Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Geachte manager van hotel De Biltsche Hoek,

Laatst was ik op zoek naar een hotel in Utrecht, liefst lekker dichtbij de Domtoren. Toen belandde ik op uw website met foto’s van ruime kamers, een gezellige hotelbar en een uitnodigend zwembad. En dat alles “op een steenworp afstand van de bruisende stad Utrecht” zoals u op uw website schrijft. Dat moet dus wel heel dichtbij zijn. Want hoever kan een steenworp nou helemaal zijn?

Gezellige hotelbar, en dat op een steenworp van de stad Utrecht

Zelf gooi ik (vanzelfsprekend) als een meisje en ik kom met een steen niet verder dan een meter of zeven. Ik zocht op wat het wereldrecord steenwerpen eigenlijk is. Helaas is daar weinig van bekend, het is niet zo’n populaire wedstrijdsport. In 1906 was steenwerpen voor het laatst een onderdeel op de Olympische Spelen. Toen haalde de Griekse atleet Nikolaos Georgantas goud met een worp van 19,925 meter. Dat is ook niet zo ver. Maar die worp was met een flinke steen van zes kilo, oftewel zo’n driehonderd hotelzeepjes.

Laten we daarom aannemen dat u met uw steenworp de oude Noorse eenheid steinkast bedoelt. Daarvan denken historici dat het een afstand tussen de veertig en zestig meter is. Dus uw hotel ligt op een meter of zestig van de stad Utrecht. Dat betekent dat ik na een lange nacht in uw gezellige hotelbar de volgende dag kan kruipen naar de Domtoren.

Tot mijn verbazing zag ik echter op de kaart dat uw hotel bijna zes kilometer van de Domtoren afligt. Dat is meer dan een uur kruipen! De Biltsche Hoek staat in in een uithoek van De Bilt (zoals de naam misschien al een beetje verraadde).

Teleurgesteld besloot ik uw hotel niet te boeken. Als die steenworp niet klopt, dan zijn die kamers waarschijnlijk ook niet zo ruim en die hotelbar niet zo gezellig. Maar toen bedacht ik dat uw hotel misschien wel heel hoog is. Zó hoog, dat als je er een steen van afwerpt, je makkelijk de domtoren raakt. Hoe hoog zou De Biltsche hoek dan moeten zijn?

Ik sloeg aan het rekenen. Om u te matsen nam ik aan dat er geen luchtweerstand is en dat er een supergoede werper op het dak van het hotel staat. Bij honkbal gooien de beste spelers de bal weg met een slordige honderdvijftig kilometer per uur.

Met die snelheid kost het de bal 144 seconden om de afstand van uw hotel naar de Domtoren af te leggen (in het zeer hypothetische geval dus dat er geen luchtweerstand is). Om 144 seconden te vallen zonder de grond te raken, moet uw hotel dan ruim honderd kilometer hoog zijn. Honderd kilometer! Hoeveel kamers kunt u daarin kwijt? Daarbij vergeleken is zelfs de hoogste wolkenkrabber van Dubai een dwerg met een schamele achthonderd meter.

Maar hoe meer ik er over nadacht, hoe minder waarschijnlijk het me leek dat er zo’n gigantisch hotel in Utrecht staat zonder dat ik het ooit gezien heb. Voor de zekerheid boekte ik een ander hotel. Dat lag op 48 meter van de Domtoren, een steenworp zeg maar. Al zeiden zij daar op hun website dan weer niets over.

Verbaasde groet,

Ionica

“Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden.” Dat is zo’n beetje het motto van John Greens prachtige Een weeffout in onze sterren. In het boek concludeert de 16-jarige Hazel uit deze bewering dat er meer (reële) getallen tussen 0 en 2 liggen dan tussen 0 en 1. Maar die twee oneindigheden zijn juist precies even groot! Green liet dit zijn hoofdpersoon bewust verkeerd doen. Hij vond het een mooi idee dat pubers uit gecompliceerde wiskunde onjuiste conclusies trekken en dan toch iets aan hun eigen redenering hebben.

Oneindig is ook één van de moeilijkste begrippen in de wiskunde. De metafoor van Hilberts Hotel (genoemd naar wiskundige David Hilbert) laat zien hoe raar oneindig zich gedraagt. Hilberts Hotel heeft een oneindig aantal kamers. Die kamers zijn zoals gebruikelijk in een hotel genummerd: 1, 2, 3, enzovoorts. Het hotel is vol, alle kamers zijn bezet. De logische conclusie lijkt dat er geen enkele gast meer bij past.

Dan meldt zich een wanhopige reiziger bij de balie, is er echt geen kamer meer vrij? De receptionist denkt even na en knikt dan enthousiast. Via de intercom vraagt hij alle gasten om één kamer op te schuiven: de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoorts. Daarna is kamer 1 vrij voor de reiziger en heeft nog steeds elke gast een kamer. Deze oplossing werkt voor elk eindig aantal gasten dat zich meldt aan de balie. Dat is behoorlijk tegenintuïtief: het hotel is vol, maar tegelijkertijd is er altijd plaats voor een willekeurig aantal nieuwe gasten.

En het wordt nog gekker! Een bus van InfinityTravels brengt een (zeer lange) bus met oneindig veel reizigers naar het hotel. Nu zal de receptionist toch zeker moeten zeggen dat er geen plaats is? Maar nee, ook hierop verzint hij een list: hij stuurt alle gasten naar de kamer met het dubbele van hun kamernummer. De gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 4, die in kamer 3 naar kamer 6, enzovoorts. Dan komen alle kamers met een oneven nummer vrij en kunnen er in een vol hotel dus toch nog oneindig veel gasten bij. (Nu maar hopen dat er ook oneindig veel kamermeisjes zijn.)

Dan komt InfinityTravels na een speciale aanbieding met oneindig veel bussen met daarin elk oneindig veel passagiers. De receptionist kan op dezelfde manier als net oneindig veel kamers leegmaken, maar als hij dan begint met bus 1 in te laden, dan komen de passagiers in de volgende bussen nooit aan de beurt. Maar ook nu verzint de receptionist iets slims: hij begint met passagier 1 van bus 1, daarna mag passagier 1 van bus 2 komen, dan passagier 2 van bus 1 en zo zigzagt hij door alle passagiers in alle bussen en krijgt iedereen een kamer.

Schema voor het uitladen van de buspassagiers

Het lijkt alsof er altijd plaats is in Hilberts Hotel en toch is er een ander soort oneindig die er níet inpast. Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Maar dat is iets voor een volgende column.