Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Beste Alice Amos,

Je bent pas drie. Toch schrijf ik je deze brief. Dat zou ik bij een gemiddelde 3-jarige niet in mijn hoofd halen, natuurlijk, maar jij bent dan ook heel bijzonder. Het is jammer dat deze krant in het Nederlands verschijnt, want dat beheers je geloof ik nog niet, maar er is vast iemand in de buurt die je wil helpen. Twee talen spreek je al vloeiend, Russisch en Engels, dat beetje Nederlands pik je vast ook snel op.

Want: je leert snel en je kunt al veel. Je bent vorige week dan ook toegelaten tot de Britse tak van Mensa, de vereniging voor hoogbegaafden. Je IQ is maar liefst 162. Heel erg hoog! Maar wat zegt zo’n getal?

Het gemiddelde IQ is 100, per definitie, en IQ is normaal verdeeld. Je weet misschien al wel wat dat betekent: de verdeling van IQ’s over mensen van dezelfde leeftijdsklasse heeft de vorm van een klok. Die klokvorm kom je ook tegen als je in een grote groep even oude meisjes gaat tellen hoe vaak elke lengte voorkomt en daar een grafiek van maakt, bijvoorbeeld.

De IQ-kromme is het hoogst bij 100, en de extremen worden steeds onwaarschijnlijker. Twee procent van de bevolking zit boven de Mensa-grens van 130, en jij behoort tot de twee op de honderdduizend mensen die een IQ hebben van 162 of meer.

Zo’n hoog IQ is trouwens lastig te meten, veel tests gaan zo ver niet. Het precieze getal zou ik dus met een korrel zout nemen als ik jou was. Het is sowieso wat omstreden wat een IQ precies betekent. Intelligentie is breder dan een IQ-test kan meten. Die 162 is vooral een pragmatische indicatie van hoe jouw cognitieve vaardigheden zich verhouden tot die van leeftijdsgenoten. (Ja, moeilijke woorden, daar houd je vast wel van!)

Het is fijn dat je nu bij Mensa kinderen tegenkomt die jou begrijpen, die om je grapjes lachen, die af en toe van je zullen winnen met een spelletje. Want als je zo uitzonderlijk slim bent, kun je je heel eenzaam voelen. Maar wat me helemaal niet fijn lijkt: je naam en IQ staan nu overal verspreid op internet. Je hele leven zal je IQ op 3-jarige leeftijd opduiken als iemand je googlet! Je wordt slimmer dan Einstein genoemd! Wat een druk op zo’n klein meisje! Waarom hebben je ouders daar in hemelsnaam mee ingestemd?

Ik gun je mensen om je heen die je actief aanmoedigen om dingen te proberen die je niet vanzelf al kunt. Die je leren dat het juist extra leuk is om iets te leren als het moeite heeft gekost, dat je dan echt trots op jezelf kunt zijn. Dat het helemaal niet erg is om fouten te maken. Dat je niet wordt uitgelachen als je een keer niet het beste cijfer haalt. Dat je passies vindt die het waard zijn om je best voor te doen. Want als dat allemaal lukt, dan word je misschien wel echt een nieuwe Einstein! En: blij met wie je bent, hoe bijzonder dat ook is.

Alle goeds,
Jeanine

Vraag een groep mannen om op lengte gesorteerd in een aantal rijen te gaan staan en je krijgt zo'n soort plaatje.

Volgens statpics is dit het oudste bekende levende histogram. De foto komt uit een artikel van C.B. Davenport uit 1901. De mannen op de foto zijn studenten, die in die tijd vanzelfsprekend een hoed droegen naar college.

De centrale limietstelling zegt dat je bij voldoende mannen een verdeling te zien krijgt die sterk lijkt op de normale verdeling (op de foto hierboven is dat niet het geval). Als je mannen en vrouwen echter mengt, dan gaat deze wet niet meer op, zoals onderstaand plaatje met mannen (in het zwart) en vrouwen (in het wit) mooi illustreert.

