Wiskundemeisjes

Beste loterij-verliezer,

Deze week was u ineens toch een beetje een winnaar toen de rechtbank besloot dat de Staatsloterij haar deelnemers tot 2008 misleidde. Met een beetje geluk krijgt u zelfs uw geld terug. Het was natuurlijk ook enorm oneerlijk wat die loterij deed. Ze verkochten drie miljoen loten, maar trokken de prijzen uit een verzameling van eenentwintig miljoen loten. Als u dát had geweten, dan had u natuurlijk nooit een lot gekocht!

Hoewel, iets zegt me dat u waarschijnlijk niet zo goed bent in kansen uitrekenen. Laten we eens kijken naar de twintig prijzen van 100.000 euro die de Staatsloterij maandelijks beloofde. Als ze die prijzen keurig uit de verkochte loten trokken, dan was uw kans om te winnen één op honderdvijftigduizend. Als u maandelijks meespeelt, dan moet u daarmee naar verwachting een slordige twaalfduizend jaar wachten op zo’n prijs. En dan was dit nog in het gunstige geval waarbij de Staatsloterij u níet misleidde. U mag natuurlijk hopen dat u net geluk heeft binnen de schamele tachtig jaar dat u leeft, maar als ik u was zou ik er niet op rekenen.

Ter vergelijking: als u twintig jaar lang vijftien euro op een spaarrekening stort (in plaats van een lot te kopen), dan heeft u bij een gemiddelde rente van drie procent aan het einde bijna vijfduizend euro. Een loterij zou in dit geval zeggen dat ze 136 procent van uw inzet uitkeren.

De Staatsloterij keert daarentegen iets meer dan zestig procent van de inleg uit. De rest van het geld verdwijnt in de staatskas. Iemand grapte ooit dat loterijen een belasting zijn voor mensen die slecht zijn in wiskunde. Dat lijkt in dit geval extra toepasselijk, want de Staatsloterij spekt de staatskas dubbel. Van de uitgekeerde inleg betaalt de loterij namelijk ook nog kansspelbelasting. Kortom, door mee te doen aan de Staatsloterij betaalt u mooi mee aan de studie van mensen die straks begrijpen waarom het beter is om niet mee te doen aan loterijen.

Dankzij noest speurwerk van Twitter weet ik nu dat de grap over loterij als belasting al in 1662 gemaakt werd door Sir William Petty. Hij schreef:

A Lottery therefore is properly a Tax upon unfortunate self-conceited fools; men that have good opinion of their own luckiness, or that have believed some Fortuneteller or Astrologer, who had promised them great success about the time and place of the Lottery, lying Southwest perhaps from the place where the destiny was read.

Meer in zijn verzamelde werken.

Let ook eens op de winkans waarover de Staatsloterij graag roept dat het de grootste van Nederland is. Die kans klinkt best indrukwekkend: bij elke trekking valt op maar liefst 53,8% van de verkochte loten een prijs. Je wint dus meer de helft van de keren dat je meespeelt! Er zit alleen een klein addertje onder het gras: veel van die prijzen zijn kleiner dan de kosten van een lot. De kans dat je een prijs wint die hoger is dan je eigen inleg is 18,5 procent. Eerlijk is eerlijk: bij andere loterijen is het inderdaad nóg beroerder.

Het valt me op dat het proces tegen de Staatsloterij zelf ook wel iets van een loterij heeft. Op de website waar gedupeerden zoals u zich kunnen aanmelden staat: “Deelname aan het proces tegen de Staatsloterij kost u éénmalig € 35 inschrijfgeld voor één meegespeeld lot, plus € 10,00 voor elk volgend lot, ongeacht de periode.” Jammer dat er niet bijstaat wat de winkans hier is. Al durft u waarschijnlijk wel een gokje te wagen.

Succes!

Ionica

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Beste Bert de Jong,

U vroeg mij of ik kan berekenen wat de kans is dat u geboren bent. Daarvoor hoef ik helemaal niet te rekenen. Gegeven dat u deze vraag stelt, schat ik deze kans op honderd procent (tenzij u een robot bent, dan heeft u mij mooi te pakken).

Ik krijg regelmatig dit soort vragen. Een andere lezer wilde weten wat de kans is dat bij zijn verwekking precies de juiste eicel en zaadcel bij elkaar kwamen. Een dame vroeg naar de kans dat ze haar man ontdekte op een foto in haar eigen baby-album. En op Twitter zocht iemand de kans dat niet één van zijn 550 Facebook-vrienden die dag jarig was.

