Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren - ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.

Een echte wiskundige haalt zijn voldoening natuurlijk uit prachtige onderzoeksresultaten, maar voor wie daarnaast roem, aandacht en gilllende groupies wil, geven we deze week een tip vijf om ook eens volop in de media te komen. Vandaag de laatste tip, die volgens ons het allerbeste werkt. Natuurlijk is de lijst niet uitputtend, verdere tips zijn welkom in de reacties!

1. Ontwikkel een persoonlijkheidsstoornis
Deze tip gaat wat ver, maar het grote publiek houdt nu eenmaal van het idee dat echte genieën op het randje van gekte leven. Zorg dus dat je de vreemde kanten aan je persoonlijkheid zo ver mogelijk uitvergroot. Overweeg om je een tijdje op te laten te nemen in een inrichting.

Of neem Gregori Perelman, zijn bewijs van het Poincaré-vermoeden is nogal lastig om uit te leggen, maar gelukkig valt er genoeg te schrijven over de man zelf. Hij weigerde de Fields medaille, is volslagen ontoegankelijk, schijnt nog bij zijn moeder te wonen en heeft gek haar en een heel lange nagel. Op deze pagina vol advertenties staan zelfs snapshots van Perelman in de metro.

Maar het allerbeste voorbeeld is natuurlijk John Nash. Leuk zo'n Nobelprijs, maar echt beroemd werd hij pas dankzij de Hollywoodfilm A Beautiful Mind waarin zijn schizofrenie de hoofdrol speelde. Hij zegt zelf dat de film natuurlijk niets verandert aan de kwaliteit van zijn werk, maar er komen nu wel mooi allerlei mensen bij hem langs voor een handtekening of foto.

Deze maand geen echte aflevering van de favoriete (nog levende!) wiskundige van, maar we kunnen vast aankondigen dat in december Nobelprijswinnaar Eric Maskin onthult wie zijn favoriet is.

Ionica vroeg voor deze editie aan John Nash welke nog levende wiskundige hij bewondert.

Een langer interview met Nash ligt trouwens nog steeds op een plank te wachten om gepubliceerd te worden. Maar goed, wie is de favoriet van Nash? Hij weet het niet. ``Ik word vaker gevraagd om dit soort vragen te beantwoorden of om mensen te nomineren voor een prijs. Ik kan dat niet goed. Serre leeft toch nog? Hij is heel goed, maar hij werkt niet op mijn gebied. Perelman is ook interessant, ik hoorde dat hij verdwenen is."

We vragen hem wat hij van de legendarische verdwenen wiskundige Alexander Grothendieck vindt: ``In Parijs kende ik hem goed, maar meer op persoonlijk dan op wiskundig vlak."

Als we een half uur later nog eens vragen of Nash toch een favoriet kan kiezen, dan antwoordt hij breed grijnzend: ``ME!''. Dat kan natuurlijk ook. Op het waarom geeft Nash geen antwoord meer. Daarom maar een mooie foto van een jeugdige (staande) John Nash in zwembroek en volgende maand een meer inhoudelijke aflevering van deze rubriek!

Onderstaand artikel staat vandaag in Technisch Weekblad. Het is mijn reportage over het bezoek aan Princeton en de ontmoeting met Nash en Maskin. Een langer artikel over Nash volgt zodra het gepubliceerd is...

Negen getalenteerde scholieren wonnen een reis naar New York. Op 18 oktober hadden zij een ontmoeting met twee Nobelprijswinnaars in Princeton.

De scholieren wonnen op 19 september het Nijmeegse Wiskundetoernooi, een jaarlijkse wedstrijd tussen ongeveer honderd teams met elk vier of vijf leerlingen uit de bovenbouw van het vwo. Dion Coumans en Mirte Dekkers, promovendus respectievelijk student bij wiskunde in Nijmegen, organiseerden dit jaar het toernooi. Coumans: ‘Het toernooi is niet alleen gericht op de slimsten van de klas, we willen alle scholieren een leuke dag bezorgen. We hopen dat ze daarna aan anderen vertellen hoe leuk wiskunde kan zijn.’

Dit jaar stond het toernooi gedeeltelijk in het teken van speltheorie. De teams moesten niet alleen sommen oplossen, ze onderhandelden ook met tegenstanders om zoveel mogelijk punten te halen. Als toepasselijke hoofdprijs mochten de twee winnende teams naar Princeton om twee grote namen uit de speltheorie te ontmoeten: John Nash en Eric Maskin.

John Nash (geboren in 1928) werd bij een groter publiek bekend als het genie uit de film A beautiful mind: (2001). Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor economie voor zijn jeugdwerk in de speltheorie. Inmiddels is hij tachtig en komt hij nog bijna iedere dag op het Institute for Advanced Studies om te werken en collega’s te ontmoeten.

Princeton
Het is nog vroeg als de scholieren op zaterdag 20 oktober in de trein een ontbijt van bagels en muffins wegwerken. Na drie dagen in New York zijn ze op weg naar Princeton, zo’n negentig kilometer onder New York. Ze weten van tevoren niet zo goed wat ze moeten verwachten van de ontmoeting met Nash. De één hoopt stiekem dat Nash iets heel raars zal doen, zodat hij tegen zijn vrienden kan zeggen: ‘Ken je Nash, dat genie uit A Beautiful Mind? Weet je wat hij deed?’ Een ander ziet het bezoek naar Princeton sowieso als het hoogtepunt van de vijfdaagse reis naar New York.

