Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik laatst jarig was, trakteerde ik in de koffiepauze op koekjes. Naast mijn schaal stond nóg een traktatie: er was dus een collega op dezelfde dag jarig als ik. Wat is de kans dat dat gebeurt?

Eerst nog even een andere vraag: hoe groot moet een groep zijn om zeker te weten dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn? Pas in een groep van 366 mensen weten we dat echt zeker: er zijn 365 mogelijke verjaardagen (we vergeten schrikkeldagen voor het gemak even voor de rest van deze column) en meer mensen dan dat, dus er zijn minstens twee mensen die een verjaardag delen.

Maar ook in veel kleinere groepen zijn vaak twee mensen op dezelfde dag jarig. Al vanaf 23 mensen is de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben meer dan 50%. Om een gevoel te krijgen of die orde van grootte klopt: denk maar eens aan een klas waar u in gezeten heeft, waren daarin twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn basisschoolklas wel (en nee, dat was geen tweeling). Zijn er in uw familie twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn familie is dat zo: mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn tante.

Hoe kunnen we die kans uitrekenen? We beginnen eenvoudig met een groepje van twee mensen, Alice en Bob. De kans dat in dat groepje twee mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/365. Het maakt namelijk niet uit wanneer Alice jarig is, de kans dat Bob dezelfde verjaardag heeft is 1/365.

Voor drie personen (Alice, Bob en Claire) is een andere manier handiger. De kans dat alle drie de verjaardagen verschillend zijn is eenvoudiger uit te rekenen dan de kans dat twee of drie verjaardagen op dezelfde datum vallen. Voor Alice zijn alle 365 verjaardagen toegestaan. De kans dat Alice en Bob op verschillende dagen jarig zijn, is 364/365, want voor Bob mag alleen de verjaardag van Alice niet. De kans dat Claire’s verjaardag ook nog verschilt van die twee gegeven dagen is dan gelijk aan 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben is dus gelijk aan: , ruim 99%. De kans dat minstens twee van de drie dezelfde verjaardag hebben, is dus maar klein, minder dan 1%.

Die kans wordt snel groter wanneer de groep groter wordt. Bij 23 personen is de kans dat alle verjaardagen verschillen volgens bovenstaande redenering gelijk aan , dus dan is de kans dat minstens twee van hen dezelfde verjaardag hebben inderdaad iets meer dan 50%.

En wat is de kans dat een collega specifiek mijn verjaardag deelt? Ik heb ongeveer 140 collega’s. De kans dat ze allemaal niet op mijn verjaardag jarig zijn is: . De kans op nog een jarige is dus ongeveer 32%.

Wie graag onverdeelde aandacht krijgt, kan zijn verjaardag dus maar beter in relatief kleine kring vieren, anders is de kans aanwezig dat er gezongen wordt: “Er zijn er twee jarig, hoera, hoera!”

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Toen ik twee weken geleden over het drie-deuren-probleem schreef, was ik eigenlijk bang dat het verhaal te bekend was en dat de Volkskrant-lezers in koor zouden roepen: “Wisselen natuurlijk!” Voor wie even kwijt is wat het probleem is, een korte herhaling. Een kandidate mag kiezen uit drie deuren, achter één deur staat een auto, achter de twee andere staan geiten. Ze kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent één van de andere deuren en laat zien dat daar een geit staat. (Merk op dat hij altijd een geit kan tonen, welke deur er ook gekozen is.) Dan biedt hij de kandidate aan dat ze nog mag wisselen naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Zoals ik hier vorige keer schreef, is het verstandig om te wisselen. De kans dat de auto achter de deur van de eerste keus zit is ⅓ en de kans dat de auto achter de andere dichte deur zit is ⅔.

Veel lezers geloofden hier niets van, ik kreeg een recordaantal emails van lezers die dachten dat beide gesloten deuren een kans van ½ hadden. De krant plaatste een brief waarin zelfs werd beweerd dat de overgebleven deuren elk een kans van ⅔ hadden, wat weer een nieuwe regen van reacties opleverde. En op de twee brieven op de opiniepagina de dag daarna kwam weer een hele reeks mails binnen. Laat ik het daarom nog eens op een andere manier proberen uit te leggen.

Ook al lijken twee dingen hetzelfde, de kansen hoeven niet 50/50 zijn. Een collega van mij demonstreerde dit door me te laten raden wanneer hij jarig is. Ik gokte op 8 oktober en hij antwoordde dat hij op 8 oktober óf 18 augustus jarig is. Wilde ik dan bij mijn eerste gok blijven, of ging ik toch liever voor 18 augustus? In dit geval zal (hopelijk) niemand denken dat de beide data precies dezelfde kans hebben. Zoiets gebeurt ook bij het drie-deuren-probleem.

Eerst nog iets over de verborgen aannames. Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten. Iets subtieler is dat we aannemen dat als de presentator uit twee deuren met geiten kan kiezen, hij er willekeurig één kiest (en bijvoorbeeld niet altijd de dichtstbijzijnde). Onder deze voorwaarden geeft wisselen een twee keer zo grote winkans.

Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat, toch?

Als de kandidate één van de drie deuren kiest, dan heeft ze ⅓ kans op de auto en die kans blijft hetzelfde als ze niet wisselt. Bij wel-wisselen zijn er drie mogelijkheden:

1. Ze kiest geit A, presentator toont geit B, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest geit B, presentator toont geit A, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest de auto, presentator toont een geit, ze wisselt naar de andere geit.

Ze heeft dus een kans van 2 op 3 om te winnen als ze wisselt.

Wie het nu nog niet gelooft (en ik weet zeker dat er weer mensen tandenknarsend van ergernis achter de krant zitten), kan het eens domweg uitproberen. Verschillende lezers suggereerden om het spel thuis honderd keer na te spelen met een huisgenoot, ondoorzichtige bekers en muntjes. Bij wisselen zul je ongeveer 67 keer winnen, bij niet-wisselen 33 keer. Hoe vaker je speelt, hoe duidelijker de kansverdeling wordt. Voor wie geen huisgenoot (of geduld) heeft: probeer de online-simulatie van de New York Times. Zien is geloven. Eén lezer zag trouwens mogelijkheden om geld te verdienen door tegen overtuigde niet-wisselaars te spelen. Als ik een casino had zou ik dat idee zeker gebruiken.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

In deze maand van de filosofie gaat het zelden over wiskunde. Vroeger waren veel filosofen wiskundigen (en andersom), maar tegenwoordig lijkt er een strikte scheiding te zijn tussen de vakgebieden. Dat is jammer, want wiskunde kan nog steeds helpen om anders en beter tegen dingen aan te kijken.

Het drie-deuren-probleem is een berucht voorbeeld onder wiskundigen. In een spelshow mag een kandidate kiezen uit drie deuren. Achter één deur staat een prachtige auto, achter de twee andere deuren staan mottige geiten. De kandidate wil graag de auto winnen en wijst één van de deuren aan. De presentator, die precies weet waar de auto staat, opent één van de andere twee deuren en laat zien dat daar een geit staat. De presentator vraagt de kandidate hoe zeker zij is van haar keus. Wil ze misschien nog van deur wisselen? Ze mag nu nog de andere gesloten deur kiezen! Heeft het op dit moment zin om te wisselen?

Stel dat deze situatie niet hypothetisch is. Bijvoorbeeld in de Amerikaanse quiz Let's make a deal.

Bijna iedereen denkt hier hetzelfde: “Natuurlijk maakt het niet uit of ze wisselt. Er zijn nu nog twee deuren en elke deur heeft een kans van 1/2 op de auto.” Intuïtief lijkt volkomen duidelijk dat er geen verschil is tussen die twee deuren. De kandidate zal waarschijnlijk bij haar eerste deur blijven, omdat ze daar in eerste instantie een goed gevoel bij had.

En dat is jammer, want de menselijke intuïtie zit er in dit geval behoorlijk naast. Als de kandidate van deur wisselt heeft ze namelijk 2/3 kans om te winnen. Als ze bij haar eerste deur blijft, is de kans om te winnen maar 1/3. Ze verdubbelt dus haar winkans als ze wisselt.

Toen dit probleem voor het eerst in de krant stond, werd de redactie bedolven onder grote stapels brieven. Lezers, waaronder grappig genoeg diverse wiskundigen, beweerden op hoge toon dat er niets van het antwoord klopte. Maar het klopt echt. De kandidate heeft als ze níet wisselt een kans van 1/3 om te winnen. Ze wint dan alleen als ze gelijk aan het begin die ene deur aanwijst waar de auto achter staat. Als ze wel wisselt, dan wint ze juist als ze oorspronkelijk een deur met een geit had aangewezen. En die kans is 2/3.

Wie het niet gelooft moet het thuis maar eens een paar keer naspelen. Het helpt ook om aan een variant met duizend deuren te denken. Als de presentator na de keuze 998 deuren opent (met een hele kudde geiten erachter), is het een stuk duidelijker dat de kandidate maar beter kan wisselen.

Dit voorbeeld laat zien hoe menselijke intuïtie het mis kan hebben. Wel zo handig om te weten voor filosofen. Een hoogleraar vertelde ooit dat hij dit probleem al jaren bij zijn college statistiek behandelde. Wiskundigen, economen, artsen, juristen, ze hadden het allemaal in eerste instantie fout. Aan het eind van zijn college was altijd iedereen overtuigd van het juiste antwoord. Behalve de juristen, die bleven erover in discussie gaan. Wat dat over hen zegt, is dan weer meer iets voor filosofen dan wiskundigen.

Via de interessante lijst 100 Incredible Lectures from the World’s Top Scientists ontdekte ik een reeks colleges Kansrekenen voor levenswetenschappen. De colleges zijn gegeven door Herbert Enderton van de UCLA. Wat ik heb gezien, vond ik erg goed! Hieronder het eerste college, de rest van de reeks staat netjes bij elkaar op YouTube.

