Wiskundemeisjes

Deze week bezocht ik ein-de-lijk Arabesk in Rotterdam. En de winkel bleek nog geweldiger dan ik al verwachtte. Het assortiment is werkelijk fantastisch. Eenvoudige spelletjes, exclusieve kunstwerken van hout of staal, puzzels die onmogelijk op te lossen lijken, bouwsetjes voor spectaculaire demonstraties: Arabesk heeft het allemaal en nog veel meer. Het leuke is dat er in elke prijscategorie iets te vinden is: voor minder dan vijf euro koop je een tornadomaker voor tussen twee plastic flessen of een bal die in de lucht van kleur verandert. Als je echt los wilt gaan, dan kun je voor bijna duizend euro een spectaculaire fractalboom van Koos Verhoeff aanschaffen. Hier zie je een enthousiaste Ionica bij het schap vol mooie houten objecten van Naef.

De winkel is een beetje overweldigend, maar gelukkig weet eigenaar Jan Grashuis precies wat hij allemaal heeft. En als je hem vraagt naar `iets moois met een Möbiusband' of `een leuk spelletje voor iemand die in het ziekenhuis ligt na een heupoperatie', dan haalt hij dat zo uit de schappen. Ik verliet de winkel uiteindelijk met twee volle tassen. Helaas kan ik jullie niet vertellen wat voor moois ik heb gekocht, want het zijn vooral cadeautjes voor mensen die deze blog ook lezen. Eigenlijk heb ik al teveel gezegd...

Maar waarom heet dit stukje nu `Help Arabesk'? Het gaat financiëel niet zo goed met de winkel. De huur is hoog, de inkomsten laag. Als het zo doorgaat, dan moet de winkel volgend jaar februari sluiten. Dat zou echt te jammer zijn! Daarom bij deze een oproep: als je van wiskunde houdt, koop dan eens iets bij Arabesk. Als de winkel te ver reizen is, kun je ook bestellen via de website. En zegt het vooral voort dat deze winkel (nu nog) bestaat!

Steven mailde ons het heuglijke nieuws dat er een nieuwe optimale Golomb-liniaal is gevonden. ``Wat voor liniaal?'', hoor ik jullie vragen. Een Golomb-liniaal is een reeks positieve gehele getallen waarbij geen twee getallen uit deze reeks hetzelfde verschil hebben. Een voorbeeldje maakt het volgens mij veel duidelijker dan woorden.

De reeks 0,1,4,6 vormt een Golomb-liniaal: elke twee getallen uit de reeks hebben een ander verschil.

Golomb-linialen kunnen verschillende eigenschappen hebben. Een perfecte liniaal bevat alle verschillen tussen 1 en zijn eigen lengte. Een optimale liniaal is de kortste liniaal met n getallen (waarbij kortste betekent dat het laatste getal uit de reeks zo klein mogelijk is). Het voorbeeld hierboven is zowel optimaal als perfect.

Het zoeken van optimale linialen is niet eenvoudig, sterker nog, er wordt vermoed dat dit een NP-volledig probleem is. Distributed.net maakte zaterdag bekend dat ze een optimale Golomb-liniaal met 25 getallen hebben gevonden. Hier is hij:

0 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 480.

Het duurde jaren rekenen met duizenden computers om te bewijzen dat deze Golomb-liniaal inderdaad de kortste is voor 25 getallen. De reeks zelf was overigens al in 1984 gevonden [1]. Op naar een liniaal met 26 getallen!

Het zoeken naar grote perfecte Golomb-linialen is trouwens nóg moeilijker. Vooral omdat bewezen is dat ze niet kunnen bestaan voor meer dan vijf getallen.

[1] M. D. Atkinson and A. Hassenklover, "Sets of Integers with Distinct Differences", School of Computer Science, Carlton University, Ottawa Ontario, Canada, Report SCS-TR-63, August 1984.

p.s. Vinden jullie ook niet dat zo'n voetnoot heel wetenschappelijk staat?

De Amerikaanse verkiezingen naderen en de ene na de andere poll probeert te voorspellen wie de nieuwe president zal worden. Wordt het Obama of McCain?

