Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Lieve Rekentoets,

Wat houd ik van je vragende blik, je uitdaging, je aspiraties! Van je niveau, je sprankelende beloftes! Ik verheug me al op onze verdere kennismaking! Die laat echter wat langer op zich wachten dan gehoopt…

Ik heb je in mijn eigen schooltijd nooit gezien. Ik was dus enigszins gespannen toen ik je onlangs voor het eerst ontmoette. Want wat zou je precies inhouden? Was je niet te hoog gegrepen? Was je in het echt wel zo mooi als ik me had voorgesteld?

Je bent in het leven geroepen omdat we tot de top vijf van de wereld willen gaan behoren. Want, zo weten we allemaal, het beste middel om zeker te weten dat er iets geleerd wordt, is een prachtige toets als jij! Was het maar zo makkelijk. O lieve rekentoets, je zou het allemaal komen oplossen, als de langverwachte prins op het witte paard! Door jouw komst zouden alle leerlingen als bij toverslag boven zichzelf uitstijgen!

Mijn leerlingen kunnen heus wel rekenen, ze zijn niet voor niets op havo of vwo beland, meestal dankzij je bekendere broertje cito-eindtoets. Maar jij eist meer! Dat betekent dat niet alleen, zoals wel eens gedacht wordt, het rekenniveau van eind groep 8 behouden moet blijven, nee, daar moet echt wat bij. Terecht!

Nu ben je echter, bleek een maand of wat geleden, twee jaar uitgesteld. Dat is gelukkig niet helemaal waar, mijn leerlingen gaan je komende maand gewoon maken, onze date staat al in mijn agenda! “Uitgesteld” betekent: je komt volgend jaar wel op de eindlijst terecht, maar dan zonder consequenties. Je telt nog even niet mee voor slagen of zakken.

Want: je was te moeilijk. Of eigenlijk: je was niet te moeilijk, de wereld is gewoon nog niet klaar voor jou! Je bent je tijd vooruit. Veel leerlingen bereiken jouw niveau niet vanzelf (72% van de havisten en 32% van de vwo’ers scoren onvoldoende). Nou, verrassend! Als rekenen altijd al voldoende in het wiskundecurriculum had gezeten om het beoogde niveau te bereiken, dan was jij helemaal niet nodig geweest. Maar: “Rekenen betreft een relatief nieuw te toetsen inhoud in het voortgezet onderwijs”, schrijft het ministerie.

Je bent dus onmisbaar! Aan de andere kant komen er nauwelijks extra lessen: die rekenvaardigheid moet langs gaan komen in de wiskundeles en bij voorkeur bij andere vakken ook. Weinig extra investeringen dus, wel mooiere resultaten. En dat allemaal dankzij jou!

Het ministerie gedraagt zich in dezen een beetje als een slechte docent. Ga maar na: het deelt een taak uit, stelt een deadline, maar biedt niet voldoende ondersteuning (te weinig tijd, geld, niet optimaal werkende computerprogramma’s). Met als logisch gevolg dat er massaal onvoldoendes vallen, scholen zijn er nog niet klaar voor. En wat doet een slechte docent in zo’n geval, omdat hij zich schuldig voelt en de klagende ouders al ziet aankomen: de toets maar niet meetellen. Dan zeurt er voorlopig niemand meer over de wat gehaaste voorbereiding.

Maar, lieve rekentoets, dat is dus niet jouw schuld. En ik blijf intussen smachtend uitkijken naar de vele lange avonden die we samen zullen door gaan brengen!

Je liefhebbende Jeanine

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Wiskunde tegenkomen in oude, verdwenen culturen is fascinerend. De wiskunde van de Babyloniërs in het oude Mesopotamië, bijvoorbeeld, is heel interessant. Mesopotamië lag ongeveer in het huidige Irak, en onder “Babyloniërs” verstaan we een hele serie volkeren in dat gebied, zo tussen 3000 en 500 voor Christus.

Het fijne aan de Babyloniërs is dat ze schreven op duurzaam materiaal: kleitabletten. Die kunnen we lezen, als we de taal en het spijkerschrift snappen, tenminste. Maar Babylonische getallen zijn zelfs voor een leek makkelijk te ontcijferen.

Op het plaatje staat een transcriptie van een kleitablet. In de middelste kolom staat een rij symbolen: één spijkertje op de eerste regel, twee spijkertjes op de tweede, enzovoorts. In die kolom staan inderdaad de getallen 1, 2, 3, 4, 5, …. Na de negen verschijnt een nieuw symbool, een soort winkelhaakje, dat blijkbaar voor de tien staat.

