Wiskundemeisjes

Vorig jaar kreeg ik van Job van de Groep een mooi ingepakt exemplaar van zijn boekje Gegoochel met getallen. Hij zei lachend dat een recensie hiervan niet mocht ontbreken op de wiskundemeisjes en hij had gelijk!

Job van de Groep was lange tijd wiskundeleraar en hij is nog langer een amateurgoochelaar. Hij verenigt zijn beide passies in trucs met getallen. In Gegoochel met getallen staat een verzameling van zulke trucs. Van de Groep legt niet alleen uit hoe de trucs werken, maar ook hoe je ze moet uitvoeren (nóóit direct na afloop zomaar de truc verklappen) en hoe je ze als wiskundeleraar in de klas kunt gebruiken.

Er zit veel variatie in de trucs, bij sommige ligt de nadruk op het goochelen (verwissel snel het papier), bij andere meer op het rekenen. Ik vroeg aan de auteur of ik een truc mocht noemen en zoja, of hij een voorkeur had. Als antwoord kreeg ik een hele lijst: `die is iets voor een feestje' of `dit is een zusje van een bekende truc waarover ook iets wiskundigs valt op te merken'. Ik koos uiteindelijk een truc die Van de Groep aanraadt omdat hij zo leuk aansluit op de driehoek van Pascal.

De topkaart van de piramide
Een toeschouwer pakt willekeurig 5 kaarten uit een spel met speelkaarten en legt die op een rij open op tafel. Deze kaarten vormen de basis van een piramide die gebouwd gaat worden.De goochelaar pakt meteen daarop uit het spel ook een (bepaalde) kaart en legt die blind op de plek waar de top ongeveer zal gaan komen. De toeschouwer legt vervolgens een 2^de rij van 4 kaarten, half verschoven, boven de eerste 5 en wel zó dat de waarde op de kaart gelijk is aan de digitale wortel van de som van de getallen op de twee kaarten schuin links en rechts onder die kaart (Aas =1, enz).

De digitale wortel van een getal is de som van de cijfers van dat getal en eventueel daarvan weer de som, als het om meer dan twee cijfers gaat. Voorbeeld: stel dat kaart 1 schoppenheer is (= 13) en de tweede kaart harten 10, dan moet een kaart uit het spel worden gezocht met waarde 5. Immers 13+10 =23, 2+3 = 5 (of: 1 + 3 + 1 + 0 = 5). Op dezelfde manier worden de andere drie kaarten van de 2^de rij uit het spel opgezocht en neergelegd. [...] Ook de 3 kaarten van de 3^de rij en de 2 kaarten van de 4^de rij worden zo opgezocht en neergelegd. Dan draait de goochelaar de blinde topkaart om. Die blijkt de piramide kloppend te maken...

Wie wil weten hoe deze truc werkt, of wie dat al snapt maar graag meer van dit soort trucs wil leren, kan het boekje voor 9 euro (inclusief verzendkosten) bestellen bij Job van de Groep (jobini@planet.nl). Hij is zelf de uitgever van de tweede druk.

Zoals jullie misschien wel weten was Lewis Carroll, de schepper van de wondere wereld waar Alice in terechtkwam na haar val in het konijnenhol, behalve schrijver ook een beroemd amateur-fotograaf, deken in de Anglicaanse kerk en bovenal wiskundige. Dat laatste is ook te zien aan een aantal passages in zijn kinderboeken. Vorig jaar schreef ik een stukje over wiskunde en literatuur voor Pythagoras, en daarin kwam ook Carroll aan de orde.

Lewis Carroll was een pseudonym, zijn echte naam was Charles Lutwidge Dodgson. Hij leefde van 1832 tot 1898. Wiskundige Robin Wilson heeft nu een boek geschreven over Dodgson als wiskundige.

