Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een tijdje geleden deed ik een “wisquiz” met mijn brugklasleerlingen. Ik stelde onder andere de vraag: wat zijn de drie volgende getallen in het rijtje 1, 4, 9, 16, … ?

Nou kun je strikt gezien bij elke willekeurige drie volgende getallen een wiskundige regel verzinnen die precies die getallen oplevert, maar mijn leerlingen gingen druk op zoek naar een niet al te ingewikkeld patroon, en ze vonden er een. Àlle groepjes noemden als volgende drie getallen 25, 36 en 49. Bij navraag naar het patroon dat ze gevonden hadden, zeiden ze: “Nou, eerst hebben we 1, dan doe je er 3 bij, dan 5, dan 7 en zo verder, dus je doet steeds het volgende oneven getal erbij.” Klopt helemaal.

Maar misschien denkt u verbaasd: “Hè, maar dat zijn toch gewoon de kwadraten?” Klopt ook: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9 en 4² = 16. Dat is grappig. Mijn brugklasleerlingen hadden nog niet geleerd wat een kwadraat is. Wat blijkbaar hun gebruikelijke aanpak is bij zo’n rijtjes-afmaak-som, is kijken naar de verschillen tussen opeenvolgende getallen en of daar een duidelijke regelmaat in zit. En die hadden ze gevonden.

Nou is het op het eerste gezicht best gek dat de regelmaat van mijn leerlingen (steeds het volgende oneven getal erbij optellen) en de regelmaat die mijzelf onmiddellijk in het oog springt (de rij van kwadraten) dezelfde drie volgende getallen opleveren. Dus dan kun je je afvragen: is dat toeval? Of geven deze twee manieren ook bij het vierde, vijfde, zesde, en honderdmiljoenste getal dezelfde antwoorden?

Bij de regel van mijn leerlingen tel je achtereenvolgens bij het getal 1 op: 3, 5, 7, 9, enzovoorts. Het achtste getal in het rijtje is dus de som (optelling) van de eerste acht oneven getallen. Algemeen geformuleerd: het n-de getal in het rijtje is de som van de eerste n oneven getallen, wat voor nummer n ook is. Maar als we het rijtje voortzetten met de kwadratenregel, is het n-de getal in het rijtje het kwadraat van het getal n, oftewel n².

De vraag is dus: zijn die rijtjes inderdaad hetzelfde, oftewel: is de som van de eerste n oneven getallen gelijk aan n², voor alle n? Ja, dat is zo, en het is zelfs redelijk eenvoudig om in te zien waarom! Een simpele serie plaatjes laat zien wat er gebeurt.

We beginnen met het getal 1: dat ene roze vierkantje linksboven. Vervolgens tellen we daar 3 bij op, in het plaatje daaronder aangegeven door drie roze vierkantjes. Die drie vierkantjes zijn zó neergelegd, dat er precies een vierkant van 2 bij 2 ontstaat, dus je ziet meteen dat daar 2² vierkantjes liggen. En zo gaan we verder. Als er een vierkant ligt van n bij n vierkantjes, dat dus uit n² vierkantjes bestaat, dan moeten we n + n + 1, oftewel 2n+1 vierkantjes erbij leggen om het volgende kwadraat te leggen. En 2n+1 is precies het volgende oneven getal.

Maakt u zich trouwens vooral geen zorgen: inmiddels weten mijn leerlingen ook wat kwadraten zijn.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Je kent ze vast wel. De getallenrijtjes, een vast onderdeel van iedere IQ-test. Wat is het volgende getal in het rijtje 2, 4, 6, 8? En in het rijtje 1, 3, 6, 10? Dit tweede rijtje komt voor in de thuistest van hoogbegaafdenvereniging Mensa. En de rijtjes kunnen natuurlijk ook nog veel moeilijker zijn.

Een leuk stripje van Savage Chickens

Maar voor wiskundigen die zo’n test doen is er een complicerende factor: ze weten namelijk dat eigenlijk elk antwoord goed is! Hoe zit dat dan? In het rijtje 2, 4, 6, 8, … ligt 10 toch wel erg voor de hand als volgend antwoord! Waarom zou ook een ander getal goed kunnen zijn?

Nou, ik weet nog wel een oplossing: 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2 zou ook een logisch vervolg kunnen zijn. Of 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, …: dan kijk je steeds naar het eindcijfer van het getal dat je krijgt door 2 op te tellen bij het vorige getal.

Nou kun je terecht zeggen: dat zijn flauwe voorbeelden. Maar er ligt een fundamenteel probleem aan ten grondslag. Je moet uit een paar getallen een patroon herkennen, en uit dat patroon weer afleiden wat de volgende getallen zijn. Het probleem is dat zo’n patroon nooit eenduidig kan worden vastgelegd door het geven van een eindig rijtje getallen.

Laten we eens naar het rijtje 1, 3, 6, 10 kijken. Het vervolg dat waarschijnlijk bedoeld wordt is: 15, 21, 28, 36. De verschillen tussen de getallen in het rijtje zijn dan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maar dat is niet de enige mogelijkheid. Als je in de uitdrukking achtereenvolgens 1, 2, 3 en 4 invult voor x, krijg je ook 1, 3, 6 en 10. Verder gaan door het invullen van 5, 6, 7 en 8 levert op: 1, 3, 6, 10, 12, 6, -17, -69. Dus 12 is net als 15 een goed antwoord. Sterker nog: voor elk getal dat je na 10 zou willen invullen bestaat zo’n formule!

Een andere leuke manier om ditzelfde rijtje af te maken, heeft te maken met het gooien van drie dobbelstenen. Als je met drie dobbelstenen gooit, gooi je altijd minstens drie ogen. Hoeveel manieren zijn er om drie te gooien? Dat lukt alleen door 1 met de eerste, 1 met de tweede en 1 met de derde dobbelsteen te gooien, dus dat geeft één (1) mogelijkheid. Om vier te gooien kun je 1, 1, 2 gooien, of 1, 2, 1, of 2, 1, 1. Dat zijn dus drie (3) mogelijkheden. Om vijf te gooien zijn er, jawel, zes (6) mogelijkheden. En voor zes gooien zijn er tien (10) mogelijkheden. Dus op deze manier krijgen we alweer het rijtje 1, 3, 6, 10, met als logisch vervolg het aantal mogelijkheden om zeven, acht, negen of tien te gooien, en dan ziet het rijtje er zo uit: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27.

Dit alles betekent dat zo’n IQ-test ook verwacht dat je het “eenvoudigste” patroon kunt kiezen als je er meer dan één ziet. En geef toe: kunnen inschatten wat andere mensen verwachten is natuurlijk ook een teken van intelligentie.