Terence Tao schreef op zijn blog een mooi artikel over de wiskunde achter polls: Small samples, and the margin of error. Hoe kan een steekproef van slechts duizend Amerikanen nou voorspellen wat er gebeurt als miljoenen Amerikanen naar de stembus gaan? Tao legt het uit - zowel met woorden als formules.

Juan tipte ons over MathTV, een website vol filmpjes waarin opgaven worden uitgelegd. De problemen zijn tamelijk elementair, zoals het oplossen van of het berekenen van . Het aardige is dat er voor veel problemen twee of meer filmpjes door verschillende docenten zijn gemaakt. Je kunt als leerling dan zelf kiezen wiens uitleg je het helderst vindt. Of welke docent je het meest aantrekkelijk vindt natuurlijk... Er staan ook al Spaanse filmpjes op de site. Misschien is het iets voor de WisFaq! om Nederlandse versies te maken?

MathTV heeft ook een eigen YouTube kanaal, helaas mag ik de meest interessante filmpjes niet embedden. Hierbij toch twee voorbeelden.

NWO maakte deze week bekend welke onderzoekers een Veni-of Vidi-subsidie krijgen. Drie wiskundigen kunnen drie jaar onderzoek doen met het geld van hun Veni-subsidie.

Krommen met veel punten
Dr. R.N. (Remke) Kloosterman (m) 05-03-1978, UU - Wiskunde
Elliptische krommen zijn krommen met extra structuur. Onbekend is of elliptische krommen met veel `speciale' punten bestaan. In dit project worden families van elliptische krommen onderzocht, om vast te stellen of zulke krommen bestaan. Deze krommen hebben toepassingen in bijvoorbeeld de cryptografie.

Plotselinge veranderingen in toevallige netwerken
Dr. T. (Tobias) Müller (m), 31-05-1973, VU - Wiskunde
Uit computersimulaties blijkt dat een netwerk dat ontstaat door willekeurig gekozen punten in het vlak elk met de k dichtstbijzijnde punten te verbinden, dramatische verschillen in gedrag vertoont als k een klein beetje verandert. Dit gaan we verklaren.

Meetkunde van de kleinste deeltjes
Dr. W.D. (Walter) van Suijlekom (m) 28-6-1978, RU - Wiskunde
Het Standaard Model van de elementaire deeltjes geeft een zeer nauwkeurige beschrijving van de kleinste bouwstenen van ons universum. Dit project heeft als doel de wiskundige structuur van het model te ontrafelen met behulp van een nieuw soort meetkunde.

Met een Vidi-subsidie kan er vijf jaar onderzoek gedaan worden en kunnen er ook medewerkers worden aangenomen. De volgende (min of meer) wiskundige voorstellen werden beloond.

Wiskunde van de witte bloedcel
Dr. J.A.M. (José) Borghans (v) 01-01-1972, Geleen, UMCU - Immunologie
Witte bloedcellen strijden tegen ziekteverwekkers. De aanmaak en levensduur van deze cellen kan ernstig verstoord raken tijdens infecties en leukemie. Dit onderzoek volgt de levensloop van witte bloedcellen in gezonde en zieke mensen met behulp van wiskundige modellen.

The Moduli Space of Curves
Dr. S. (Sergey) Shadrin (m) 20-07-1980, UvA - Wiskunde
Two-dimensional surfaces (like sphere, torus, surface of pretzel) with algebraic structure on them form highly non-trivial geometric objects, especially important in modern mathematical physics. We study them using a variety of methods coming from quantum theory and topology.

Gegevens samenvatten in eenvoudige patronen
Dr. Drs. A.W. (Alwin) Stegeman (m) 25-06-1975, Deventer, RuG - Psychometrie
In veel wetenschapsgebieden worden tegenwoordig grote hoeveelheden gegevens verzameld en geanalyseerd. Vaak worden hierbij methoden gebruikt die de gegevens samenvatten in makkelijk te begrijpen patronen. Dit onderzoek gaat over het wiskundig begrijpen en verbeteren van deze methoden.