Het boek begint met een aantal stukjes uit Carrolls fictie-boeken waarin wiskunde voorkomt. Daarna leest het als een biografie, met nadruk op de wiskundige ontwikkeling van Dodgson. Het is leuk om te zien welke vakken Dodgson deed en wat er in het negentiende-eeuwse Oxford gevraagd werd op tentamens. Ook legt Wilson een aantal wiskundige bijdragen van Dodgson uit, bijvoorbeeld zijn werk aan determinanten en zijn pogingen om een eerlijk verkiezingssysteem op te stellen. We lezen natuurlijk ook van alles over zijn familie, studiegenoten en docenten, en we lezen dagboekpassages waaruit blijkt dat voor Dodgson wiskunde soms ook gewoon moeilijk was.

De laatste paar hoofdstukken beschrijven de wiskundige raadsels waar Dodgson erg dol op was. Deze hoofdstukken zijn in feite een soort bloemlezing van de boeken met wiskundige puzzels en spelletjes die Dodgson onder zijn pseudonym schreef voor een breed publiek, en van de puzzels die hij opgaf aan de kinderen met wie hij bevriend was. Wilson voegt hier nauwelijks iets toe, behalve af en toe wat uitleg, en persoonlijk had ik na een tijdje wel genoeg van Carrolls puzzels en raadsels: het is wat veel van hetzelfde. Daarna stopt het boek nogal abrupt, waar ik liever nog een nawoord of conclusie van Wilson gezien had, want nu ontbreekt de grote lijn een beetje.

Wat voor wiskundige was Dodgson eigenlijk? De indruk die bij mij bleef hangen na het lezen van het boek is dat Dodgson iemand was met een creatieve geest die eindeloos gefascineerd werd door wiskundige rariteiten en puzzels, maar geen echt grote dingen aan de wiskunde heeft bijgedragen. En dat is ook niet zo raar: waarschijnlijk is Dodgson niet voor niets veel bekender als schrijver en fotograaf.

Het boek leest lekker weg (behalve als er teveel puzzels na elkaar komen), Wilson citeert volop grapjes en absurditeiten uit de brieven en boeken van Dodgson en er staan veel leuke plaatjes en afdrukken van oude documenten in. De biografische delen vind ik goed, die heb ik met plezier gelezen. Er is weinig wiskundige voorkennis nodig, het boek is geschikt voor een breed publiek. Maar als je al redelijk bekend bent met Carrolls werk staat in sommige hoofdstukken wel erg veel bekends, en daar voegt Wilson naar mijn smaak te weinig zelf aan toe.

In The Guardian verschenen een recensie en een leuk interview met Wilson naar aanleiding van zijn boek. Ook in de Telegraph verscheen een recensie.

Voor wie Derren Brown niet kent, eerst een filmpje waarin hij iets doet met getallen. Er zijn nog veel leukere filmpjes van hem te vinden op YouTube, maar het moet hier natuurlijk wel een beetje wiskundig blijven...

Ik las laatst Tricks of the mind, waarin Brown iets (maar niet te veel) vertelt over hoe hij werkt. Brown schrijft vlot en geestig, maar komt wel een beetje zelfingenomen over. Hoogtepunt was voor mij het hoofdstuk over het geheugen met daarin een aantal trucs om je geheugen te verbeteren. Ik ga flink oefenen, want het zou fijn zijn om eindelijk gezichten en namen te kunnen onthouden.

In het laatste hoofdstuk gaat Brown flink los tegen pseudowetenschap en hij begint met een aantal veelgemaakt denkfouten. Daar ging mijn wiskundig hart sneller van kloppen, want het waren vooral dingen die met kansrekening te maken hadden. Zoals onderstaande klassieker (die Brown veel smeuïger opschrijft).

