Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Beste Tooske, Valerio, Britt en al die andere BN-ers die nog niet meededen aan Wie is de mol,

Na de bloedstollende finale van afgelopen donderdag hopen jullie natuurlijk dat jullie volgend seizoen gevraagd worden voor Wie is de mol. Terecht hoor! Daarom schrijf ik jullie nu maar vast. Het valt me namelijk op dat de kandidaten elk jaar dingen doen die niet zo slim zijn. En dan bedoel ik niet de onhandige acties waardoor een opdracht mislukt, zodat iedereen zich afvraagt of diegene misschien de mol is. Nee, ik bedoel acties die nogal onhandig zijn voor de kandidaat zelf. Daarom hierbij een tip voor een opdracht die vrijwel elk seizoen in één of andere vorm voorbij komt.

Eén kandidaat staat bovenop een enorme toren, wankele brug of ander doodeng hoog bouwwerk. De vraag is of de waaghals naar beneden durft te springen, abseilen, of wat de programmamakers dat jaar weer verzonnen. Een andere kandidaat staat lekker beneden en moet voorspellen of degene bovenaan het durft. Als de gokker het fout heeft, dan wint de ander jokers of iets anders gaafs.

Als jij op die toren staat, moet je bedenken wat de ander denkt dat jij doet. En dát moet je dan niet doen. Tenzij je bedenkt dat de ander bedenkt dat jij bedenkt wat hij bedenkt en dan stiekem de andere optie kiest. Het gevaar van zover doordenken is alleen dat je al snel in een oneindige spiraal belandt en helemaal geen tijd meer hebt om te springen. Hiervoor is er wiskundig gezien een prima oplossing. Gooi een muntje op. Kop is springen. Munt is niet springen. Zo ben je volkomen onvoorspelbaar en heb je zonder zenuwslopend denkwerk vijftig procent kans op de jokers. Een nadeel van deze strategie is trouwens dat hij iets minder goed werkt voor mensen met hoogtevrees.

Dan nog een voorbeeld van een onhandige actie uit een eerder seizoen. Bij deze opdracht stond je als kandidaat tegenover een tegenstander. Je kreeg vragen die je eerder in het programma ook al had beantwoord. Nu moest je kiezen of de ander jouw antwoorden mocht horen. Je kon bij elke vraag liegen, maar dan zei de presentator wel dat je een verkeerd antwoord gaf. Bij drie foute antwoorden mocht je tegenstander lezen in jouw geheime aantekeningenboekje. Je moest je leugens dus strategisch inzetten. Bij een vraag als “Wie is volgens jou de mol?” kon je mooi een verkeerde naam noemen. Daarna wist de ander alleen wie je níet verdacht. Maar de presentator stelde ook vragen waarop maar twee antwoorden mogelijk waren, bijvoorbeeld “Spreekt de mol Spaans?”. Liegen daarop had natuurlijk geen enkele zin. Zodra de ander wist dat je loog, begreep hij ook wat je echte antwoord was. Toch loog destijds een groot deel van de kandidaten bij dit soort tweekeuzevragen. Waren ze hun eigen antwoorden vergeten? Of wilden ze zo de indruk wekken dat ze het spel niet goed begrepen, zodat de tegenstander hen zou onderschatten? Of wilden ze soms de indruk wekken dat ze de indruk wilden wekken enzovoorts?

Verwarde groet,

Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Deze week gaf ik samen met Bas Haring een zomercursus over exacte wetenschap. De laatste dag praatte ik over speltheorie. Eigenlijk had ik weinig met dat onderwerp, maar Bas overtuigde me ervan dat studenten van speltheorie houden. Tijdens het voorbereiden werd ik steeds enthousiaster, het vakgebied bleek veel meer dan de de saaie berekeningen die ik tijdens mijn studie moest maken.

Een prachtig voorbeeld is de beste strategie voor een spel dat te goed klinkt om waar te zijn. Een superrijk iemand nodigt je uit om tegen hem te spelen. Jullie leggen tegelijk een euro op tafel. Als er een kop en een munt naar boven liggen, moet jij hem één cent betalen. Als er twee munten naar boven liggen, krijg jij één cent. Maar (en nu komt het), als er twee koppen op tafel liggen, win je een miljoen euro. Een miljoen! Jullie gaan dit spel héél erg vaak achter elkaar spelen en je ziet de miljoenen al binnen stromen.

Wat is nu je beste strategie? Om kans te maken op een miljoen moet je kop spelen, dus je overweegt gewoon altijd kop te doen. Maar als je tegenspeler steeds munt speelt (zo loopt hij geen risico om een miljoen te verliezen), dan ben jij elke keer één cent kwijt. Op den duur wordt dat toch vervelend. Daarom is het misschien beter om consequent munt te spelen en steeds één cent te winnen. Zo maak je winst, al is het bedrag wat teleurstellend vergeleken bij die miljoenen waar je op hoopte.

