Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een tijdje geleden deed ik een “wisquiz” met mijn brugklasleerlingen. Ik stelde onder andere de vraag: wat zijn de drie volgende getallen in het rijtje 1, 4, 9, 16, … ?

Nou kun je strikt gezien bij elke willekeurige drie volgende getallen een wiskundige regel verzinnen die precies die getallen oplevert, maar mijn leerlingen gingen druk op zoek naar een niet al te ingewikkeld patroon, en ze vonden er een. Àlle groepjes noemden als volgende drie getallen 25, 36 en 49. Bij navraag naar het patroon dat ze gevonden hadden, zeiden ze: “Nou, eerst hebben we 1, dan doe je er 3 bij, dan 5, dan 7 en zo verder, dus je doet steeds het volgende oneven getal erbij.” Klopt helemaal.

Maar misschien denkt u verbaasd: “Hè, maar dat zijn toch gewoon de kwadraten?” Klopt ook: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9 en 4² = 16. Dat is grappig. Mijn brugklasleerlingen hadden nog niet geleerd wat een kwadraat is. Wat blijkbaar hun gebruikelijke aanpak is bij zo’n rijtjes-afmaak-som, is kijken naar de verschillen tussen opeenvolgende getallen en of daar een duidelijke regelmaat in zit. En die hadden ze gevonden.

Nou is het op het eerste gezicht best gek dat de regelmaat van mijn leerlingen (steeds het volgende oneven getal erbij optellen) en de regelmaat die mijzelf onmiddellijk in het oog springt (de rij van kwadraten) dezelfde drie volgende getallen opleveren. Dus dan kun je je afvragen: is dat toeval? Of geven deze twee manieren ook bij het vierde, vijfde, zesde, en honderdmiljoenste getal dezelfde antwoorden?

Bij de regel van mijn leerlingen tel je achtereenvolgens bij het getal 1 op: 3, 5, 7, 9, enzovoorts. Het achtste getal in het rijtje is dus de som (optelling) van de eerste acht oneven getallen. Algemeen geformuleerd: het n-de getal in het rijtje is de som van de eerste n oneven getallen, wat voor nummer n ook is. Maar als we het rijtje voortzetten met de kwadratenregel, is het n-de getal in het rijtje het kwadraat van het getal n, oftewel n².

De vraag is dus: zijn die rijtjes inderdaad hetzelfde, oftewel: is de som van de eerste n oneven getallen gelijk aan n², voor alle n? Ja, dat is zo, en het is zelfs redelijk eenvoudig om in te zien waarom! Een simpele serie plaatjes laat zien wat er gebeurt.

We beginnen met het getal 1: dat ene roze vierkantje linksboven. Vervolgens tellen we daar 3 bij op, in het plaatje daaronder aangegeven door drie roze vierkantjes. Die drie vierkantjes zijn zó neergelegd, dat er precies een vierkant van 2 bij 2 ontstaat, dus je ziet meteen dat daar 2² vierkantjes liggen. En zo gaan we verder. Als er een vierkant ligt van n bij n vierkantjes, dat dus uit n² vierkantjes bestaat, dan moeten we n + n + 1, oftewel 2n+1 vierkantjes erbij leggen om het volgende kwadraat te leggen. En 2n+1 is precies het volgende oneven getal.

Maakt u zich trouwens vooral geen zorgen: inmiddels weten mijn leerlingen ook wat kwadraten zijn.

Zoals jullie weten worden wiskundige puzzels bevolkt door mannen met hoeden en rare gevangenisdirecteuren. Vandaag een puzzel zonder hoeden, maar met een heel merkwaardige gevangenisdirecteur. Deze man besluit een gevangene een kans te geven om vrij te komen.

De gevangenisdirecteur neemt 1, 2 of 3 in gedachten. De gevangene mag nu één vraag stellen en de gevangenisdirecteur zal op die vraag eerlijk antwoorden met "ja", "nee" of "dat weet ik niet". Na dat antwoord moet de gevangene zeggen welk getal de directeur in gedachten had. Zoals gebruikelijk bij dit soort puzzels, zal de gevangene geëxecuteerd worden als hij het verkeerde getal noemt. Als hij het juiste getal zegt, dan komt hij natuurlijk vrij.

Welke vraag moet de gevangene stellen? Er zijn verschillende oplossingen mogelijk. Ik ken één heel elegante oplossing en ben benieuwd wat jullie verzinnen!

De wiskundemeisjes hebben weer een leuke, tegen-intuïtieve puzzel voor je! De oplossing is niet supereenvoudig, maar wel heel mooi.

Jeanine kiest op de een of andere manier twee verschillende reële getallen en doet die getallen in twee (abstracte) enveloppen. Ik gooi een eerlijk muntje op om te bepalen welk van de twee enveloppen jíj krijgt. Je krijgt het getal in die envelop te zien. Nu moet je raden of het getal in de andere envelop hoger of lager is dan het getal dat je net zag.

Is er een strategie die jou meer dan 50% kans geeft om goed te raden, ongeacht hoe Jeanine haar getallen heeft gekozen?

Deze kandidaat ziet een heel gaaf getal.

