 3200 brieven met de voorspelling dat Ahold omhoog gaat en 3200 brieven dat Ahold omlaag gaat. Elke keer splitsen ze de groep in tweeën en zo zijn er na zes voorspellingen nog 100 mensen over waarbij alles klopte. Als daarvan de helft erin trapt, dan verdienen ze mooi 50.000 euro.

Deze fraude is meermaals gebruikt. Niet alleen met beursvoorspellingen, maar ook met voetbaluitslagen en de winnaars van paardenraces. Een mooie en zeer eenvoudige variant is de waarzegster die vroeger het geslacht van een ongeboren kind voorspelde. Als na de geboorte bleek dat ze het fout had, dan hoefde je niets te betalen. Maar als ze het goed had, dan kreeg ze 50 gulden van de blije kersverse ouders. Jammer dat er tegenwoordig echo’s zijn, anders begon ik zelf zo’n winstgevend voorspellingswinkeltje voor zwangere vrouwen.

Bekijk vooral ook deze prachtige show van illusionist Derren Brown waarin hij dit systeem gebruikt om mensen ervan te overtuigen dat hij de winnaar van een paardenrace kan voorspellen.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 26 september.

De kans dat je de lotto wint is nogal klein. Zoals statisticus John Haigh opmerkte, is het voor de gemiddelde persoon waarschijnlijker dat hij binnen een uur na het kopen van een lot dood neervalt, dan dat hij de jackpot wint.

De afgelopen weken was de lotto flink in het nieuws. Eerst voorspelde illusionist Derren Brown live op de Britse televisie de lottogetallen van die avond. Voorspellen is eigenlijk een groot woord, want hij liet zijn getallen pas zien ná de trekking. Brown bekeek de trekking op een groot scherm, schreef de winnende getallen op een kaart en draaide pas daarna de lottoballen die de hele tijd naast hem in beeld lagen naar de camera. Natuurlijk stonden daar de juiste getallen op.

Twee dagen later zou Derren Brown uitleggen hoe zijn truc werkte. Ondertussen circuleerden op internet de wildste theorieën: misschien had Brown ons gehypnotiseerd zodat we dachten dat het de juiste getallen waren of misschien had een assistent in een onzichtbaarheidsmantel de ballen snel verwisseld. Zoals het een goede illusionist betaamt, vertelde Brown uiteindelijk helemaal niet hoe de truc werkte. In plaats daarvan hield hij een wiskundig zwetsverhaal over het middelen van de voorspellingen van vierentwintig mensen- iets dat volgens hem alleen werkte als je het niet voor het geld deed.

Diezelfde week gebeurde er iets geks bij de Bulgaarse lotto: de getallen 4, 15, 23, 24, 35 en 42 werden getrokken. Wat was er zo bijzonder aan deze getallen? Niets, behalve dan dat bij de vorige trekking precies diezelfde getallen vielen. Maar liefst achttien deelnemers hadden de tweede keer al deze getallen goed (zouden zij altijd op de vorige uitslag gokken?) en mochten de hoofdprijs delen.

Na een onderzoek van het lotingsmechanisme werd geconcludeerd dat er geen sprake was van fraude, ook al leek de kans op twee keer dezelfde uitslag wel erg klein. Maar is die kans zo bijzonder klein? Elke reeks van zes getallen heeft bij een nieuwe trekking dezelfde kansen en twee keer achter elkaar 4, 15, 23, 24, 35 en 42 is net zo toevallig als 4, 15, 23, 24, 35 en 42 gevolgd door 1,2,3,4,5 en 6 of welke zes getallen ook.

De kans op een bepaalde uitslag is sowieso heel klein. In Nederland is er in de lotto een wekelijkse trekking met zes getallen tussen de 1 en 45 en één uit zes kleuren: dat geeft meer dan 48 miljoen mogelijkheden. Hoe lang moet je meespelen om met grote kans de lotto te winnen? Om preciezer te zijn: na hoeveel jaar heb je 95% kans dat je minstens één keer de hoofdprijs hebt gewonnen? Het teleurstellende antwoord is na 2,8 miljoen jaar – zo lang geleden waren er nog niet eens mensen. Als een Neanderthaler die ongeveer 300.000 jaar geleden werd geboren vanaf zijn geboorte tot nu elke week mee had gespeeld in de lotto, dan is de kans dat hij inmiddels minstens één keer de hoofdprijs heeft gewonnen iets meer dan 27%. De kans dat hij intussen dood is neergevallen, is een stuk groter.

Voor wie Derren Brown niet kent, eerst een filmpje waarin hij iets doet met getallen. Er zijn nog veel leukere filmpjes van hem te vinden op YouTube, maar het moet hier natuurlijk wel een beetje wiskundig blijven...

Ik las laatst Tricks of the mind, waarin Brown iets (maar niet te veel) vertelt over hoe hij werkt. Brown schrijft vlot en geestig, maar komt wel een beetje zelfingenomen over. Hoogtepunt was voor mij het hoofdstuk over het geheugen met daarin een aantal trucs om je geheugen te verbeteren. Ik ga flink oefenen, want het zou fijn zijn om eindelijk gezichten en namen te kunnen onthouden.

In het laatste hoofdstuk gaat Brown flink los tegen pseudowetenschap en hij begint met een aantal veelgemaakt denkfouten. Daar ging mijn wiskundig hart sneller van kloppen, want het waren vooral dingen die met kansrekening te maken hadden. Zoals onderstaande klassieker (die Brown veel smeuïger opschrijft).

Eén op de tienduizend mensen heeft een bepaalde ziekte. Er bestaat een test voor deze ziekte en die test is 99% betrouwbaar. Dit betekent dat de test bij 99% van de personen die aan deze ziekte lijden een positieve uitslag geeft. De test geeft bij 99% van de personen die niet lijden aan deze ziekte een negatieve uitslag. Je laat je testen met de betreffende test. De test geeft een positieve uitslag. Hoe groot is de kans dat je echt ziek bent?

Zeg maar in de reacties wat jij denkt, je mag ook een schatting geven. Het schijnt dat veel artsen deze vraag niet correct kunnen beantwoorden...