Speltheorie zegt dat de beste strategie voor zowel jou als je tegenspeler is om bijna altijd munt te spelen en ongeveer één op de 100 miljoen keer kop. Je zou verwachten dat het voor je tegenstander het beste is om nóóit kop te spelen, hij zet daarbij immers een miljoen op het spel. Maar als jij zeker weet dat je tegenstander altijd munt speelt, zul jij ook altijd munt spelen en zal je bij elk spel een cent winnen. Daarom gooit je tegenstander er (heel af en toe) een kop tussendoor.

Dit soort strategieën waarbij je soms iets doet dat nogal dom lijkt, komen vaak voor. Een werper bij honkbal heeft een beste manier van gooien, maar als hij die altijd gebruikt, weet de slagman precies wat er gaat komen. Daarom zal hij af en toe een andere, minder goede, aangooi gebruiken. Of denk eens aan Michael Chang die bij de finale van Roland Garros in 1989 ineens een lullig boogballetje speelde. Zijn tegenstander was zo verbaasd dat hij niet goed reageerde. (Het filmpje staat hier, mag helaas niet embed worden.)

Het mooiste voorbeeld komt uit de biologie. Er is een gen dat je immuun maakt voor malaria. Tenminste, als je één zo’n gen hebt. Als je de pech hebt om twee van die genen te erven, krijg je de dodelijke ziekte sikkelcelanemie. Je zou denken dat zo’n gevaarlijk gen door natuurlijke selectie snel verdwijnt, maar het komt nog steeds voor in gebieden waar malaria heerst. Het voordeel van de bescherming tegen malaria weegt op tegen de zeldzame sikkelcelanemie. Het lijkt wel alsof zelfs de natuur van speltheorie houdt.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren - ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Als kind ging ik elk voorjaar met mijn ouders naar de jaarlijkse veiling-voor-het-goede-doel in ons dorp. Steevast koos mijn vader iets raars uit de veilingcatalogus en bood daar fanatiek op. Het geveilde voorwerp leek hem minder uit te maken dan het spel van het bieden. Soms werd hij zo meegesleept dat hij een klein fortuin neerlegde voor een middeleeuws ganzenbordspel. Als volwassene ben ik nooit meer naar een veiling geweest. Ik lijk namelijk best veel op mijn vader en ben bang dat ik in een opwelling een klein jacht zou kopen.

Vijfhonderd! Ik hoor vijfhonderd. Vijfhonderd voor die meneer daar, wie biedt er meer?

Op zich is het heel eenvoudig om de beste strategie te bepalen voor een “gewone” veiling per opbod: je bepaalt vooraf hoeveel je maximaal wilt uitgeven. Tot dat bedrag bied je mee. Als de andere bieders eerder afhaken, ga je er met een koopje vandoor.

Er zijn allerlei verschillende soorten veilingen met elk hun eigen regels. Bij de bloemenveiling loopt de prijs bijvoorbeeld juist van hoog naar laag. Ook interessant zijn gesloten-bod-veilingen. Hier komen de verschillende bieders niet fysiek bij elkaar, maar geven ze elk eenmalig aan de verkoper door wat hun bod is. De bieders weten niet wat de andere partijen bieden: vandaar de naam gesloten-bod-veiling. In dit geval is het slim om minder te bieden dan dat je echt voor het geveilde overhebt. Als jij het geveilde veel meer waard vindt dan de anderen, dan zul je namelijk flink overbieden. Bij een gewone veiling gebeurt dat nooit, omdat je daar ziet wanneer de andere bieders afhaken.

In Columbia worden bezittingen van belastingovertreders met een gesloten-bod-veiling verkocht.

Kun je als veilingmeester een gesloten-bod-veiling organiseren waarbij het voor elke bieder het slimste is om precies te bieden wat hij het geveilde waard vindt? Zodat je zeker weet dat degene wint die het voorwerp het liefste wil hebben? Dat kan met een tamelijk verrassende opzet. Weer doen alle bieders een gesloten bod en de hoogste bieder wint. Tot zover niets aan de hand. Maar de winnaar betaalt niet zijn eigen bod, maar dat van de één-na-hoogste-bieder. Dit systeem heet een Vickrey-veiling.

In dit geval zal een bieder nooit te veel betalen als de anderen het voorwerp flink lager waarderen. Hij betaalt immers het één-na-hoogste bod. Het is nu voor elke bieder onverstandig om lager te bieden dan wat hij overheeft voor het geveilde en het risico te lopen om de veiling net te verliezen. Het heeft ook geen zin om méér te bieden en misschien te veel te moeten betalen. De beste strategie is eerlijk bieden.

