Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren - ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.

Edward stuurde ons dit correcte, maar waarschijnlijk niet zo succesvolle liefdesliedje van Tim Minchin.

If I didn't have you, someone else would do
Your love is one in a million
(One in a million)
You couldnt buy it at any price
(Can't buy love)

But of the 9 point 9 hundred thousand other loves,
Statistically some of them would be equally nice.

Ik weet al wat ik op mijn volgende Valentijnskaart ga zetten:

But I'm just saying
I don't think you're special
I mean... I think your special
But
You fall within a bell curve

Voor iedereen die gisteren een eenzame Valentijnsdag had: volgende week geef ik Leiden een lezing over Liefde en wiskunde. Ik geef antwoord op prangende vragen als

• Met wat voor cadeau maak je indruk bij een vrouw?
• Hoe weet je of jouw partner de juiste is?
• Wat is de beste strategie bij het benaderen van een groep vrouwen in de kroeg?
• Kun je met een formule voorspellen of je relatie standhoudt?
• Waarom hebben je vrienden meer vrienden dan jij?

De lezing is ook geschikt voor iedereen die heel gelukkig is in de liefde! De toegang is gratis, dus komt allen!

Tijd: Maandagavond 22 februari 2010 van 20.30 tot 22.00 uur
Plaats: Zaal 003, Lipsiusgebouw (1175), Cleveringaplaats 1, Leiden

Deze mooie liefde-en-wiskunde-taart kregen Han en ik dit weekend van Sidney en Petra, dankjewel!

De lezing is een onderdeel van de reeks Liefdeswetenschap van Studium Generale Leiden.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriend is superleuk en ik ben al jaren erg gelukkig met hem. Maar soms kom ik op een feestje een ontzettend knappe man tegen die lacht om al mijn grapjes. En dan twijfel ik even, loopt er niet een nóg leukere partner voor me rond? Hoe weet ik dat ik de juiste geliefde heb gekozen?

Voorbeeld van een ontzettend knappe man

Een partner zoeken is (met wat goede wil) te zien als een wiskundig probleem. Je moet daarbij een aantal aannames maken. Zo moeten de mogelijke partners te ordenen zijn van goed naar slecht, gelijke scores zijn niet toegestaan. Daarnaast neem je aan dat de mogelijke geliefden in willekeurige volgorde één voor één voorbij komen en dat je er maar één kunt kiezen. Nog een belangrijke (en in de praktijk niet geheel realistische) aanname is
dat je afgewezen kandidaten niet meer kunt terugnemen.

Wiskundigen noemen dit het secretaresse-probleem, waarschijnlijk omdat ze vaker secretaresses uitzoeken dan geliefden. Dit soort keuze-problemen komt voor in allerlei situaties. Denk aan het kopen van een huis: je bekijkt één voor één een aantal huizen en hoopt het beste huis te kiezen.

Met welke strategie heb je de grootste kans om de beste optie te nemen? Je kunt eigenlijk maar één ding doen: eerst een aantal kandidaten voorbij laten gaan om een beeld te krijgen van het aanbod. Daarna kies je de eerste die beter is dan alle vorigen. De grote vraag is: hoeveel kandidaten moet je proberen?

Stel bijvoorbeeld dat je uit honderd mogelijke geliefden mag kiezen. Als je er zomaar één kiest, dan heb je een kans van 1% om de beste te nemen. Als je eerst twintig kandidaten bekijkt en dan de eerste neemt die beter is dan alle vorigen, dan groeit je kans om de beste te kiezen naar 32%. Te lang wachten is niet goed, dan mis je de beste waarschijnlijk. Na tachtig kandidaten is de kans om de juiste te kiezen nog maar 18%. Een algemene vuistregel is dat je ongeveer 37% van de kandidaten moet bekijken. In dit geval heb je dan 37% kans om de beste geliefde te vinden.

Psycholoog Peter Todd paste de algemene strategie wat aan door het ideaal van één beste liefde overboord te gooien. Hij nam aan dat je gelukkig bent met een partner die bij de beste 10% zit, maar dat je wel minstens 75% kans wilt hebben om zo’n goede partner te vinden. Todd rekende uit dat je om dat te bereiken twaalf partners moet proberen. Daarna kun je de eerste die beter is dan alle vorigen met een gerust hart houden.