Wat staat er in de derde kolom? Naast de 1 staat 5, en naast de 2 staat 10. Naast de 3 staan een 10 en een 5, dat zal dan wel 15 betekenen. Deze regelmaat vervolgt zich, en het is duidelijk wat hier staat: de tafel van vijf. Dat clustertje tekens vooraan elke regel betekent “keer”.

Bij vijf keer twaalf gebeurt er iets geks: de uitkomst is 1 spijker, wat, zagen we al, één betekent. Maar vijf keer twaalf is zestig! Blijkbaar betekent een spijker behalve één ook zestig. Wat onhandig, denk u misschien. Aan de andere kant: wij gebruiken een 1 ook op verschillende manieren, in het getal 123 betekent de 1 dat er één honderdtal is.

Net als wij kenden de Babyloniërs een zogenaamd positiestelsel. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt hoeveel het cijfer waard is. De Babyloniërs gebruikten als grondtal zestig, waar wij tien gebruiken. Als zij met hun spijkerschrift 2; 15; 51 opschreven, bedoelden ze 2 keer 3600 (want 60 × 60 = 3600), 15 keer zestig en 51 keer één.

Of misschien wel 2 zestigen, 15 enen en 51 zestigsten! Want er is een belangrijk verschil: ze hadden geen komma en heel lang ook geen symbool voor een lege plaats. Wij zien door nullen, die eigenlijk lege plekken aangeven, makkelijk het verschil tussen 100 en 1. En dat we met 0,1 een tiende bedoelen, zien we aan de komma. De Babyloniërs niet. Meestal was dat niet zo’n probleem, want uit de context bleek vaak wel wat er bedoeld werd.

Een voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk in kan rekenen door getallen onder elkaar te zetten. De Babyloniërs konden overigens veel meer dan rekenen alleen, zo kenden ze de stelling van Pythagoras en losten ze bepaalde kwadratische vergelijkingen op.

Een Babylonisch kleitablet met een goede benadering van erop.

Het getalstelsel van de Babyloniërs is helaas in onbruik geraakt en er doken veel onhandigere getalstelsels op, zoals de Romeinse cijfers. Probeer die maar eens onder elkaar te vermenigvuldigen… Pas in de dertiende eeuw kwam een Indiaas positiestelsel via de Arabische wereld onze kant op, en werd het rekenen hier makkelijk. Wat we wèl overgehouden hebben aan de Babyloniërs, is onze zestigtallige tijdrekening.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Kent u de uitdrukking “Volgens Bartjens…”? Volgens Van Dale betekent ze: “volgens de eenvoudigste beginselen der rekenkunde; zo nauwkeurig mogelijk berekend”, vaak gebruikt in de zin van: als je logisch doorredeneert. De spreekwoordelijke Bartjens was schoolmeester Willem Bartjens (1569 – 1638), die aan het begin van de zeventiende eeuw furore maakte met zijn rekenboek De Cijfferinghe van Mr. Willem Bartjens. Tot in de negentiende eeuw verschenen nieuwe edities van dit boek, generaties kinderen leerden dus rekenen met sommen van zijn hand.

Ook nu staat het rekenen hoog op de agenda’s van de politiek en van de middelbare scholen, want het niveau van de zogenaamde basisvaardigheden (taal en rekenen) moet opgevijzeld worden. Daarom wordt vanaf 2014 een rekentoets afgenomen als verplicht onderdeel van het eindexamen.

De rekentoets is daarmee wel een vreemde eend in de bijt. In alle andere examenvakken wordt namelijk les gegeven op de middelbare school. Rekenlessen zijn er meestal (nog) niet. Toch moeten de scholen hiermee aan de slag. Ze mogen zelf weten hoe ze dat doen. Veel scholen beginnen met jaarlijkse rekentoetsen, en geven daarvoor wat rekenlessen of besteden er in de wiskundelessen extra aandacht aan.

Eigenlijk zou ook in andere vakken extra aandacht besteed moeten worden aan rekenen, juist omdat het een basisvaardigheid is. Rekenen komt natuurlijk overal voor, denk aan scores of tijdverschillen in de gymles, berekeningen met procenten bij economie of bevolkingsdichtheden bij aardrijkskunde.