Ik ontdekte deze mooie foto's dankzij Terence Tao's (zeer aan te bevelen) artikel over universaliteit. Kennen jullie meer voorbeelden van mensen die grafieken uitbeelden?

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Bill Bryson beschrijft in één van zijn briljante reisverhalen hoe een typisch bezoek aan een Franse bakker verloopt. Je vraagt in je beste Frans om een klein brood. De vrouw achter de toonbank staart je koeltjes aan en legt dan een dode bever voor je neer. Als je probeert uit te leggen dat je een brood wilde en geen dode bever, kijkt de vrouw je vol ongeloof aan. Jij, die vervelende toerist, had toch duidelijk een dode bever besteld en nu wil je ineens een stuk brood.

Bryson overdrijft hier natuurlijk, maar iedereen die wel eens nietsvermoedend een bakker in Parijs is binnengestapt herkent een kern van waarheid in dit verhaal. Wiskundigen hebben een eigen (waarschijnlijk sterk aangedikte) anekdote over Franse bakkers.

Ceci n'est pas un castor mort

De Franse wiskundige Henri Poincaré werkte aan het eind van de 19de eeuw aan de Sorbonne in Parijs. Het verhaal gaat dat hij vermoedde dat de bakker in zijn straat de boel belazerde. De bakker verkocht broden van één kilo, maar Poincaré had het idee dat de broden meestal lichter waren. Een jaar lang kocht Poincaré elke dag een brood, legde dat thuis op een weegschaal en noteerde het gewicht. Aan het eind van het jaar tekende hij in een grafiek hoe vaak elk gewicht voorkwam. Het resultaat was een symmetrische grafiek met het hoogste punt bij 950 gram. De meeste broden die hij bakte waren ongeveer 950 gram, sommige wat lichter, andere iets zwaarder. In wiskundige termen: wat Poincaré zag leek sterk op de grafiek van een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram. In lekentermen: de bakker belazerde de boel, verreweg de meeste broden waren lichter dan een kilo.

Een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram

Poincaré ging met zijn bewijsmateriaal naar de politie en de bakker kreeg een waarschuwing. Het volgende jaar kocht Poincaré weer trouw elke dag een brood. Elk brood dat Poincaré in dat tweede jaar kocht was zwaarder dan een kilo.Toch ging hij terug naar de politie om te klagen dat de bakker nog steeds de boel belazerde. Hoe wist hij dat?

Als de bakker eerlijk was gaan bakken, dan zouden de meeste broden ongeveer één kilo wegen, sommige iets meer, andere iets minder. De grafiek van verdeling van de gewichten zou dan symmetrisch zijn met een piek bij één kilo. Maar de grafiek die Poincaré kreeg in dat tweede jaar was helemaal niet symmetrisch, hij begon met een hoge piek bij één kilo en liep daarna schuin af tot zo’n 1100 gram. Het was precies het stuk uit de oude grafiek dat rechts van één kilo lag.

Zo kon Poincaré concluderen dat de bakker nog steeds broden van gemiddeld 950 gram bakte, ook al had de sluwe bakker ervoor gezorgd dat Poincaré zelf altijd een brood van minstens een kilo meekreeg. De andere klanten hadden al die tijd pech en kregen meestal te weinig brood voor hun geld.

Daarom is het handig om iets van wiskunde te weten: je voorkomt dat je belazerd wordt. Aan de andere kant is het misschien beter om je mond te houden. Een brood van 950 gram is nog altijd beter dan een dode bever.

Voor alle wiskundigen die ziek in bed liggen of zich niet zo blij voelen: een knuffel.

Deze lieve normale-verdelings-knuffel kun je kopen bij Etsy. Of misschien kunnen handige lezers er zelf een maken...

Op de blog Nausicaa Distribution vind je meer van deze wiskundige knutselwerken.