Al deze dingen waren al gebeurd voor ik de vraag kreeg, dus ik kon steeds honderd procent antwoorden. Maar dat is natuurlijk niet wat u en de anderen van mij vragen. U wilt weten hoe bijzonder uw leven is. En u hoopt dat dit op de een of andere manier te berekenen is.

Wat is de kans dat iemand deze slechte grap verzint?

Er zijn verschillende manieren om kansen uit te rekenen: domweg tellen, handig deelkansen vermenigvuldigen of iets echt slims doen (al gaat dat laatste bij mij vaak mis). Voor de kans dat u geboren bent, moeten we vooral veel schatten. Wat is de kans dat uw ouders precies op het juiste moment de liefde bedreven en u als kind kregen? Laten we heel optimistisch zijn en die kans op vijftig procent schatten. Voor uw grootouders aan beide kanten zetten we de kans dat zij samen kwamen ook op elk vijftig procent. Zo gaan we terug de geschiedenis door tot we bij de eerste mensen komen die hier grofweg 200.000 jaar geleden rondliepen.

Stel nu even dat de gemiddelde leeftijd van moeders vijfentwintig jaar was, dan geeft dat in 200.000 jaar achtduizend moeders. Best een overzichtelijk aantal: iets meer dan de inwoners van Noord-Beveland aan mama’s. Als elk van die oermoeders vijftig procent kans had om op het goede moment door de bijpassende oervader bevrucht te worden, dan is de kans dat u geboren bent vijftig procent tot de macht achtduizend. Dat is ongeveer één op tien tot de macht 2.408, een kans zo belachelijk klein dat er geen woorden meer voor zijn. Het is waarschijnlijker dat u bij de lotto zes jaar lang elke week de jackpot wint.

Het is dus heel bijzonder dat u geboren bent. Maar voor u zichzelf tot het achtste wereldwonder kroont: uw vervelende buurman is net zo bijzonder. En die mug die u net wegjoeg had een nog veel kleinere kans om geboren te worden. Berekeningen helpen niet om te zeggen of iets bijzonder is. Er gebeuren doorlopend dingen die een extreem kleine kans hebben. Meestal merken we daar niets van, we denken er pas over na als er iets gebeurt dat wij bijzonder vinden. Het is zoals Terry Pratchett graag grapt: “Een kans van één op een miljoen komt negen van de tien keer uit.”

Succes,

Ionica

ps De kans dat op een bepaalde dag geen van die 550 Facebook-vrienden jarig is, is trouwens ruim twintig procent. Helemaal niet zo bijzonder.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

We krijgen meer post van lezers dan we kunnen beantwoorden. Daarom deze keer antwoord op een aantal veelgestelde vragen.

Weten jullie een leuk onderwerp voor mijn profielwerkstuk?
Natuurlijk, maar het is beter als je zelf iets verzint. Kies een willekeurig onderwerp dat je superleuk vindt en zoek de wiskunde daarbij. Als je bijvoorbeeld heel erg van Lady Gaga houdt, onderzoek dan of er een formule is die de perfecte hit voorspelt en zo ja, of Gaga’s knaller Born this way daaraan voldoet. Als je van voetbal houdt, kun je berekenen wat de perfecte hoek is om een strafschop te nemen.

Ik heb een koffer met een cijferslot van drie cijfers van 0 tot en met 9. Ik ben de code vergeten. Kunnen jullie een lijst geven van alle mogelijkheden die ik moet proberen? Of zijn dat er oneindig veel?
Het slechte nieuws is dat we geen lijst gaan geven, het goede nieuws is dat er maar duizend mogelijkheden zijn. Begin bij 000, ga door naar 001 en zo steeds één verder tot je bij 999 bent. Als je een beetje doorwerkt, kun je in een paar uur alle mogelijkheden proberen.

Mijn dochter is dol op wiskunde, maar weet niet wat ze er later mee kan doen. Is het wel slim voor haar wiskunde te studeren?
Ja, afgestudeerde wiskundigen hebben de laagste werkeloosheid en werken in alle hoeken en gaten van de maatschappij. Wij hebben in elk geval nooit spijt gehad van onze studiekeuze.

Wat is de kans dat ik win met de hamsterbingo/lotto/staatsloterij?
Heel erg klein. Begin er niet aan.

Hoeveel boodschappen moet ik kopen voordat ik alle superdieren/voetbalkaartjes compleet heb?
Heel erg veel. Begin er niet aan.