Geweldig dat topuniversiteiten dit soort collegereeksen online zetten (er is nog veel meer moois te vinden) en dat iedereen ter wereld dit gratis mag kijken. Wel grappig trouwens: het eerste college is ruim 26.000 keer bekeken, het tweede nog maar 4600 keer en het laatste college "slechts" 882 keer. Nuja, de laatste keer dat ik een collegezaal met ruim 800 studenten zag was...eh...nooit.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriend is superleuk en ik ben al jaren erg gelukkig met hem. Maar soms kom ik op een feestje een ontzettend knappe man tegen die lacht om al mijn grapjes. En dan twijfel ik even, loopt er niet een nóg leukere partner voor me rond? Hoe weet ik dat ik de juiste geliefde heb gekozen?

Voorbeeld van een ontzettend knappe man

Een partner zoeken is (met wat goede wil) te zien als een wiskundig probleem. Je moet daarbij een aantal aannames maken. Zo moeten de mogelijke partners te ordenen zijn van goed naar slecht, gelijke scores zijn niet toegestaan. Daarnaast neem je aan dat de mogelijke geliefden in willekeurige volgorde één voor één voorbij komen en dat je er maar één kunt kiezen. Nog een belangrijke (en in de praktijk niet geheel realistische) aanname is
dat je afgewezen kandidaten niet meer kunt terugnemen.

Wiskundigen noemen dit het secretaresse-probleem, waarschijnlijk omdat ze vaker secretaresses uitzoeken dan geliefden. Dit soort keuze-problemen komt voor in allerlei situaties. Denk aan het kopen van een huis: je bekijkt één voor één een aantal huizen en hoopt het beste huis te kiezen.

Met welke strategie heb je de grootste kans om de beste optie te nemen? Je kunt eigenlijk maar één ding doen: eerst een aantal kandidaten voorbij laten gaan om een beeld te krijgen van het aanbod. Daarna kies je de eerste die beter is dan alle vorigen. De grote vraag is: hoeveel kandidaten moet je proberen?

Stel bijvoorbeeld dat je uit honderd mogelijke geliefden mag kiezen. Als je er zomaar één kiest, dan heb je een kans van 1% om de beste te nemen. Als je eerst twintig kandidaten bekijkt en dan de eerste neemt die beter is dan alle vorigen, dan groeit je kans om de beste te kiezen naar 32%. Te lang wachten is niet goed, dan mis je de beste waarschijnlijk. Na tachtig kandidaten is de kans om de juiste te kiezen nog maar 18%. Een algemene vuistregel is dat je ongeveer 37% van de kandidaten moet bekijken. In dit geval heb je dan 37% kans om de beste geliefde te vinden.

Psycholoog Peter Todd paste de algemene strategie wat aan door het ideaal van één beste liefde overboord te gooien. Hij nam aan dat je gelukkig bent met een partner die bij de beste 10% zit, maar dat je wel minstens 75% kans wilt hebben om zo’n goede partner te vinden. Todd rekende uit dat je om dat te bereiken twaalf partners moet proberen. Daarna kun je de eerste die beter is dan alle vorigen met een gerust hart houden.

Hoe je die geliefden precies moet tellen, vertelt het model trouwens niet. Preutse types tellen hun afspraakjes, wildebrassen alles wat langer duurde dan een one-night-stand. Zelf tel ik iedereen waarmee ik verliefd hand in hand heb gelopen. Mijn vriend is nummer veertien en veel leuker dan mijn vorige geliefden. Kortom: ik houd hem! Nu maar hopen dat hij mij ook wil houden.

En ze leefden nog lang en gelukkig...

Het driedeurenprobleem is een klassieker. Voor wie het niet kent, leggen we het nog één keer uit.

Wilberd van der Kallen mailde ons over een nieuwe variant van deze puzzel. Hij kwam deze versie tegen in de Mathematical Intelligencer, in een ingezonden brief van A.S. Landsberg.

Landsberg stelt een spel met drie deuren voor waarbij een echtpaar mag proberen een auto te winnen. Er zijn drie deuren, met daarachter een auto, een autosleutel, of een geit - één per deur natuurlijk. De man moet de auto vinden, de vrouw de autosleutel. Alleen als ze beiden slagen krijgen ze de auto mee.

Eerst mag de man proberen de auto te vinden. Hij krijgt twee kansen. Hij opent een deur en als daar de auto niet staat mag hij nog een deur proberen. Kans van twee op drie volgens Bartjens. Intussen is zijn vrouw elders. De deuren worden weer dicht gedaan, de man wordt afgevoerd en nu mag de vrouw proberen om de sleutel te vinden. Ook zij mag twee deuren openen. Weer kans van twee op drie volgens Bartjens.

Niemand wil de geit - zelfs niet als hij extreem schattig is.

Het echtpaar mag van tevoren overleggen, maar er is geen contact tussen ze zodra het spel begonnen is. Nu komt het ongelofelijke: Ze kunnen een strategie afspreken die een kans van twee op drie op de auto levert!

Wie van jullie ziet hoe het echtpaar moet spelen?