Wiskundemeisjes

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

In onze vorige column kon u lezen dat er in Hilberts hotel, een hotel met oneindig veel kamers die genummerd zijn als 1, 2, 3, …, altijd plaats lijkt te zijn. Zelfs als elke kamer bezet is, kan een verdwaalde laatkomer toch een plekje krijgen: iedereen schuift een kamer op. En ook grotere groepen, soms zelfs oneindig groot, pasten er toch steeds weer in.

Dit gaf het gevoel dat alle oneindigheden in Hilberts hotel pasten. Maar wat betekent passen of “even groot” precies? Wiskundigen noemen groepen dingen “even groot” als je ze één op één aan elkaar kunt koppelen. Bijvoorbeeld: er zijn evenveel positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) als positieve even getallen (2, 4, 6, …), want je kunt elk getal koppelen aan het dubbele: 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, enzovoorts.

Dit type oneindig heet “aftelbaar”. Er is een duidelijke nummer 1 aan te wijzen, een nummer 2, enzovoorts. Je bent nooit klaar met aftellen, want de verzameling is oneindig, maar je kunt ze op een rijtje zetten, net als 2, 4, 6, … en de kamers in Hilberts hotel. Ook de verzameling van breuken, al lijkt die veel groter, is aftelbaar. Maar niet alle getallen zijn breuken: en zijn beroemde voorbeelden.

De verzameling van alle getallen tussen 0 en 1 is niet aftelbaar. Het bewijs is bijzonder elegant, maar vereist wel enig hersenwerk.

Getallen tussen 0 en 1 hebben een (oneindig lange) decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: of of .

Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waar ze allemaal op staan. Wat blijkt? Hoe die lijst er ook uitziet, je kunt altijd een nieuw getal tussen 0 en 1 construeren dat niet op de lijst staat. Dat doe je als volgt. We beginnen met 0 en de komma. Nu gaan we de eerste decimaal van het nieuwe getal als volgt bepalen: als de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, en als het wel een 2 was kiezen we een 1.

Nu verschilt de eerste decimaal van ons nieuwe getal van de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst. We kiezen op dezelfde manier een tweede decimaal: als de tweede decimaal van het tweede getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, anders een 1. Enzovoorts.

Een voorbeeld van een hypothetische lijst met de constructie van een stukje van het nieuwe getal.

Dit nieuwe getal staat nergens op de lijst. Ga maar na: het is niet gelijk aan het eerste getal op de lijst, want de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet gelijk aan het 37e getal, want de 37e decimaal verschilt. Kortom: het nieuwe getal ontbreekt op de lijst, wat de lijst ook was! Maar het zou er wel op moeten staan, want het is een getal tussen 0 en 1. Dat betekent dat de getallen tussen 0 en 1 niet op een lijst te zetten zijn, en er dus geen koppeling bestaat met de aftelbare verzameling 1, 2, 3, … . Echt een ander soort oneindig, dus!

“Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden.” Dat is zo’n beetje het motto van John Greens prachtige Een weeffout in onze sterren. In het boek concludeert de 16-jarige Hazel uit deze bewering dat er meer (reële) getallen tussen 0 en 2 liggen dan tussen 0 en 1. Maar die twee oneindigheden zijn juist precies even groot! Green liet dit zijn hoofdpersoon bewust verkeerd doen. Hij vond het een mooi idee dat pubers uit gecompliceerde wiskunde onjuiste conclusies trekken en dan toch iets aan hun eigen redenering hebben.

Oneindig is ook één van de moeilijkste begrippen in de wiskunde. De metafoor van Hilberts Hotel (genoemd naar wiskundige David Hilbert) laat zien hoe raar oneindig zich gedraagt. Hilberts Hotel heeft een oneindig aantal kamers. Die kamers zijn zoals gebruikelijk in een hotel genummerd: 1, 2, 3, enzovoorts. Het hotel is vol, alle kamers zijn bezet. De logische conclusie lijkt dat er geen enkele gast meer bij past.

Dan meldt zich een wanhopige reiziger bij de balie, is er echt geen kamer meer vrij? De receptionist denkt even na en knikt dan enthousiast. Via de intercom vraagt hij alle gasten om één kamer op te schuiven: de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoorts. Daarna is kamer 1 vrij voor de reiziger en heeft nog steeds elke gast een kamer. Deze oplossing werkt voor elk eindig aantal gasten dat zich meldt aan de balie. Dat is behoorlijk tegenintuïtief: het hotel is vol, maar tegelijkertijd is er altijd plaats voor een willekeurig aantal nieuwe gasten.