Eén op de tienduizend mensen heeft een bepaalde ziekte. Er bestaat een test voor deze ziekte en die test is 99% betrouwbaar. Dit betekent dat de test bij 99% van de personen die aan deze ziekte lijden een positieve uitslag geeft. De test geeft bij 99% van de personen die niet lijden aan deze ziekte een negatieve uitslag. Je laat je testen met de betreffende test. De test geeft een positieve uitslag. Hoe groot is de kans dat je echt ziek bent?

Zeg maar in de reacties wat jij denkt, je mag ook een schatting geven. Het schijnt dat veel artsen deze vraag niet correct kunnen beantwoorden...

Eindelijk las ik A beautiful mind van Sylvia Nasar. Jaren geleden zag ik de film, maar het boek is (zoals gebruikelijk) veel beter.

Nasar heeft een boel feiten boven tafel gekregen en vertelt zeer aanstekelijk het levensverhaal van wiskundige John Nash. Voor wie het niet weet: Nash doet in zijn jonge jaren briljant werk en krijgt nét niet de Fields medaille. Rond zijn dertigste raakt hij echter in de ban van waanideeën en dwaalt hij steeds meer af van de echte wereld. Nash wordt behandeld voor schizofrenie, maar tientallen jaren is hij bezig met obsessieve complottheorieën en loopt hij als een soort zombie door de wiskundige wereld. Wonderlijk genoeg is hij in de loop der jaren langzaam hersteld en op latere leeftijd is hij niet wereldvreemder dan de gemiddelde wiskundige. In 1994 wordt zijn werk in de speltheorie alsnog bekroond met de Nobelprijs voor Economie.

Tegen mijn verwachtingen in vond ik A beautiful mind een echte page-turner. Nasar schrijft vlot en aanstekelijk. Het leven van Nash leest als een roman, daarnaast vond ik het ontzettend interessant om allerlei nieuwe dingen over (voor mij) bekende wiskundigen te ontdekken. Neem dit stukje over Kenneth Arrow  en het onstaan van de door hem bewezen verkiezingsparadox (pdf):

The assignment was to demonstrate that it was okay to apply game theory, which is formulated in terms of individuals, to aggregrations of many individuals, namely nations. Arrow was aked to write a memorandum showing how it could be done. As it turned out, the memorandum became Arrow's dissertation [...] ``That was it! It took about five days to write in September 1948," he recalled. ``When every attempt failed I thought of the impossibility theorem."

Is er dan niets aan te merken op het boek? Jawel, de wiskunde zelf komt er wat karig vanaf, de weinige wiskundige ideeën die voorkomen worden niet of belabberd uitgelegd. Om echt iets leren over speltheorie of ander werk van Nash kun je beter een ander boek lezen. Ook wordt er soms iets te veel achtergrondinformatie gegeven over bijfiguren. Mijn co-promotor vond dat sommige details in het boek te persoonlijk en enigszins genant waren. Maar ik, roddelzuchtig als altijd, vond dat juist zo goed. Ik hoop dat Nasar nog een wiskundige biografie zal schrijven. Van Perelman, Grothendieck of Conway bijvoorbeeld.

ps Deze recensie schreef ik enkele weken geleden, voor ik Nasar en Nash ontmoette. Inmiddels weet ik dat Nasar waarschijnlijk niet nog een biografie gaat schrijven, omdat de meeste wiskundigen `hooguit 10.000 woorden waard zijn'.

Soms is het jammer dat onze boekenrubriek Leestip heet, want niet elk boek dat we hier bespreken is een aanrader. Bij Survival guide for scientists van Ad Lagendijk ergerde ik me al aan het voorwoord. Daar zegt Lagendijk:

Lessons given by non-active researchers are hardly ever useful, but invariably a waste of time.

Het duurde even voor ik begreep dat hij het hier specifiek over communicatiecursussen heeft. Ik kreeg in elk geval het gevoel dat Lagendijk weinig waardering heeft voor mensen buiten (natuurwetenschappelijk) onderzoek. Luttele bladzijden later werd deze eerste indruk bevestigd:

If your intention is to make life easy on yourself you should quit physics (or for that matter any other natural science; law school might be more appropriate).