Willen jullie mijn wiskundig bewijs lezen?
Het lezen van een bewijs kost vaak net zo veel tijd als het maken ervan. Wij hebben helaas geen tijd om allerlei bewijzen door te ploegen. Gelukkig is er een prima systeem om nieuwe resultaten te beoordelen en verspreiden: wetenschappelijke tijdschriften. Maak daarom vooral een artikel van je bewijs en stuur het op.

Kan ik de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel toepassen om te laten zien dat er gaten in de wet zijn?
Nee, nee en nog eens nee. De stelling van Gödel zegt weliswaar dat er in een consistent systeem altijd beweringen bestaan die wel waar zijn, maar niet binnen dat systeem te bewijzen. Maar die stelling geldt voor formele systemen die de rekenkunde omvatten en met de regels van de logica werken. Je mag dit resultaat dus niet zomaar veralgemeniseren naar andere vakgebieden als rechten.

Hoeveel sudoku’s zijn er?
6.670.903.752.021.072.936.960.

Ik las een paar maanden geleden een leuke column van jullie, maar ik kan hem nergens vinden op internet. Kunnen jullie mij de tekst sturen?
Al onze columns staan op deze site, vaak met reacties van andere lezers.

Deze column staat in de Volkskrant van gisteren.

Bij lezingen doe ik soms een experiment dat ik ooit zag in een Christmas Lecture van Richard Dawkins. Ik kondig aan dat er een paranormaal iemand in de zaal is en vraag het publiek om op te staan (wat altijd een goed idee is halverwege een dag vol praatjes). Ik haal een euro uit mijn zak en vraag de helft van de zaal om heel sterk “kop” te denken en de andere helft om zich te concentreren op “munt”. Ik gooi de euro en kijk welke kant er boven ligt. De helft van de zaal die het fout dacht, mag weer gaan zitten. De andere helft verdeel ik opnieuw in twee groepen die aan kop of munt moeten denken. Zo ga ik door tot er uiteindelijk maar één iemand over is. Die persoon heeft dan een keer of zeven achter elkaar correct “voorspeld” hoe de munt zal vallen. Dit moet wel een heel bijzonder iemand zijn, met speciale telepathische gaven! Meestal begint de zaal op dat moment te protesteren: natuurlijk blijft er altijd één iemand over als je het op deze manier aanpakt. Daar is helemaal niets bijzonders aan.

Maar dit eenvoudige principe is de basis van een succesvolle fraude. Stel je voor dat je op een regenachtige maandag een brief krijgt van een bedrijf dat voorspelt dat het aandeel Ahold de komende week zal stijgen. Een week later is de koers inderdaad omhoog gegaan en krijg je van datzelfde bedrijf een nieuwe brief, met daarin de voorspelling dat de komende week Randstad zal dalen. En jawel, die week keldert de koers van dat aandeel. Zo gaat het nog vier weken door en elke keer klopt de voorspelling van het bedrijf. Na zes correcte voorspellingen vraagt het bedrijf of je voor 1000 euro de week erna een beleggingsadvies wilt. De kans is groot dat je op dat moment gelooft dat dit bedrijf de geheime formule achter beurskoersen heeft ontdekt. Je kunt bakken met geld verdienen door hun advies te volgen!

Dit bedrijfje doet hetzelfde als een munt opgooien, maar hier zie je niet de enorme groep mensen waarbij de voorspelling misgaat. Het bedrijf begint met 3200 brieven met de voorspelling dat Ahold omhoog gaat en 3200 brieven dat Ahold omlaag gaat. Elke keer splitsen ze de groep in tweeën en zo zijn er na zes voorspellingen nog 100 mensen over waarbij alles klopte. Als daarvan de helft erin trapt, dan verdienen ze mooi 50.000 euro.

Deze fraude is meermaals gebruikt. Niet alleen met beursvoorspellingen, maar ook met voetbaluitslagen en de winnaars van paardenraces. Een mooie en zeer eenvoudige variant is de waarzegster die vroeger het geslacht van een ongeboren kind voorspelde. Als na de geboorte bleek dat ze het fout had, dan hoefde je niets te betalen. Maar als ze het goed had, dan kreeg ze 50 gulden van de blije kersverse ouders. Jammer dat er tegenwoordig echo’s zijn, anders begon ik zelf zo’n winstgevend voorspellingswinkeltje voor zwangere vrouwen.

Bekijk vooral ook deze prachtige show van illusionist Derren Brown waarin hij dit systeem gebruikt om mensen ervan te overtuigen dat hij de winnaar van een paardenrace kan voorspellen.