Vickrey-veilingen worden onder andere gebruikt bij het veilen van postzegels en kermisstandplaatsen. Maar het bekendste is de variant die de online-veiling eBay gebruikt. Daar betaalt de winnaar het bod van de één-na-hoogste bieder plus een kleine ophoging. Heel elegant. En ik zag dat je er ook op jachten kunt bieden...

Een tijdje geleden schreef ik hier al over wisebits. Inmiddels staan er al een hele reeks mooie, slimme en grappige filmpjes online. Nog niet op de site, maar wel al hier te zien: een filmpje dat Maartje Vergeer maakte met Erol Struijk en mij.

Voor de trouwe lezers: het filmpje is inderdaad gebaseerd op deze column. Stijn Belle suggereerde daarna dat een tattoo het ultieme cadeau was.

Online wiskundemagazine Plus schreef een tijd geleden een schrijfwedstrijd uit. De winnaar in de categorie "general public" is José-Manuel Rey, professor in Madrid. En zijn artikel, The Carol syndrome, is leuk!

Carol is een aardige en aantrekkelijke jonge vrouw. Je zou denken dat ze veel afspraakjes heeft, en dat mannen haar vaak proberen te versieren. Maar nee: ze heeft al tijden met niemand gedated, en ze denkt dat ze mannen afschrikt.

Rey rekent op een duidelijke manier uit dat dat best eens kan kloppen. Als een man, bijvoorbeeld Guy, haar wil versieren maakt hij een rationele afweging tussen de drie opties die kunnen gebeuren: (a) Carol aanspreken, ze reageert aardig en ze maken een afspraak; (b) haar niet aanspreken en iets anders leuks gaan doen (bijvoorbeeld Plus lezen), en (c) haar aanspreken, ze wijst hem af en hij is een week ongelukkig.

Hij kan natuurlijk een munt opgooien en daarvan laten afhangen of hij haar gaat aanspreken of niet, maar levert die kans van 1/2 een rationele beslissing op? Of zou het beter zijn om de kans om Carol überhaupt aan te spreken maar 3/10 te laten zijn? Rey rekent het uit voor Guy, onder de aanname dat alle mannen die Carol mee uit willen vragen dezelfde rationele strategie zullen volgen.

Lees zelf hoe het zou kunnen komen dat Carol inderdaad haast nooit aangesproken wordt. En beroemde dames als Uma Thurman, Jessica Simpson en Emma Watson blijken hier inderdaad last van te hebben, volgens de auteur.

Deze column verscheen in de Volkskrant op 11 april 2009.

Veel wiskundigen die ik ken houden van spelletjes. Ik speel dan ook regelmatig een avondje Kolonisten van Catan of Carcassonne met mijn collega’s. En als je een spel speelt, wil je natuurlijk het liefst winnen. Wiskundigen hebben daarom een heleboel spellen bestudeerd om een optimale strategie te vinden.

Bij veel spelletjes is niet van tevoren met zekerheid te zeggen wie er zal winnen, zelfs niet als je aanneemt dat alle spelers optimaal slim spelen. In poker bijvoorbeeld zit altijd een kanselement. Je kunt uitrekenen dat de kans op een paartje azen stukken groter is dan de kans op een royal flush, maar de garantie dat een van de spelers met een bepaalde strategie zeker zal winnen is er niet. Hetzelfde geldt voor Kolonisten van Catan en Carcassonne.

Andere spellen, bijvoorbeeld schaken en boter-kaas-en-eieren, hebben geen kanselement. Je bent in die spellen niet afhankelijk van willekeurig getrokken kaarten of van wat je gooit met een dobbelsteen. Voor spellen zonder kanselement bestaat er soms een winnende strategie voor een van de spelers. Dat wil zeggen dat je altijd wint als je deze strategie volgt - wat de andere speler ook doet.

Een voorbeeld van een spelletje met een winnende strategie is het volgende luciferspel voor twee spelers. Er liggen 21 lucifers op tafel. Iedere speler neemt als hij aan de beurt is één, twee of drie lucifers weg. Wie de laatste lucifer moet pakken, verliest. Wat is het beste om te doen? En maakt het uit wie er begint?

Stel dat u het spel tegen mij speelt. Uit beleefdheid laat ik u beginnen, en u pakt twee lucifers weg. Dan neem ik er ook twee. Vervolgens pakt u er eentje, dan neem ik er drie. Zo gaan we een paar beurten door, en uiteindelijk ligt er na mijn vijfde beurt nog maar één lucifer op tafel, zodat u verliest. Hoe kan dat?

