Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Op zoek naar teksten die wetenschap op de een of andere manier goed uitleggen, stuitte ik op het curieuze The First Six Books of Euclid with coloured diagrams uit 1847 (via het zeker aan te raden Envisioning Information van Edward Tufte).
Wiskundige Olivier Byrne dacht dat de bewijzen van Euclides voor veel mensen duidelijker waren als je plaatjes gebruikte en zo min mogelijk tekst. Opvallend is hoe modern zijn platen eruit zien. De onderstaande plaat geeft Byrnes bewijs van Propositie I.15
Als twee rechte lijnen elkaar snijden, dan zijn de overstaande hoeken daarbij gelijk aan elkaar.
Het oorspronkelijke bewijs van Euclides gaat ongeveer zo.
Laat de rechte lijnen AB en CD elkaar snijden in het punt E. Ik zeg dat de hoek CEA gelijk is aan de hoek DEB, en dat de hoek BEC gelijk is aan de hoek AED. Omdat de rechte lijn AE met de rechte lijn CD de hoeken CEA en AED maakt, moet de som van de hoeken CEA en AED gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Ook moet de som van de hoeken AED en DEB gelijk zijn aan twee rechte hoeken, omdat de rechte lijn DE bij het snijden van de rechte lijn AB deze twee hoeken maakt. Maar de som van de hoeken CEA en AED is ook gelijk aan twee rechte hoeken, dus de som van de hoeken CEA en AED is gelijk aan de som van de hoeken AED en DEB. Trek van allebei de hoek AED af. Dan is de overgebleven hoek CEA gelijk aan de overgebleven hoek DEB. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat de hoeken BEC en AED ook gelijk zijn.
De boeken van Byrne zijn dankzij de University of British Colombia compleet online te bewonderen. Vergelijk de plaatjesbewijzen vooral met de oorspronkelijke bewijzen. Wat vinden jullie ervan?
Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Aan het eind van de Boekenweek leek het me mooi om net als de 75 auteurs in de prachtige bundel “Titaantjes waren we†een brief aan mijn jonge ik te schijven.
Lief pubermeisje Ionica,
Laat ik maar met de deur in huis vallen: het is tijd dat je ontdekt wat je écht leuk vindt. Op school vind je het vooral fijn om goede cijfers te halen. Je vindt daarom alle vakken wel leuk, behalve dan gymnastiek en tekenen (waarvoor je nooit meer dan een zes haalt en die voldoende krijg je vooral omdat de leraren vinden dat je zo aandoenlijk je best doet). Maar er is niets waarover je echt enthousiast bent, niets waarover je ‘s avonds na het eten wilt nadenken, niets om je tanden eens in te zetten.
Dit is een nog jongere Ionica. Als puber keek ik natuurlijk altijd chagerijnig vanachter mijn puistjes, dus daar ga ik hier geen foto van plaatsen.
Ik weet vrij zeker dat er iets is dat je geweldig vindt: wiskunde. Je denkt nu dat wiskunde gaat over het berekenen van driehoekszijdes, het tekenen van grafiekjes en het oplossen van vergelijkingen. Maar wiskunde is veel meer dan die sommen die je nu krijgt. Wiskunde gaat nauwelijks over rekenen, het gaat om grote ideeën en over helder nadenken. Het allermooiste van wiskunde zijn de waterdichte bewijzen.
Heb je bijvoorbeeld al eens gehoord van priemgetallen? Dat zijn getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf. Zeventien is een voorbeeld, en 1999 (probeer als je me niet gelooft maar eens een deler van 1999 te vinden op je rekenmachine). Meer dan tweeduizend jaar geleden bewees de Griekse wiskundige Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Zijn bewijs is na al die jaren nog steeds mooi en helder.
Neem eens aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Die kun je dan in een lijstje zetten en nummeren: het eerste noem je \(\), het volgende \(\) en zo ga je door tot het laatste priemgetal op de lijst dat je \(\) noemt. Maak nu een nieuw getal x door al deze priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen en er één bij op te tellen. Dus \(\). Vanzelfsprekend is \(\) groter dan één en dat betekent dat \(\) door minstens één priemgetal te delen is. Die deler zou op onze lijst met alle priemgetallen moeten staan.
Maar als je x deelt door \(\) dan houd je een rest van één over. Hetzelfde geldt voor \(\) en elk ander priemgetal op onze lijst priemgetallen. Dus \(\) is door geen van de priemgetallen op die lijst te delen. Dat kan twee dingen betekenen: óf \(\) is zelf een priemgetal, óf \(\) is te delen door een of ander priemgetal dat niet op de lijst staat. In beide gevallen ontbreekt er een priemgetal op onze lijst: terwijl we aannamen dat alle priemgetallen daarop stonden. Kortom: er zijn oneindig veel priemgetallen, want je kunt voor elke eindige lijst priemgetallen een priemgetal vinden dat er niét opstaat. Klaar! Als je dit bewijs inderdaad mooi vindt (en dat is zo, toch?), koop dan eens een boek over getaltheorie. Er zal een wereld voor je opengaan.
Tenslotte nog een klein advies: als je straks voor het eerst naar de disco gaat, doe dan niet je favoriete roze Snoopy-trui aan. Geloof me.
Liefs,
Ionica