Datzelfde geldt natuurlijk voor taal. Ik vind het alleen maar vanzelfsprekend dat je als wiskundedocent in proefwerken alle taalfouten aanstreept en in de les let op formuleringen en woordbetekenis. Leerlingen leren behoorlijk wat nieuwe woorden bij wiskunde, en het is belangrijk om verbanden te leggen met woorden die ze al kennen. (Al zouden er mooiere wiskundige termen bedacht moeten kunnen worden dan, om maar een gedrocht te noemen, “relatieve cumulatieve frequentiepolygoon”.)

Tussen wiskunde en taal bestaan wel meer verbanden. In onze taal komen, naast “Volgens Bartjens…”, best wat uitdrukkingen voor waarin getallen een rol spelen. Acht is meer dan duizend, bijvoorbeeld: een mooie ouderwetse uitdrukking die letterlijk natuurlijk helemaal niet klopt. Het is een woordspeling, acht slaat hier niet op het getal, maar op oplettendheid. Oftewel: het is belangrijk om je zaken goed te behartigen, belangrijker dan veel geld.

In zo’n uitdrukking waar “duizend” in voorkomt, betekent duizend meestal gewoon: heel erg veel, meer dan je je kunt voorstellen. Denk aan: ik heb het je al duizend keer gezegd, duizend angsten uitstaan. En als je wil aangeven dat het zelfs nog meer is, zeg je duizend-en-een. Maar ook honderd of een miljoen worden op deze manier gebruikt, honderd in de oudere uitdrukkingen, en een miljoen in de nieuwere. Een soort woordinflatie.

Er zijn meer uitdrukkingen met tellen of getallen. Daarvan gaan er dertien in een dozijn. Hij is een nul. Na veel vijven en zessen. Uitgeteld zijn. Op je tellen passen. Iemand op z’n nummer zetten.

Kortom: de scholen gaan dit jaar flink aan de slag met basisvaardigheden, en niet op zijn elf-en-dertigst, want anders kun je op je vingers natellen dat de boel straks in het honderd loopt.

Zoals iedereen in onderwijsland inmiddels wel weet: vanaf 2014 staat het onderdeel rekenen op het eindexamenprogramma, voor iedereen. En als scholier kun je het dus maar beter blijven oefenen.

Op school hoorde ik laatst iemand vertellen over de website www.rekenbeter.nl. Als je je aanmeldt, krijg je elke werkdag een mailtje met een link naar vier opgaven. Drie daarvan zijn rekensommen, eentje is een doordenker voor de volgende dag. Je krijgt direct feedback op de eerste drie opgaven en wat uitleg. Het antwoord van de doordenker staat de volgende dag op de website. Als je je liever niet aanmeldt, kun je de opgaven ook gewoon op de site doen.

Voor docenten is de site interessant, want vooral de doordenkers kunnen geschikt zijn voor gebruik in de klas.

Blijf "rekenfit", zoals de site het formuleert! Ook in de zomervakantie...

Een fraai staaltje rekenwerk van de mannen van Draadstaal!

De oude Egyptenaren deden praktische wiskunde. Veel van wat we van hun rekenkunst weten, weten we uit de papyrus Rhind, genoemd naar meneer Rhind die de papyrus kocht in Luxor en zorgde dat die in het British Museum terechtkwam.

De papyrus laat zien hoe de Egyptenaren rekenden. Ze konden rekenen met bepaalde breuken, al schreven ze die heel anders op dan wij. Ze gebruikten de stambreuken (dat zijn de breuken die wij aanduiden met waarbij een geheel getal is, zoals en ) en de breuk die wij schrijven als . De papyrus bevat vooral oplossingen voor praktische problemen, en was misschien bedoeld voor het onderwijs aan de zogenaamde schrijvers, die waarschijnlijk een hele laag van de bureaucratie vormden.

Op BBC radio 4 was deze week in de serie A History of the World in 100 Objects een item over de Rhind papyrus te horen. De directeur van het British Museum vertelt over deze papyrus, die stamt uit ongeveer 1550 v. Chr. Hier kun je de uitzending beluisteren en beter naar een stuk van de papyrus kijken!

Hanak Tadé Maia is op weg naar Bagdad en ontmoet onderweg een bijzondere man, een man met een bijzonder rekentalent: de Perzische Beremiz, de man die kan rekenen. Die eigenschap zorgt voor een boel interessante ontmoetingen en leuke problemen, zoals het volgende.