Improving the quantum computer
Dr. R.M. (Ronald) de Wolf (m) 28-01-1973, CWI - Informatica
Computers based on quantum mechanics are potentially much stronger than our current computers. This research aims to improve such computers in three ways: by finding new applications, making them more noise-resistant, and making links with classical computer science.

Grootschalige bedieningssystemen onder de macroscoop
Dr. A.P. (Bert) Zwart (m) 16-04-1974, CWI - Wiskunde
Wiskundige modellen voor computer- en communicatienetwerken, call centers en productieprocessen zijn vaak hoog-dimensionaal en daarom moeilijk analyseerbaar. Dit onderzoeksproject beoogt de complexiteit van dergelijke modellen te reduceren door zich te richten op het macroscopische gedrag.

De wiskundemeisjes feliciteren al deze onderzoekers van harte en hopen dat ze mooie resultaten zullen vinden!

Jeffrey Shallit schrijft op zijn onvolprezen blog Recursivity over een nieuwe formule om priemgetallen te genereren. Koen schreef hier ook al over. Weten jullie allemaal nog wat priemgetallen zijn? Dat zijn de getallen die alleen deelbaar zijn door één en zichzelf: bijvoorbeeld 2, 3, 5, 7 of 5417. Om technische redenen noemen we 1 geen priemgetal.

Priemgetallen worden al heel lang bestudeerd. We weten al meer dan tweeduizend jaar dat er oneindig veel priemgetallen bestaan en de zeef van Eratosthenes om priemgetallen te vinden is ongeveer even oud. Je zou misschien denken dat we alles wel zo'n beetje weten over priemgetallen. Niets is minder waar. Het vermoeden van Goldbach, de Riemann-hypothese en allerlei andere vermoedens over priemgetallen zijn nog steeds onbewezen.

Het is daarom enigszins verrassend als er iets nieuws over priemgetallen wordt ontdekt dat tamelijk eenvoudig is. Zoals deze formule om priemgetallen te genereren. Neem a(1) = 7 en neem voor n ≥ 2

a(n) = a(n-1) + ggd(n,a(n-1)).

Dat ggd is een afkorting voor de grootste gemene deler . Dus we vinden bij de eerste stap a(2) = a(1) + ggd(2,7) = 8. De verschillen tussen twee opeenvolgende termen a(n) - a(n-1) geven priemgetallen (en een heleboel enen).

De reeks a begint zo:

en dit zijn de bijbehorende verschillen a(n) - a(n-1)

Als we de enen overslaan, dan krijgen we de priemgetallen 5, 3, 11, 3 en 23. Als je zo verder gaat, dan vinden we (zonder de dubbelen en de enen) meer priemgetallen

Eric Rowland bewijst in het artikel A Natural Prime-Generating Recurrence dat in deze reeks alleen enen en priemgetallen voorkomen. Dit artikel is deze maand gepubliceerd in Journal of Integer Sequences. In het stuk van Shallit kun je meer lezen over de ontdekking van deze formule.

Er zijn trouwens nog een paar interessante open vragen bij de nieuwe formule. Werkt het bijvoorbeeld ook voor andere beginwaarden dan a(1) = 7? Voor a(1) = 532 (om maar wat te noemen) krijg je bijvoorbeeld vrij snel een 9. Rowland vermoedt echter dat voor elke begingetal er na een eindig aantal stappen alleen nog enen en priemgetallen komen. Nog interessanter is volgens mij de vraag of ook alle oneven priemgetallen voorkomen in zo'n reeks. Rowland vermoedt van wel...

Shallit had ons trouwens zelf gemaild over dit nieuwe resultaat. We zouden het heel leuk vinden als meer wiskundigen ons zouden tippen over ontwikkelingen die interessant zijn om hier te noemen!

Zoals jullie misschien wel weten (en anders kun je hier een eerder stukje van ons lezen) is de Riemann-hypothese een van de belangrijkste onbewezen vermoedens in de wiskunde. Als je het vermoeden weet te bewijzen word je niet alleen wereldberoemd, maar krijg je ook nog eens een miljoen dollar. De Riemann-hypothese is namelijk een van de Millennium Problems, waarvoor de Clay Foundation in 2000 grote prijzen heeft uitgeloofd.