Camiel mailde ons over deze puzzel op de xkcd blag. Daar vind je ook de oplossing.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Aan het eind van het jaar wil ik altijd alles netjes maken. Eindelijk ga ik die foto’s van de stedentrip in februari inplakken, zal ik mijn kleren in nette gesorteerde stapels in de kast leggen en ga ik de chaos van bonnetjes en facturen veranderen in een nette administratie. Vooral dat laatste valt elk jaar weer tegen. Bij het maken van een overzicht van mijn uitgaven kan ik de juiste bonnetjes nooit vinden. Hoeveel kostte dat boek over statistiek ook alweer? Was het 15 of 20 euro? Het is verleidelijk om dan maar ongeveer te gokken, maar alle wiskundigen weten dat dit erg moeilijk goed te doen is.

De cijfers die mensen zelf verzinnen kloppen namelijk zelden met de gebruikelijke patronen. We zijn bijvoorbeeld extreem slecht in het maken van willekeurige patronen. Een wiskundeleraar gaf zijn leerlingen eens een wat merkwaardige opdracht. Ze mochten kiezen: 200 keer een muntje gooien en de uitkomsten opschrijven óf doen alsof ze een muntje opgooiden en zelf 200 uitkomsten verzinnen. De leraar kon na één blik op de uitkomsten onmiddellijk zeggen welke echt waren en welke niet. De neppatronen waren veel te netjes, de echte bevatten bijvoorbeeld rijtjes van zes keer kop achter elkaar. Als mens zou je na een paar keer kop snel weer een munt opschrijven.

Of vraag maar eens aan je vrienden op een feestje om zich zo willekeurig mogelijk over de ruimte te verdelen. Dan gaat iedereen ongeveer even ver van elkaar afstaan en de hele ruimte wordt keurig gebruikt. Een echt willekeurig patroon is veel grilliger: dan zouden op de ene plek toevallig wat mensen bij elkaar staan, terwijl verderop iemand helemaal alleen in een stuk leegte staat. Eigenlijk lijkt zo’n patroon meer op dat van een echt feestje: bij de drank staat er een kluitje mensen en de wiskundige met zijn leuke experimenten over willekeur staat al snel alleen. Een Britse professor wil trouwens onderzoeken of dronken mensen beter zijn in het maken van willekeurige patronen. Ik denk van niet, mensen kunnen volgens mij alleen per ongeluk een willekeurig patroon maken.

Een niet zo willekeurig patroon

Natuurlijk wil je bij het maken van je administratie helemaal geen willekeurige getallen gebruiken, je wilt dat de bedragen zo realistisch mogelijk zijn. Maar zodra je getallen op de een of andere manier gaat gokken, val je snel door de mand. Lijsten met bedragen voldoen namelijk aan allerlei tegenintuïtieve wetten. Zo is er de Wet van Benford die zegt dat niet elk cijfer even vaak voorkomt aan het begin van een getal: de één komt het meest voor (ongeveer in 30% van de gevallen) en de negen het minst (minder dan 5% van de gevallen). In Amerika worden gevallen van belastingfraude met deze Wet van Benford opgespoord en veroordeeld.

Kortom: het is zo moeilijk om de cijfers voor je administratie geloofwaardig te verzinnen, dat ik toch maar netjes alle bonnetjes bij elkaar ga zoeken. Daar gaat mijn kerstvakantie.

Penn van Penn & Teller legt glashelder uit hoe hij getallen ziet: "Ten to thirty are a bunch. Now, I understand a bunch. I can eat a bunch of almost anything..."

Vorige week vrijdag werd Hendrik Lenstra benoemd tot Ridder in de Orde van de Nederlandse Leeuw. Eerder die dag werden er ter ere van Hendriks zestigste verjaardag een aantal voordrachten gegeven.

Richard Groenewegen noemde in zijn voordracht een leuk probleem dat Hendrik bij zijn promotie kreeg van John Conway en Mike Paterson. Het is A headache-causing problem (pdf). Hieronder een voorbeeld uit het artikel.

Drie mannen zitten in een kamer met elk een niet-negatief geheel getal op hun voorhoofd. Zeg bijvoorbeeld dat Arthur, Bertram en Engelbert elk een 2 op hun voorhoofd hebben. Iedere man kan alleen de twee getallen van de anderen zien en niet dat van zichzelf. Op een schoolbord dat ze alledrie kunnen zien schrijft een blinde vrouw de getallen 6, 7 en 8 en vertelt de mannen dat één van deze getallen de som is van de drie getallen op hun voorhoofden. Vervolgens vraagt ze aan Arthur of hij nu weet welk getal hij op zijn voorhoofd heeft. Als hij het niet weet, stelt ze dezelfde vraag aan Bertram. Als hij het ook niet weet, dan gaat ze naar Engelbert. Als hij niet kan zeggen welk getal er op zijn voorhoofd staat, dan begint ze een nieuwe ronde vragen bij Albert. Het spel stopt zodra er iemand `Ja' zegt.

De (algemene) stelling van Paterson en Conway is dat als het aantal getallen op het bord kleiner dan of gelijk aan het aantal mannen is, het spel na een eindig aantal vragen stopt. In het grappige artikel bewijzen ze eerst dat deze stelling onjuist is (de tegenargumenten lijken sterk op die bij de puzzel met de blauwe en bruine ogen.). Daarna geven ze een bewijs dat de stelling juist is. Daarna buiten ze nog uit dat ze nu alles kunnen bewijzen! Bekijk zelf vooral de scan van het artikel die we via de blog van Tanya Khovanova vonden (een erg leuke blog trouwens!).