We waren al een paar uur zonder stoppen onderweg, toen zich een gebeurtenis voordeed die het vertellen waard is, en waarbij mijn metgezel Beremiz zijn talenten kon inzetten als gewaardeerd toepasser van algebra.
Vlak bij een oude, half in onbruikt geraakte herberg zagen we drie mannen met een kudde kamelen in verhit debat met elkaar. Hun boze uitroepen waren al van ver te horen:
`Dat kan helemaal niet!'
`Pure roverij!'
`Ik peins er niet over!'
De schrandere Beremiz vroeg hun waarover ze ruziemaakten.
`We zijn broers,' legde de oudste uit, `en hebben deze 35 kamelen geërfd. Mijn vader sprak de nadrukkelijke wens uit dat de helft daarvan voor mij was, een derde voor mijn broer Hamed, en een negende voor Harim, de jongste. Niettemin weten we niet hoe we die verdeling moeten maken, en elk voorstel dat wordt gedaan, wordt door de anderen weerlegd.'

Natuurlijk lost de man die kan rekenen het probleem op een elegantie manier op, zodat iedereen tevreden is, en hij er zelf ook nog op vooruit gaat!

Onlangs verscheen het boek "De man die kon rekenen" in het Nederlands. Het boek werd in 1949 geschreven door Malba Tahan, een pseudoniem van de Braziliaanse schrijver en wiskundige Júlio César de Mello e Souza (1895 - 1974).

Het boek bestaat uit korte hoofdstukjes in Arabische en Perzische sferen, waarin steeds een ander probleem aan de orde komt. Het leest makkelijk weg en en passant leer je van alles over rekenen en wiskunde. Ook geschikt voor middelbare scholieren, en leuk als inspiratiebron voor korte rekenpuzzeltjes voor in de klas, bijvoorbeeld.

En... we hebben een leuke weggeefactie!

Vandaag is het rapport Rekenonderwijs op de basisschool verschenen. Jeanine en ik hebben het nog niet goed kunnen lezen, maar we denken dat een groot deel van jullie geïnteresseerd is in dit nieuws. Daarom hieronder het verse persbericht van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW). Je kunt ook gelijk het rapport zelf (pdf) downloaden.

Of kinderen nu realistisch leren rekenen of op een traditionele manier maakt geen verschil voor het rekenniveau. Er is geen aantoonbare relatie tussen de gebruikte didactiek en de rekenvaardigheid van kinderen op de basisschool. Dat concludeert de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW) in het rapport Rekenonderwijs op de basisschool dat vandaag aan staatssecretaris Sharon Dijksma is aangeboden.

Aanleiding voor het rapport was de scherpe discussie van de laatste jaren over het rekenonderwijs, waarin aanhangers van de realistische en traditionele rekendidactiek lijnrecht tegenover elkaar staan. De KNAW heeft gekeken wat voor wetenschappelijk bewijs er was ten gunste van de effectiviteit van de ene of de andere didactiek, en dat blijkt te ontbreken. Binnen een bepaalde rekendidactiek zijn de verschillen in de rekenvaardigheid van leerlingen groter dan tussen de rekendidactieken zelf. Ook is duidelijk dat de interactie tussen leerling en leraar een grotere rol speelt dan de didactische uitgangspunten: de leraar is belangrijker dan de gebruikte didactiek.

Toch is er reden tot zorg, want het niveau van het rekenen daalt gestaag. De sleutel tot verbetering ligt volgens de KNAW bij de lerarenopleiding, waar het rekenonderwijs ernstig onder druk staat: gemiddeld krijgen de leraren in spe minder dan één uur rekenles per week. Het ministerie van OCW zou het rekenonderwijs op de pabo's én de (nu niet verplichte) nascholing van leraren op het terrein van rekenonderwijs grondig tegen het licht moeten houden.

De KNAW heeft voor het rapport het onderzoek naar rekendidactiek van de afgelopen twintig jaar in kaart gebracht. Zij constateert dat het onderzoek beperkt is en bovendien niet breed genoeg, en pleit voor méér en gevarieerder (internationaal) vergelijkend onderzoek.

Het rapport is geschreven door een breed samengestelde commissie onder voorzitterschap van prof. dr. Jan Karel Lenstra, directeur Centrum Wiskunde&Informatica. Toen in het najaar van 2008 zowel de KNAW als de staatssecretaris van OCW een studie naar effectieve rekenmethoden wilden doen, besloten zij hun krachten te bundelen. Dit rapport is daarvan het resultaat.

