Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Vaak moet ik smeken om de harde cijfers en krijg ik hooguit wat vage schattingen. Maar niets daarvan bij u. Toen mijn moeder borstkanker kreeg, schetste u in glasheldere percentages haar toekomst. Na twee operaties waren de kankercellen uit haar lichaam verwijderd, maar dat betekende niet dat het gevaar was geweken. Zonder therapie was de kans dat de kanker binnen tien jaar terug kwam 57 procent. Om nog preciezer te zijn: u vertelde ons dat de kans dat mijn moeder voor 2022 aan kanker zou overlijden 34 procent was. De kans dat ze in in de tussentijd aan iets anders zou overlijden, schatte u op minder dan 4 procent.

Natuurlijk weten we allemaal dat we doodgaan, maar het was erg confronterend om zwart-op-wit te krijgen dat de kans om de komende tien jaar te overlijden groter is dan één op drie. Gelukkig stelde u behandelingen voor om die kans te verhogen. Met chemotherapie steeg de kans dat mijn moeder 2022 zou halen van 62 naar 76 procent. En met hormoontherapie zouden daar nog wat procentpunten bijkomen.

Het duizelde ons van al die getallen. Hoe moesten we daarmee nu een beslissing nemen? We wisten dat chemokuren mijn moeder waarschijnlijk doodziek zouden maken, terwijl ze nu nog helemaal gezond was. Hoe beslis je of dat de moeite waard is? Ik probeerde een berekening te maken van de verwachte winst tegenover de verwachte tijd van ziek zijn. Met 14 procentpunt meer kans om tien jaar te leven, kun je de opbrengst van de chemotherapie zien als ongeveer een jaar en vijf maanden extra leven. Daartegenover voorspelde u dat het met chemokuren een vol jaar kon duren voordat mijn moeder weer fit was. De nettowinst zou dan maar vijf maanden zijn. Was dat het waard?

Ik dacht dat ik meer cijfers nodig had. Hoe veel scheelde het als ze maar één chemokuur nam? En hoe ziek zou ze daarbij precies worden? En hoe zat het met de overlevingskansen na 2022? Ik wilde helemaal geen percentages, ik wilde zekerheid. Ik vroeg me af hoe al die kankerpatiënten omgaan met al die cijfertjes. Hoe maak je in godsnaam zo’n belangrijke beslissing uit gegevens die je maar half begrijpt?

Gelukkig kwam één van u met de oplossing toen u voor ons de knoop doorhakte. U zei dat er op haar leeftijd eigenlijk helemaal geen keuze is, ze moet die chemokuur maar gewoon doen. Ze moet volgens u vooral voorkomen dat ze later spijt krijgt dat ze de behandeling níet gevolgd heeft. Daar is ze te jong voor. Als ze nou tachtig was, dan had u graag over alternatieven gesproken.

Bedankt voor uw duidelijke woorden. U heeft mij heeft geleerd dat getallen niet altijd de juiste manier bieden om naar belangrijke dingen te kijken. Ik hoef u duidelijk niets meer uit te leggen. Wilt u alstublieft heel erg uw best doen voor mijn moeder? En kunt u op de een of andere manier haar kansen misschien nog iets verder omhoog krijgen?

Met bezorgde groet,

Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Toen ik twee weken geleden over het drie-deuren-probleem schreef, was ik eigenlijk bang dat het verhaal te bekend was en dat de Volkskrant-lezers in koor zouden roepen: “Wisselen natuurlijk!” Voor wie even kwijt is wat het probleem is, een korte herhaling. Een kandidate mag kiezen uit drie deuren, achter één deur staat een auto, achter de twee andere staan geiten. Ze kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent één van de andere deuren en laat zien dat daar een geit staat. (Merk op dat hij altijd een geit kan tonen, welke deur er ook gekozen is.) Dan biedt hij de kandidate aan dat ze nog mag wisselen naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Zoals ik hier vorige keer schreef, is het verstandig om te wisselen. De kans dat de auto achter de deur van de eerste keus zit is ⅓ en de kans dat de auto achter de andere dichte deur zit is ⅔.

Veel lezers geloofden hier niets van, ik kreeg een recordaantal emails van lezers die dachten dat beide gesloten deuren een kans van ½ hadden. De krant plaatste een brief waarin zelfs werd beweerd dat de overgebleven deuren elk een kans van ⅔ hadden, wat weer een nieuwe regen van reacties opleverde. En op de twee brieven op de opiniepagina de dag daarna kwam weer een hele reeks mails binnen. Laat ik het daarom nog eens op een andere manier proberen uit te leggen.

Ook al lijken twee dingen hetzelfde, de kansen hoeven niet 50/50 zijn. Een collega van mij demonstreerde dit door me te laten raden wanneer hij jarig is. Ik gokte op 8 oktober en hij antwoordde dat hij op 8 oktober óf 18 augustus jarig is. Wilde ik dan bij mijn eerste gok blijven, of ging ik toch liever voor 18 augustus? In dit geval zal (hopelijk) niemand denken dat de beide data precies dezelfde kans hebben. Zoiets gebeurt ook bij het drie-deuren-probleem.

Eerst nog iets over de verborgen aannames. Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten. Iets subtieler is dat we aannemen dat als de presentator uit twee deuren met geiten kan kiezen, hij er willekeurig één kiest (en bijvoorbeeld niet altijd de dichtstbijzijnde). Onder deze voorwaarden geeft wisselen een twee keer zo grote winkans.

Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat, toch?

Als de kandidate één van de drie deuren kiest, dan heeft ze ⅓ kans op de auto en die kans blijft hetzelfde als ze niet wisselt. Bij wel-wisselen zijn er drie mogelijkheden:

1. Ze kiest geit A, presentator toont geit B, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest geit B, presentator toont geit A, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest de auto, presentator toont een geit, ze wisselt naar de andere geit.