Hoe je die geliefden precies moet tellen, vertelt het model trouwens niet. Preutse types tellen hun afspraakjes, wildebrassen alles wat langer duurde dan een one-night-stand. Zelf tel ik iedereen waarmee ik verliefd hand in hand heb gelopen. Mijn vriend is nummer veertien en veel leuker dan mijn vorige geliefden. Kortom: ik houd hem! Nu maar hopen dat hij mij ook wil houden.

En ze leefden nog lang en gelukkig...

Van XKCD, natuurlijk. Rogier was de eerste die hem naar mij mailde. Lezers die dit Sierpinski-hart na willen tekenen op een echte Valentijnskaart, hebben nog een paar uur de tijd!

Toen mijn vriend en ik elkaar net kenden, ging ik zonder hem op vakantie. Bij terugkomst stond hij op Schiphol met een bos bloemen. ``Stom van hem”, zei een vriendin van me: “Nu moet hij je voortaan altijd komen ophalen, omdat je anders gaat mopperen dat hij in het begin van jullie relatie nog wel romantisch was.” Ik dacht hier aan toen ik een onderzoek tegenkwam over het geven van geschenken in het begin van een relatie.

Het gebruikte model komt uit de biologie, vandaar de wat dierlijke termen. Een mannetje geeft een vrouwtje een geschenk. Zij bepaalt na het bekijken van het geschenk of ze met het mannetje wil paren. De onderzoekers nemen aan dat een man met elk vrouwtje wil paren, maar dat hij alleen bij een vrouw blijft als hij haar echt leuk vindt. Een vrouw wil alleen paren met een man die ze aantrekkelijk vindt en waarvan ze daarnaast denkt dat de kans groot is dat hij bij haar blijft. Zij gebruikt het geschenk van de man om in te schatten of hij haar echt leuk vindt. De hamvraag is: wat voor geschenk moet je als man kopen?

Een logische strategie lijkt om vrouwen die je leuk vindt een mooi en kostbaar geschenk te geven. Onaantrekkelijke vrouwen krijgen een goedkoop geschenk, want je weet maar nooit. Of zoals een vriend van me altijd zegt: ``Je kunt het altijd proberen met een fles goedkope witte wijn.” Er is één probleem met deze strategie: aantrekkelijke vrouwen die jou niet zien zitten, nemen wel jouw geschenk aan, maar laten je daarna staan. Dat wil je natuurlijk voorkomen.

Wiskundige Peter Sozou kwam op het idee om dit probleem aan een rigoreuze wiskundige analyse te onderwerpen toen hij in de krant las dat een man al maanden de huur betaalde voor de vrouw op wie hij verliefd was. Achter zijn rug had zij al die tijd een ander. Ze hield de aanbidder alleen aan het lijntje voor zijn waardevolle geschenken.

Sozou bepaalde met speltheorie de beste strategie voor de man. Na nog wat extra aannames en een hele reeks berekeningen kwam hij met een schitterende oplossing: geef aantrekkelijke vrouwen kostbare, maar waardeloze geschenken. Dat zijn geschenken die de man veel tijd, geld of moeite kosten, maar de vrouw geen direct voordeel opleveren. Denk aan diners in sterrenrestaurants voor fotomodellen of –in de dierenwereld- aan nutteloze bolletjes katoen voor vrouwtjesvliegen. Vrouwen die de man niet zien zitten, zullen zo’n geschenk beleefd weigeren. Maar vrouwtjes die het mannetje zelf leuk vinden, zien aan het geschenk dat het mannetje hen echt ziet zitten. Bij vliegen is het principe getest en mannetjes die met een bolletje katoen kwamen, hadden inderdaad net zoveel succes bij de vrouwtjes als mannen die een lekker hapje meebrachten.

Natuurlijk valt er wat af te dingen op het model en de gemaakte aannames, maar ik geloof dat er in de oplossing een kern van waarheid zit. Als je het zo bekijkt, dan was het dus heel slim van mijn vriend om speciaal naar Schiphol te komen met een mooie bos bloemen. Zo zien meisjes hun kostbare, maar waardeloze geschenken namelijk graag.