Op zondag 27 december wordt De Nationale Wetenschapquiz weer uitgezonden. Zoals elk jaar wordt er vooraf fel gediscussieerd over de antwoorden. Zo heb ik met mijn vriend (die erg goed is in push-ups) een weddenschap over het juiste antwoord op de vraag: Is het doen van push-ups voor lange en korte mensen even moeilijk? Traditioneel verlies ik dit soort weddenschappen altijd, gelukkig hebben we niet gewed om 100 push-ups...

Maar terzake: er staan ook wiskundevragen in de quiz. Je kunt de hele quiz hier vinden.

Vraag 5: Hoe lang duurt het ongeveer voordat een geheim dat eens per uur alleen door de laatste ingewijden wordt doorverteld aan drie nieuwe personen de wereld rond is?

A. Een dag
B. Een weekend
C. Een week

Vraag 14: Wanneer is je verwachte winst bij de Staatsloterij het grootst?

A. Als je een heel lot koopt
B. Als je twee hele loten koopt met verschillend eindcijfer
C. Als je een straat koopt (10 hele loten met verschillend eindcijfer)

Deze column verscheen in de Volkskrant van 26 september.

De kans dat je de lotto wint is nogal klein. Zoals statisticus John Haigh opmerkte, is het voor de gemiddelde persoon waarschijnlijker dat hij binnen een uur na het kopen van een lot dood neervalt, dan dat hij de jackpot wint.

De afgelopen weken was de lotto flink in het nieuws. Eerst voorspelde illusionist Derren Brown live op de Britse televisie de lottogetallen van die avond. Voorspellen is eigenlijk een groot woord, want hij liet zijn getallen pas zien ná de trekking. Brown bekeek de trekking op een groot scherm, schreef de winnende getallen op een kaart en draaide pas daarna de lottoballen die de hele tijd naast hem in beeld lagen naar de camera. Natuurlijk stonden daar de juiste getallen op.

Twee dagen later zou Derren Brown uitleggen hoe zijn truc werkte. Ondertussen circuleerden op internet de wildste theorieën: misschien had Brown ons gehypnotiseerd zodat we dachten dat het de juiste getallen waren of misschien had een assistent in een onzichtbaarheidsmantel de ballen snel verwisseld. Zoals het een goede illusionist betaamt, vertelde Brown uiteindelijk helemaal niet hoe de truc werkte. In plaats daarvan hield hij een wiskundig zwetsverhaal over het middelen van de voorspellingen van vierentwintig mensen- iets dat volgens hem alleen werkte als je het niet voor het geld deed.

Diezelfde week gebeurde er iets geks bij de Bulgaarse lotto: de getallen 4, 15, 23, 24, 35 en 42 werden getrokken. Wat was er zo bijzonder aan deze getallen? Niets, behalve dan dat bij de vorige trekking precies diezelfde getallen vielen. Maar liefst achttien deelnemers hadden de tweede keer al deze getallen goed (zouden zij altijd op de vorige uitslag gokken?) en mochten de hoofdprijs delen.

Na een onderzoek van het lotingsmechanisme werd geconcludeerd dat er geen sprake was van fraude, ook al leek de kans op twee keer dezelfde uitslag wel erg klein. Maar is die kans zo bijzonder klein? Elke reeks van zes getallen heeft bij een nieuwe trekking dezelfde kansen en twee keer achter elkaar 4, 15, 23, 24, 35 en 42 is net zo toevallig als 4, 15, 23, 24, 35 en 42 gevolgd door 1,2,3,4,5 en 6 of welke zes getallen ook.

De kans op een bepaalde uitslag is sowieso heel klein. In Nederland is er in de lotto een wekelijkse trekking met zes getallen tussen de 1 en 45 en één uit zes kleuren: dat geeft meer dan 48 miljoen mogelijkheden. Hoe lang moet je meespelen om met grote kans de lotto te winnen? Om preciezer te zijn: na hoeveel jaar heb je 95% kans dat je minstens één keer de hoofdprijs hebt gewonnen? Het teleurstellende antwoord is na 2,8 miljoen jaar – zo lang geleden waren er nog niet eens mensen. Als een Neanderthaler die ongeveer 300.000 jaar geleden werd geboren vanaf zijn geboorte tot nu elke week mee had gespeeld in de lotto, dan is de kans dat hij inmiddels minstens één keer de hoofdprijs heeft gewonnen iets meer dan 27%. De kans dat hij intussen dood is neergevallen, is een stuk groter.