Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

10-07-2010

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Op deze blog heb ik trouwens al vaker over kettingbreuken geschreven

“Waarom schrijf je nooit eens een column over je eigen onderzoek?”, vroeg mijn promotor de week voor de verdediging van mijn proefschrift. De afgelopen jaren stond een groot deel van mijn leven in het teken van kettingbreuken, het onderwerp van mijn promotie-onderzoek. Dat onderzoek viel me soms zwaar, het was traag en eenzaam werk. En als ik dan eindelijk een nieuw resultaat bewezen had, dan kon ik aan bijna niemand uitleggen wat ik had bereikt. Daarom schreef ik hier liever over andere, meer toegankelijke onderwerpen.

Inmiddels heb ik mijn proefschrift met succes verdedigd en de komende jaren zal ik waarschijnlijk geen zwaar theoretisch wiskundig onderzoek meer doen. En nu besef ik ineens wat ik ga missen: samen met enthousiaste collega’s voor een schoolbord een nieuw idee uitwerken, op de fiets naar huis ineens begrijpen hoe het bewijs moet lopen en het gevoel van ultieme triomf als alle details keurig op hun plaats schuiven. Daarom deze week een stukje over die kettingbreuken waar ik jaren aan werkte. Omdat ik ze stiekem nu al een beetje mis.


Ceci n'est pas un kettingbreuk

Ceci n'est pas une kettingbreuk


Allereerst: een kettingbreuk heeft niets te maken met gestrande wielrenners of vastgelopen machines. Het is in feite een ketting van breuken: een breuk in een breuk in een breuk (enzovoorts), zie het plaatje hieronder voor de kettingbreuk van pi. Elk getal kun je schrijven als een kettingbreuk. Voor breuken krijg je een eindige kettingbreuk. Voor getallen die zelf geen breuk zijn, zoals pi, is de bijbehorende kettingbreuk oneindig lang.


pi kettingbreuk

Als je zo’n oneindige kettingbreuk afkapt door het onderste stuk vanaf een zeker punt weg te laten, krijg je een gewone breuk. Op die manier kun je oneindige reeks benaderingsbreuken voor je oorspronkelijke getal vinden. Neem bijvoorbeeld de kettingbreuk van pi. Als je alles onder de 7 vergeet, dan krijg je 3 + 1/7, oftewel 22/7, een benadering van pi die vroeger vaak op school werd gebruikt. De volgende benadering krijg je door alles na 15 te vergeten: dit geeft 333/106. En door nog één term verder te gaan, vind je 355/113. Die laatste breuk is ongeveer 3,14159292 en benadert pi tot op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan 16604 dichter bij π ligt. De Chinese wiskundige Chong Zhi berekende deze goede benadering voor pi trouwens al rond 480 na Christus, maar hij deed dat zonder kettingbreuken.

Goede benaderingen zijn breuken met een kleine noemer die heel dicht bij het oorspronkelijke getal liggen. En zulke benaderingen worden precies gevonden met kettingbreuken. Kettingbreuken hebben allerlei toepassingen, maar dat is niet de reden dat ik ze jarenlang bestudeerd heb. Ik werkte aan een generalisatie van de kettingbreuken en probeerde daarmee heel algemene eigenschappen te bewijzen. Ik wilde bijvoorbeeld weten hoeveel benaderingen je achter elkaar moet nemen om zeker te weten dat er een heel goede tussen zit. Als zo’n algemeen bewijs na lang zwoegen lukte, dan vielen een heleboel puzzelstukjes op hun plaats en was ik even het gelukkigste wiskundemeisje op aarde.


Hora - bijna - est

In Nieuws, door Ionica
10-06-2010

Over een week ben ik hopelijk gepromoveerd! De voorbereidingen zijn bijna klaar (al moet ik nog een jurk kopen). Deze week ben ik door een klein groepje vrienden en collega's aan de tand gevoeld tijdens een oefenverdediging. Ik vond het heel fijn en kan zo'n sessie aan alle promovendi aanbevelen. Het is heel prettig om te merken dat je best goed weet wat er in dat proefschrift staat - en dat je ook bij lastige vragen nog wel een verhaaltje kunt vertellen.

Zoals eerder beloofd hieronder wat meer over de inhoud van mijn proefschrift On continued fraction algorithms. Op mijn site vind je het hele proefschrift en meer informatie over de verdediging op 16 juni. En hier staat een heel leuk interview uit de nieuwsbrief van de Universiteit Leiden: Wiskundemeisjes worden groot.

De samenvatting van mijn proefschrift moet voor leken (met wat goede wil) te begrijpen zijn. Hieronder het begin, je kunt het geheel downloaden: samenvatting (pdf).

Hoeveel decimalen van \(\) ken je?
Han, o lief, o zoete hartedief...

Bovenstaande dichtregel is niet alleen een liefdesverklaring, het is ook een ezelsbruggetje om de eerste decimalen van \(\) (de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter) te onthouden. Tel maar eens het aantal letters van de woorden. Er zijn veel meer van dit soort ezelsbruggetjes in allerlei talen:

How I wish I could recollect pi easily today ...

Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo ...

Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt ...

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures ...

Eigenlijk heeft \(\) oneindig veel decimalen achter de komma. Wat betekent het als je alleen de eerste vijf decimalen van \(\) gebruikt? Je benadert \(\) dan met \(\).

Misschien herinner je je een andere benadering van \(\) die vaak gebruikt wordt op school: \(\). Deze breuk met een heel kleine noemer (7) benadert de eerste twee decimalen van \(\). Archimedes gebruikte deze benadering al rond 200 voor Christus, maar het kan nog veel beter. Bijvoorbeeld met de breuk \(\). Die is ongeveer gelijk aan \(\) en benadert \(\) op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan \(\) dichter bij \(\) ligt. Hulde dus voor de Chinese wiskundige Zu Chongzhi die in 480 (zo'n vier jaar na de val van het Romeinse rijk) met veel moeite deze benadering vond.

Archimedes en Chongzhi vonden hun benaderingen voor \(\) door veelhoeken in cirkels te tekenen. Maar je kunt voor elk willekeurig getal goede benaderingen maken met kettingbreuken.

Wat is een kettingbreuk?
Een kettingbreuk is een breuk in een breuk in een breuk, enzovoorts. Zo ziet de kettingbreuk voor \(\) er bijvoorbeeld uit:

\[\]

In de breuk heb je steeds een 1, een deelstreep, een positief geheel getal en dan weer een nieuwe breuk die begint met een 1. Dit soort kettingbreuken noemen we reguliere kettingbreuken. We noteren het getal voor de breuk met \(\), voor \(\) geldt dus \(\). De positieve gehele getallen in de breuk noteren we als \(\). In het voorbeeld hierboven geldt \(\) en \(\).

Een getal dat geen breuk is, kun je op precies één manier schrijven als een oneindig lange kettingbreuk. Zulke getallen noemen we irrationaal. Kijk eens voor een mooi bewijs dat \(\) geen breuk is op Wikipedia...