En het wordt nog gekker! Een bus van InfinityTravels brengt een (zeer lange) bus met oneindig veel reizigers naar het hotel. Nu zal de receptionist toch zeker moeten zeggen dat er geen plaats is? Maar nee, ook hierop verzint hij een list: hij stuurt alle gasten naar de kamer met het dubbele van hun kamernummer. De gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 4, die in kamer 3 naar kamer 6, enzovoorts. Dan komen alle kamers met een oneven nummer vrij en kunnen er in een vol hotel dus toch nog oneindig veel gasten bij. (Nu maar hopen dat er ook oneindig veel kamermeisjes zijn.)

Dan komt InfinityTravels na een speciale aanbieding met oneindig veel bussen met daarin elk oneindig veel passagiers. De receptionist kan op dezelfde manier als net oneindig veel kamers leegmaken, maar als hij dan begint met bus 1 in te laden, dan komen de passagiers in de volgende bussen nooit aan de beurt. Maar ook nu verzint de receptionist iets slims: hij begint met passagier 1 van bus 1, daarna mag passagier 1 van bus 2 komen, dan passagier 2 van bus 1 en zo zigzagt hij door alle passagiers in alle bussen en krijgt iedereen een kamer.

Schema voor het uitladen van de buspassagiers

Het lijkt alsof er altijd plaats is in Hilberts Hotel en toch is er een ander soort oneindig die er níet inpast. Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Maar dat is iets voor een volgende column.

Sidney mailde me deze supermooie boekenkast.

(klik op het plaatje voor een vergroting)

De Nederlandse kunstenaar Job Koelewijn ontwierp deze kast als symbool voor de oneindigheid van kennis en de oneindige kracht van boeken. Koelewijn won in 2006 de Dr. A.H. Heineken Prize for Art. Hier zie je meer mooie voorbeelden van zijn werk.

"There ain't no such thing as a free lunch", luidt het bekende gezegde. Maar dat is niet waar! Op het symposium Blik op oneindig georganiseerd door De Leidsche Flesch krijg je echt een gratis lunch.

Nog mooier dan die gratis lunch is het programma op woensdag 18 november, met voordrachten van wiskundigen K.P. Hart en Tom Verhoeff, natuurkundige Leo Kouwenhoven, sterrenkundige Vincent Icke en alleskunner Robbert Dijkgraaf. De dag begint met de Vlaamse wiskundige Jean Paul van Bendegem, naar wiens boek Over wat ik nog wil schrijven ik al tijden erg benieuwd ben.

Na het zien van de kaft, heb ik tevergeefs een recensie-exemplaar aangevraagd en daarna vergeet ik het steeds te bestellen. Misschien neemt Van Bendegem wat boeken naar Leiden mee om te verkopen de 18de? Ik ben er in elk geval bij die dag. Als je ook wilt komen, schrijf je dan snel in op de symposiumsite.

Komende maandag, 15 juni, organiseren USCKI Incognito (de Utrechtse Studievereniging voor Cognitieve Kunstmatige Intelligentie) en het Studium Generale van de Universiteit Utrecht het symposium Infinity: The Final Countdown.

Van de website:

Oneindigheid, in praktijk lijkt het nauwelijks voor te komen. We staan nooit oneindig lang in de file en op onze spaarrekening staat helaas nooit oneindig veel geld. Gek toch, dat daarentegen in bijna elk academisch vakgebied oneindigheid wel opduikt. Oneindigheid lijkt wat dat betreft wel één van de meest interdisciplinaire onderwerpen die er bestaan. Sommige vakgebieden worstelen al eeuwenlang met de implicaties die dit onderwerp met zich meebrengt, andere omarmen deze juist. Zo probeert de filosofie al vanaf de tijd van Aristoteles oneindigheid een plek te geven binnen haar denkwijze, terwijl zowel de wiskunde als de natuurkunde juist door dit gegeven kunnen putten uit een rijke bron van theorieën. Je zou dus kunnen zeggen dat oneindigheid voor sommigen een beperking is, maar voor anderen een wereld van mogelijkheden.

Jan Willem Klop en Hans Zantema gaan in op oneindigheid in de informatica, in het bijzonder op oneindige rijen ("stromen"). Pieter Sjoerd Hasper spreekt over oneindigheid in de filosofie. En wiskundige Bart de Smit vertelt over oneindigheid in de litho "Prentententoonstelling" van M.C. Escher.

Kijk hier voor het programma, de samenvattingen en een inschrijfformuliertje.