Ze heeft dus een kans van 2 op 3 om te winnen als ze wisselt.

Wie het nu nog niet gelooft (en ik weet zeker dat er weer mensen tandenknarsend van ergernis achter de krant zitten), kan het eens domweg uitproberen. Verschillende lezers suggereerden om het spel thuis honderd keer na te spelen met een huisgenoot, ondoorzichtige bekers en muntjes. Bij wisselen zul je ongeveer 67 keer winnen, bij niet-wisselen 33 keer. Hoe vaker je speelt, hoe duidelijker de kansverdeling wordt. Voor wie geen huisgenoot (of geduld) heeft: probeer de online-simulatie van de New York Times. Zien is geloven. Eén lezer zag trouwens mogelijkheden om geld te verdienen door tegen overtuigde niet-wisselaars te spelen. Als ik een casino had zou ik dat idee zeker gebruiken.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In de weersverwachting van de komende vijf dagen staat altijd per dag een neerslagkans, keurig als een percentage. “Zaterdag 60% kans op neerslag”, bijvoorbeeld. Kansen worden namelijk in percentages uitgedrukt, of in een getal tussen 0 en 1 (een kans van 25% komt overeen met een kans van 0,25).

Soms is het duidelijk wat een kans betekent. Als je met een eerlijke dobbelsteen gooit, dan zul je na heel vaak gooien in één op de zes gevallen een 4 gegooid hebben. De kans op een 4 is dus 1/6 (ongeveer 17%).

Maar ik heb me wel eens afgevraagd wat die neerslagkansen nou eigenlijk betekenen. Als richtlijn werken ze prima, en dat is natuurlijk waar ze voor zijn. Maar als wiskundige wil ik het graag preciezer weten. Betekent 60% kans op neerslag dat de kans 60% is dat het vandaag ergens in het land gaat regenen of sneeuwen? Dat lijkt me niet. Als er in Zuid-Limburg een wolkbreuk aankomt, maar in de rest van het land schijnt de zon, wil je eigenlijk niet dat de neerslagkans heel hoog is. Ik vermoed dat het betekent dat een willekeurige plek 60% kans op neerslag heeft. Of betekent het dat het in 60% van het land zal gaan regenen? Of dat in ongeveer 60% van de tijd neerslag naar beneden komt? Dat zou ook kunnen.

Wat het weer gaat zijn, is sowieso moeilijk te berekenen. Daar zitten heel ingewikkelde modellen achter, en soms voorspellen verschillende modellen iets anders uit dezelfde gegevens. Wat bedoelt het KNMI dan met zo’n percentage?

Ik ben dus even gaan rondneuzen op de site van het KNMI, waar inderdaad extra uitleg te vinden is. Het weer voorspellen kan nooit met absolute zekerheid, maar soms zijn er dagen waarop de weerkundigen vrijwel zeker weten dat het gaat regenen of juist niet, en op andere dagen is er meer twijfel. Het KNMI schrijft: “Om die mate van onzekerheid aan te geven wordt de kans op neerslag aangegeven in een percentage.” Omdat er altijd enige onzekerheid is, is dat percentage vrijwel nooit 0 of 100.

Wat ook snel duidelijk wordt: de neerslagpercentages gelden voor een willekeurige plaats in Nederland. Als de kans op neerslag 90% is, is het vrijwel zeker dat er op de plek waar ik ben wat naar beneden komt. Als die kans maar 10% is, blijft het vrijwel zeker overal droog. Bij een kans van 50% kan het op een willekeurige plaats net zo goed droog zijn als regenen of sneeuwen, daar zijn de voorspellingen niet duidelijk over. Over hoeveelheden en tijdsduur van de regen zegt het percentage dus niets. Tegenwoordig staat de neerslaghoeveelheid daarom óók vermeld in de verwachtingen.

Op het moment dat ik dit schrijf, voorspelt het KNMI voor de week dat deze krant verschijnt: “70% kans op aanhouden van het kwakkelweer, 30% kans op vrij zacht weer”. Ik hoop dat het het laatste is geworden, want die sneeuw ben ik inmiddels behoorlijk zat. En dat weet ik wèl zeker.

Over iets meer dan een maand mag ik mijn proefschrift verdedigen, waarover later meer. Lezers die snakken naar meer inhoudelijke stukken, kunnen straks hun hart ophalen met dat prachtige boekje en de delen die ik hier zal plaatsen!

Vandaag alvast één van mijn stellingen. Ik vond dat een proefschrift niet compleet was zonder een stelling over gevangenen met hoeden.

Drie gevangenen krijgen een kans om vrij te komen. Ze worden geblinddoekt naar een kamer gebracht waar ze elk een rode, blauwe of groene hoed op hun hoofd krijgen. De kleur van de hoeden wordt willekeurig gekozen: voor elk van de gevangenen is de kans op een rode hoed 1/3 (en idem voor een blauwe en groene hoed). De blinddoeken worden afgedaan en iedere gevangene ziet de kleuren van de hoeden van de twee anderen, maar niet die van zichzelf. Elk van hen moet op een vel papier schrijven welke kleur zijn eigen hoed heeft. De gevangenen mogen niet met elkaar communiceren en kunnen ook niet van tevoren een strategie afspreken. Als ze alledrie de juiste kleur opschrijven, dan komen ze vrij. Als minstens één van hen het fout heeft, dan worden ze alledrie geëxecuteerd.

Er is een strategie waarbij de gevangen een kans van 1 op 3 hebben om vrij te komen.

De vraag is natuurlijk wat die strategie is!