``Wat is dit voor boek?", hoor ik jullie vragen (met uitzondering van onze lezers die net zo denken als Lagendijk en inmiddels naar de winkel zijn gerend om dit boek onmiddellijk aan te schaffen). Ad Lagendijk is een vooraanstaande natuurkundige die zijn ervaring over communicatie van wetenschap wil doorgeven aan de nieuwe generatie. Zijn boek bestaat uit drie delen: Writing, Presentation en Email. Elk hoofdstuk bestaat uit kleinere subhoofdstukken, bestaande uit kleinere subsubhoofdstukken, bestaande uit zeer korte paragrafen. Alles is keurig genummerd, sectie 4.A.3 Subheadings gebiedt: ``Use as many subheadings as possible". Lagendijk houdt zichzelf keurig aan dit gebod. Er is trouwens ook nog een subsectie 4.A.3.A. Hidden subheadings. Frits van Oostrom schijnt bij de presentatie van Survival guide for scientists iets gezegd te hebben als: “Vergeleken bij de geboden van Lagendijk, zijn de Stenen Tafelen uit de Bijbel een onderhandelingsstuk.” Ik ben benieuwd of promovendi onderling al verwijzen naar Lagendijk 3.D.2.C.2, zoals er ook verwezen wordt naar Exodus 20:1-17.

Voor ik iets positiefs zeg (ik ben immers geneigd om van alles de dingen te zoeken die me juist wel bevallen) over dit boek, nog een tip waar ik alleen maar om kan lachen:

2.C.1. Colleagues

If you receive an unclear, cluttered email from somebody who, you expect, will send you more email messages in the future, point out to him that you did not like his email. You could refer him to this Email Guide, possibly with explicit references to the numbers of items he violated.

Op sombere dagen vrolijk ik mezelf op door me voor te stellen hoe onze wetenschappelijk directeur zou reageren op zo'n email.

Toch staat er een aantal handige tips in dit boek, die je zelden ergens anders leest. Bijvoorbeeld hoe je slim omgaat met correcties door verschillende co-auteurs (nooit naar iedereen de eerste versie sturen) of hoe je een referee rapport schrijft.

Kortom: ik zou het boek niet kopen, maar als je het ergens ziet liggen (bijvoorbeeld omdat een natuurkundige waarmee je samenwoont het heeft aangeschaft), dan is het interessant genoeg om eens door te bladeren. Er is voor de liefhebbers ook een bijbehorende Survival Blog for Scientists.

Er is een mooie anekdote over een som die [Paul] Dirac op de lagere school moest maken, een voorafschaduwing van zijn briljante vondst twintig jaar later. (U mag gerust meerekenen.)

Er waren drie vissers - misschien waren het wel gecijferde Pirahã. Ze hadden een berg vissen gevangen. Hoeveel? Genoeg! 's Nachts werd een van de vissers bang wakker en wilde er met zijn rechtmatige deel van de buit tussenuit gaan. Hij sloop naar de stapel, maar zag dat de buit niet eerlijk niet door drie te delen was. Dat lukte wel als hij één vis in de Amazone teruggooide. Vervolgens werd de tweede visser wakker. Ook hij moest eerst een vis weggooien voordat hij met een derde deel kon wegsluipen. Ten slotte herhaalde ook de derde visser deze handelingen. Vraag: wat is het kleinste aantal vissen waarvoor dit verhaal klopt? De jonge Dirac antwoordde zonder haperen: 'Min twee.'

Dit soort anekdotes alleen al vormen een prima reden om Blikwisselingen van Robbert Dijkgraaf te kopen. Bovendien kan Dijkgraaf als geen ander moeilijke ideeën uit de natuurkunde en wiskunde begrijpelijk uitleggen. In deze verzameling columns schrijft hij over allerlei uiteenlopende onderwerpen, van Bourbaki tot Dada en van Cito-toets tot CERN.