De winnende scholieren tussen Nobelprijswinnaars John 'A Beautiful Mind' Nash (midden) en Eric Maskin (rechts van Nash).

Nash geeft een korte voordracht over de geschiedenis van zijn werk. Hij kreeg de Nobelprijs voor het introduceren van het naar hem genoemde Nash-evenwicht. Dit evenwicht treedt op in een spel met verschillende spelers waarbij samenwerking tussen de spelers niet kan worden opgelegd. Elke speler heeft een doel en kiest een strategie om dat doel te bereiken. Er is sprake van een Nash-evenwicht als een speler niet van strategie zou veranderen als hij zou weten wat de andere spelers doen. De scholieren vragen Nash of hij nog steeds actief is als onderzoeker. Hij begint een enthousiast verhaal over zijn nieuwe werk aan ideaal geld. De scholieren zijn achteraf onder de indruk. ‘Hij is echt anders dan anderen. Ik zie nooit iemand van tachtig die nog zo scherp is.’

Eric Maskin werkte verder aan de ideeën van Nash en ontving zelf vorig jaar de Nobelprijs voor economie. Hij geeft een glasheldere lezing over hoe speltheorie gebruikt kan worden om keuzeprocessen zo eerlijk mogelijk op te zetten. Bijvoorbeeld bij een gesloten bod veiling: verschillende partijen bieden op een object zonder elkaars bedragen te zien. Hoe zorg je nu dat degene wint, die het object het meeste waard vindt? Dit is bijvoorbeeld belangrijk bij het veilen van gsm-frequenties, dan moet de winnaar na de veiling ook iets gaan doen met zijn verkregen frequentie.

Maskin: ‘Laat degene met het hoogste bod winnen, maar laat hem het een-na-hoogste bod betalen. Niemand zal nu minder bieden dan hij het object waard vindt. Maar ook niemand zal meer bieden dan dat: stel dat jij denkt dat het object 10.000 euro waard is, als je dan 12.000 biedt en iemand anders biedt 11.000, dan betaal je uiteindelijk 1000 euro te veel. Met deze opzet biedt iedereen eerlijk en wint precies degene die het object het hoogste waardeert.’

Na de voordrachten volgt een wandeling door Princeton. Is het beeld dat de scholieren hebben van wiskunde veranderd door deze dag? Niet echt, al zijn ze aangenaam verrast dat wat Maskin vertelde óók wiskunde is. ‘En mijn beeld van Princeton is echt enorm gestegen’, voegt een jongen toe. Dat was ook een beetje de bedoeling van de reis. Dekkers: ‘We hopen deze scholieren extra te motiveren door ze een topuniversiteit te laten zien. Princeton is misschien haalbaar voor hen als ze hard hun best doen.’

Eindelijk las ik A beautiful mind van Sylvia Nasar. Jaren geleden zag ik de film, maar het boek is (zoals gebruikelijk) veel beter.

Nasar heeft een boel feiten boven tafel gekregen en vertelt zeer aanstekelijk het levensverhaal van wiskundige John Nash. Voor wie het niet weet: Nash doet in zijn jonge jaren briljant werk en krijgt nét niet de Fields medaille. Rond zijn dertigste raakt hij echter in de ban van waanideeën en dwaalt hij steeds meer af van de echte wereld. Nash wordt behandeld voor schizofrenie, maar tientallen jaren is hij bezig met obsessieve complottheorieën en loopt hij als een soort zombie door de wiskundige wereld. Wonderlijk genoeg is hij in de loop der jaren langzaam hersteld en op latere leeftijd is hij niet wereldvreemder dan de gemiddelde wiskundige. In 1994 wordt zijn werk in de speltheorie alsnog bekroond met de Nobelprijs voor Economie.

Tegen mijn verwachtingen in vond ik A beautiful mind een echte page-turner. Nasar schrijft vlot en aanstekelijk. Het leven van Nash leest als een roman, daarnaast vond ik het ontzettend interessant om allerlei nieuwe dingen over (voor mij) bekende wiskundigen te ontdekken. Neem dit stukje over Kenneth Arrow  en het onstaan van de door hem bewezen verkiezingsparadox (pdf):

The assignment was to demonstrate that it was okay to apply game theory, which is formulated in terms of individuals, to aggregrations of many individuals, namely nations. Arrow was aked to write a memorandum showing how it could be done. As it turned out, the memorandum became Arrow's dissertation [...] ``That was it! It took about five days to write in September 1948," he recalled. ``When every attempt failed I thought of the impossibility theorem."

Is er dan niets aan te merken op het boek? Jawel, de wiskunde zelf komt er wat karig vanaf, de weinige wiskundige ideeën die voorkomen worden niet of belabberd uitgelegd. Om echt iets leren over speltheorie of ander werk van Nash kun je beter een ander boek lezen. Ook wordt er soms iets te veel achtergrondinformatie gegeven over bijfiguren. Mijn co-promotor vond dat sommige details in het boek te persoonlijk en enigszins genant waren. Maar ik, roddelzuchtig als altijd, vond dat juist zo goed. Ik hoop dat Nasar nog een wiskundige biografie zal schrijven. Van Perelman, Grothendieck of Conway bijvoorbeeld.

ps Deze recensie schreef ik enkele weken geleden, voor ik Nasar en Nash ontmoette. Inmiddels weet ik dat Nasar waarschijnlijk niet nog een biografie gaat schrijven, omdat de meeste wiskundigen `hooguit 10.000 woorden waard zijn'.