Het feit dat ik u laat beginnen zou al een alarmbel moeten laten rinkelen: er is in dit spel een winnende strategie voor de tweede speler. Wat ik als tweede speler doe is namelijk het volgende. Als u één lucifer neemt, neem ik er drie. Als u er twee neemt, pak ik er ook twee. En als u er drie neemt, neem ik er eentje. In totaal verdwijnen er dus elke keer wanneer we allebei aan de beurt geweest zijn vier lucifers. Na vijf beurten ieder zijn er dus twintig lucifers weg, en is er nog één over!

Voor schaken is zo’n winnende strategie nog niet gevonden, dat is vreselijk gecompliceerd. Spellen zonder kanselement hoeven ook helemaal geen winnende strategie te hebben. Boter-kaas-en-eieren bijvoorbeeld eindigt altijd in remise als allebei de spelers optimaal slim spelen.

Natuurlijk maakt het bekend zijn van een winnende strategie een spel meteen stukken minder leuk: je weet van tevoren al precies wat er zal gaan gebeuren en wie er gaat winnen, en dan is de lol er wel af. Maar als uw familieleden de krant vandaag nog niet gelezen hebben, maakt u een goede kans met het luciferspel!

Toen mijn vriend en ik elkaar net kenden, ging ik zonder hem op vakantie. Bij terugkomst stond hij op Schiphol met een bos bloemen. ``Stom van hem”, zei een vriendin van me: “Nu moet hij je voortaan altijd komen ophalen, omdat je anders gaat mopperen dat hij in het begin van jullie relatie nog wel romantisch was.” Ik dacht hier aan toen ik een onderzoek tegenkwam over het geven van geschenken in het begin van een relatie.

Het gebruikte model komt uit de biologie, vandaar de wat dierlijke termen. Een mannetje geeft een vrouwtje een geschenk. Zij bepaalt na het bekijken van het geschenk of ze met het mannetje wil paren. De onderzoekers nemen aan dat een man met elk vrouwtje wil paren, maar dat hij alleen bij een vrouw blijft als hij haar echt leuk vindt. Een vrouw wil alleen paren met een man die ze aantrekkelijk vindt en waarvan ze daarnaast denkt dat de kans groot is dat hij bij haar blijft. Zij gebruikt het geschenk van de man om in te schatten of hij haar echt leuk vindt. De hamvraag is: wat voor geschenk moet je als man kopen?

Een logische strategie lijkt om vrouwen die je leuk vindt een mooi en kostbaar geschenk te geven. Onaantrekkelijke vrouwen krijgen een goedkoop geschenk, want je weet maar nooit. Of zoals een vriend van me altijd zegt: ``Je kunt het altijd proberen met een fles goedkope witte wijn.” Er is één probleem met deze strategie: aantrekkelijke vrouwen die jou niet zien zitten, nemen wel jouw geschenk aan, maar laten je daarna staan. Dat wil je natuurlijk voorkomen.

Wiskundige Peter Sozou kwam op het idee om dit probleem aan een rigoreuze wiskundige analyse te onderwerpen toen hij in de krant las dat een man al maanden de huur betaalde voor de vrouw op wie hij verliefd was. Achter zijn rug had zij al die tijd een ander. Ze hield de aanbidder alleen aan het lijntje voor zijn waardevolle geschenken.

Sozou bepaalde met speltheorie de beste strategie voor de man. Na nog wat extra aannames en een hele reeks berekeningen kwam hij met een schitterende oplossing: geef aantrekkelijke vrouwen kostbare, maar waardeloze geschenken. Dat zijn geschenken die de man veel tijd, geld of moeite kosten, maar de vrouw geen direct voordeel opleveren. Denk aan diners in sterrenrestaurants voor fotomodellen of –in de dierenwereld- aan nutteloze bolletjes katoen voor vrouwtjesvliegen. Vrouwen die de man niet zien zitten, zullen zo’n geschenk beleefd weigeren. Maar vrouwtjes die het mannetje zelf leuk vinden, zien aan het geschenk dat het mannetje hen echt ziet zitten. Bij vliegen is het principe getest en mannetjes die met een bolletje katoen kwamen, hadden inderdaad net zoveel succes bij de vrouwtjes als mannen die een lekker hapje meebrachten.

Natuurlijk valt er wat af te dingen op het model en de gemaakte aannames, maar ik geloof dat er in de oplossing een kern van waarheid zit. Als je het zo bekijkt, dan was het dus heel slim van mijn vriend om speciaal naar Schiphol te komen met een mooie bos bloemen. Zo zien meisjes hun kostbare, maar waardeloze geschenken namelijk graag.