Niet alle columns zijn even sterk en als je ze allemaal achter leest dan wordt het soms wat voorspelbaar. Maar dat is muggenziften, want er staat zoveel interessants in deze bundel. Ik heb twaalf bladzijden gemarkeerd omdat er iets staat dat ik wil onthouden of verder uitzoeken. En Dijkgraaf kan natuurlijk nog steeds ontzettend goed en vlot schrijven, met leuke kleine grapjes en slim gevonden metaforen. Rennen dus naar de boekhandel!

Steven wees me op een interessant computerspel: Echochrome, dat in de winkel ligt voor de Playstation Portable. Het spel is tamelijk wiskundig van aard en neemt een loopje met perspectief. Uit de recensie op tweakers.net:

In Echochrome staat het ontdekken van het juiste perspectief centraal. Het puzzelspel ziet er bedrieglijk eenvoudig uit, maar kan verduiveld lastig zijn. Het uitgangspunt is heel simpel. Op het scherm is niets meer te zien dan een zwevende constructie van witte balken tegen een spierwitte achtergrond. De speler kan de hele constructie alle kanten op draaien, en daarmee is zo'n beetje de actie in het spel samengevat. Over de zwevende balken loopt de hoofdrolspeler uit het spel, de zogenaamde mannequin.

De regels doen denken aan het werk van Escher, waar mannetjes op allerlei onmogelijk verbonden trappen lopen:

In het volgende filmpje kun je een beetje zien wat er gebeurt:

Ik heb het spel niet gespeeld, want ik ben niet zo'n liefhebber van computerspellen en heb dus zeker geen playstation, maar het ziet er leuk uit! Lees verder op tweakers.net als je wil weten wat het doel van het spel is en wat Paul Hulsebosch van het spel vindt.

Een tijdje geleden kondigden we de film 21 al aan; nu heb ik hem dan ook gezien.

21 is losjes gebaseerd op een waargebeurd verhaal, wat in ietwat gefictionaliseerde vorm al was verschenen in het boek Bringing Down the House: The Inside Story of Six MIT Students Who Took Vegas for Millions van Ben Mezrich.

De briljante student Ben Campbell (Jim Sturgess) maakt tijdens een college indruk op wiskundeprofessor Micky Rosa (Kevin Spacey), onder andere door direct de goede beslissing te nemen als hem het drie-deurenprobleem wordt voorgelegd. Rosa is vooral onder de indruk van de manier waarop Ben zijn emoties buiten beeld houdt en op grond van alleen wiskunde de juiste beslissing neemt.

Rosa blijkt een geheim clubje van vijf studenten te leiden, die hij traint in het kaarten tellen bij black jack. Elk weekend reizen ze af naar Las Vegas en daar verdienen ze bakken met geld, door gebruik te maken van codetaal en gebaren. Ben wordt uitgenodigd om mee te komen doen. Aanvankelijk ziet hij dat niet zo ziet zitten, maar dan besluit hij dat het misschien wel een goede manier is om het geld voor zijn studie bij elkaar te krijgen.

De groep wint veel geld, ze logeren in de mooiste suites en kopen dure kleren. Bens beste vrienden (twee nerdige types met wie hij een zelfrijdend autootje aan het bouwen is voor een wetenschapswedstrijd) waarderen zijn geheimzinnige gedrag en zijn gebrek aan inzet niet zo. Natuurlijk loopt de spanning op, ook tussen de vijf studenten onderling. En waarom speelt professor Rosa zelf eigenlijk nooit mee?

Er zit niet zo heel veel wiskunde in de film, maar aan het begin zien we naast het drie-deurenprobleem een college over de methode van Newton. Ik vond dat sommige stukjes van de film aan het begin wat te lang duurden, maar daarna kwam de vaart erin. Leuk om te kijken!