De Riemann-hypothese zegt iets over de nulpunten van de zogenaamde Riemann-zèta-functie (namelijk dat alle niet-triviale nulpunten van de Riemann-zèta-functie in het complexe vlak allemaal op één lijn liggen: de lijn van complexe getallen die als reëel deel 1/2 hebben). Hoe moeilijk dit ook allemaal klinkt: het vermoeden wordt al wat concreter als je naar het volgende filmpje kijkt, gemaakt (en naar ons gemaild) door Paul-Olivier Dehaye, waar je de nulpunten inderdaad netjes op een rijtje ziet staan.

Voor wie echt iets wil weten over de Riemann-zèta-functie en de Riemann-hypothese: een jaar of twee geleden organiseerde de UvA een webklas voor scholieren over dit onderwerp. De lesbrieven van die webklas (geschreven door Roland van der Veen en Jan van de Craats) zijn gelukkig nog online te vinden: hier! Op zijn website belooft Jan van de Craats dat er modeluitwerkingen beschikbaar zijn, aan te vragen via e-mail. Klik hier voor een korter artikel over hetzelfde onderwerp, ook van van Jan van de Craats.

Deze week breng ik een groot deel van mijn tijd door op het Fifth European Mathematical Congress in Amsterdam. Verschillende wiskundigen raadden mij aan om eens te praten met Matilde Marcolli, één van de plenaire sprekers. Het leek me aardig om haar te vragen naar haar favoriete (nog levende) wiskundige voor onze vaste rubriek.

Marcolli legde uit dat ze deze vraag niet kan beantwoorden: ze heeft favoriete wiskundige ideeën, maar daarvan interesseert het haar niets wie ze heeft bedacht of bewezen. En ze heeft wiskundigen die ze graag mag, maar die vindt ze interessant als mens - los van hun wiskundige prestaties.

Bovendien denkt ze dat het verkeerd is om in de wetenschap te focussen op de personen. Het zou om de ideeën moeten gaan, niet om de mensen. Het is volgens haar belangrijk om te onthouden dat veel resultaten gezamenlijk werk zijn van verschillende mensen, dat het niet draait om de persoonlijkheden en dat de ideeën toegankelijk zijn voor iedereen.

Marcolli ergert zich dan ook flink aan de huidige manier van wetenschapspopularisering: ``I am completely unable to read popular-scientific books. As soon as they start telling anecdotes and stories, I throw away the book. I don't care about their lives, I care about the real stuff."

Zij zou graag eens een boek over wetenschap zien met alleen maar de ideeën. Ze vindt het erg dat de meeste populaire literatuur alleen wat mooie verhalen vertelt en er niet voor zorgt dat mensen iets van wetenschap meekrijgen.

Wat Marcolli verafschuwt is precies de manier waarop ik wetenschapspopularisering bedrijf. Ik geloof juist dat het goed is om te vertellen over de mensen achter de ideeën. Zeker bij wiskunde is het moeilijk om aan buitenstaanders uit te leggen waarom we geïnteresseerd zijn in ingewikkelde objecten in de 26ste dimensie (om maar iets te noemen). Ons werk staat zo ver af van wat de meeste mensen weten en ervaren, dat je eerst moet zorgen dat mensen überhaupt iets gaan lezen over wiskunde.

Ik denk dat mooie verhalen een goede manier zijn om mensen naar wiskunde te trekken. Waarschijnlijk begrijpen mensen niet meer van Galois-theorie door te lezen over het turbulente leven van Galois. Maar ik kan me wel voorstellen dat mensen na het lezen van een biografie ook interesse krijgen voor the real stuff. En dat ze dan over de wiskunde gaan lezen, waarvan ze anders niet eens hadden geweten dat die bestond.

Marcolli heeft me wel aan het denken gezet, want het is waar dat bijna alle popularisering meer over anekdotes dan echte wetenschap gaat. Is dat inderdaad verkeerd? Willen jullie hier bijvoorbeeld ook meer echte wiskunde zien? Ik ben zeer benieuwd naar jullie mening.