Rekenonderwijs op de basisschool - analyse en sleutels tot verbetering is gratis te bestellen of als pdf te downloaden via de site van de KNAW.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 24 oktober.

Afgelopen maandag ontmoetten realistische rekenaars en systematische staartdelers elkaar in het Kenniscafé voor een discussie over rekenonderwijs. De afgelopen maanden streden de twee kampen een loopgravenoorlog met elkaar via de media en de verwachting was dat deze avond een zeer felle confrontatie zou geven. De ME was nog net niet ingehuurd. Gelukkig zijn de meeste leraren, wiskundigen en onderwijsdeskundigen geen opgepompte sportschooltypes.

Voordat het strijdgewoel losbarstte mocht ik het publiek vermaken met wat vrolijke sommen. Na één van de opgaven riep een dame uit de zaal: “Dat vind ik een stomme som.” Zelf vond ik juist het een heel leuke som, al moet ik toegeven dat het geen pure rekensom was. Dit was de opgave.

Er zit een touw strak om de aarde, zoals een ring om een vinger. Het is een heel lang touw van meer dan 40.000 kilometer. Nu knip je het touw door en doe je er één meter extra touw tussen. Dan til je het touw overal een beetje op, zodat het op elke plek even ver van het aardoppervlak is. Hoeveel ruimte is er nu tussen het touw en de aarde? Ongeveer zoveel als een elektron? Een bacterie? Een krant? Een kat? Een olifant?

Het grappige was dat de klagende dame deze opgave zelf goed had, maar toch vond ze hem stom. Het juiste antwoord is dat het touw ongeveer zestien centimeter omhoog komt, dus dat een kat kan er net onderdoor kan. Hoeveel het touw omhoogkomt hangt helemaal niet af van de grootte van de aarde. Als je een touw strak om een willekeurige bol bindt en daarna een meter extra ertussen doet, dan komt het touw altijd een centimeter of zestien omhoog: die ene meter gedeeld door twee keer pi. Het werkt ook bij een pingpongbal, een skippybal of de maan (al is het, net als bij de aarde, in de praktijk wat lastig om daar een touw om te binden).

Om deze som op te lossen hoef je weinig te rekenen (één meter delen door twee pi), je moet de formule voor de omtrek van een bol kennen en vooral goed nadenken. Tijdens de discussie over het rekenonderwijs vertelden leraren dat het vaker een probleem is dat er in rekenopgaven meer getoetst wordt dan alleen rekenvaardigheden. Veel opgaven zijn erg talig. Zo kan een leerling die goed kan rekenen struikelen over een opgave doordat hij een woord als `hoogstens’ niet kent.

De discussie tussen de realistische rekenaars en de systematische staartdelers die avond bleef gelukkig erg genuanceerd. Ik kreeg de indruk dat de verschillende kampen eigenlijk helemaal niet zover uit elkaar staan. Wel was ik stiekem blij dat ik niet zelf voor de klas sta, het lijkt me verschrikkelijk moeilijk om leerlingen te leren rekenen – ongeacht welke methode je gebruikt. Diep respect voor de leraren die dit lukt. Wat ik wel wist: leerlingen die een opgave goed hebben en dan toch komen klagen, zou ik goed in de gaten houden. Dat zijn slimmeriken, maar wel irritante slimmeriken.

Het Kenniscafé over rekenonderwijs in debalie vanavond is volgereserveerd. Voor wie niet kan komen: het programma wordt vanaf 20.00 uur live uitgezonden via deze site. Om 22.00 uur wordt alles nog een keer herhaald.

Dit staat er op het programma: Martijn van Calmthout gaat onder andere in gesprek met dr. Kees Buijs, leerplanontwikkelaar en onderzoeker van reken-wiskundeonderwijs werkzaam bij SLO: het nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling te Enschede. En met Jan de Lange, professor wiskunde-didactiek en voormalig hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut (UU).

Verder praat Martijn met Marthe Straatemeier van leerlingvolgsysteem De Rekentuin, Peter Ale, voorzitter van de sectie wiskunde en docent aan de Pabo/HvA en met enkele leerkrachten uit het basisonderwijs. Dit zijn Marloes de Rooij, Loek Hackmann en Marjan Smit van de derde Dalton school en Ineke Kersten van basisschool De Kleine Reus.

Ik ben er vanavond ook en zal samen met Lucas Keijning de rekenvaardigheden van het publiek testen.