Wiskundemeisjes

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant.

Beste Martijn Krabbé,

Ben je al weer bijgekomen de liveshow van The voice of Holland? Welke kandidaten moesten er gisteren naar huis? Vorige week zat ik urenlang op het puntje van mijn stoel. Voornamelijk omdat ik probeerde uit te puzzelen hoe jullie de uitslag berekenen.

Tijdens de liveshow nemen in verschillende rondes steeds vier kandidaten het tegen elkaar op. Aan het eind van elke ronde vallen twee kandidaten af. Een jury van vier coaches in de studio beoordeelt de optredens. (Nauwkeurig tellen leert dat er eigenlijk vijf coaches zijn, maar Nick & Simon tellen blijkbaar voor één.) Die deskundigen geven elk optreden een rapportcijfer tussen de 1 en de 10. Maar Martijn, zoals jij vorige week al aankondigde, dat is natuurlijk niet alles! Je formuleerde het zo: “Die rapportcijfers van de jury tellen we op en dat is helft van de score. Jij thuis bepaalt de andere helft van de uitslag.”

Kijk een coach!

Helder: de coaches en het publiek bepalen elk de helft van de punten en hebben dus precies evenveel invloed. In de loop van de show bleek er echter iets gek aan de hand. De stem van het publiek leek veel sterker dan die van de jury. Regelmatig moesten er een favoriet van de coaches naar huis. Aan het eind van de uitzending concludeerden jullie dat de stem van de kijker de doorslag gaf en dat dit heel verrassend was.

Zo verrassend is dat helemaal niet, Martijn. Dat komt namelijk gewoon door de manier waarop jullie de punten tellen. Een kandidaat krijgt van elk van de vier coaches een rapportcijfer en kan daarmee dus maximaal veertig punten halen. Bij het publiek gaat de telling anders: daar zijn de punten per kandidaat het percentage van de totale stemmen. De som van de rapportcijfers en dat percentage is de einduitslag. Vier tienen van de jury en zeventig procent van de kijkersstemmen levert zo een score van 110.

Klopt dan wat je zei? Bepalen de jury en de kijkers inderdaad elk de helft van de uitslag? Aan de ene kant kunnen de coaches méér punten geven. Het publiek heeft per ronde steeds honderd punten te verdelen, maar de jury kan 160 punten geven. Gemiddeld gaf de jury bijna 130 punten per ronde. Je zou denken dat zij meer invloed heeft. Aan de andere kant kunnen de coaches een kandidaat nooit meer dan veertig punten geven, terwijl het publiek massaal op één iemand kan stemmen. Vorige week kreeg Johannes bijvoorbeeld de laagste cijfers van de coaches, maar wel ruim zestig procent van de publieksstemmen. Daarmee ging hij fluitend door en moest Marx, de lieveling van de coaches, naar huis.

Uiteindelijk gingen in elke ronde de twee favorieten van de kijker door, het maakte niet uit wat de coaches van hen vonden. En zo hoort het natuurlijk ook, want jullie willen natuurlijk dat kijkers volop stemmen en blijven kijken. Oefen voor volgende week nog nog wel even op die verbaasde blik als er alweer een favoriet van de coaches naar huis moet.

Galmende groet,

Ionica

Deze column verscheen in de Volkskrant van 20 juni 2009.

Toen ik het glunderende gezicht van Geert Wilders zag na de Europese Verkiezingen, vroeg ik me voorzichtig af of democratie nu echt het beste systeem is. Het is namelijk helemaal niet zo makkelijk om de voorkeuren van de kiezers goed te combineren.

Vorige week mocht onze wiskundeclub nog stemmen over het jaarlijkse uitje. Iedereen kon kiezen uit optie A, B of C. Optie A was een workshop fractalkoekjes bakken, B een crypto-speurtocht en C een dagje naar het rekenlinialenmuseum. De wiskundeclub bestaat uit drie groepen: 20 wiskundemeisjes, 19 nerds en 16 professoren. Binnen elk groep waren de leden het eens over hun favoriete uitje. Alle meisjes kozen A boven B en B boven C. De nerds wilden het liefste B, daarna C en het minst graag A. De professoren hadden als volgorde C, A, B. Wat was nu het beste uitje?

Een wiskundemeisje stelde voor om domweg de meeste stemmen te laten gelden. Zo won uitje A met 20 stemmen. “Hoho”, protesteerde een van de professoren, “Er zijn 35 mensen die liever optie C dan A hebben, dit lijkt me niet zo eerlijk.” Een nerd opperde om met een puntensysteem te werken: iedereen gaf zijn eerste keus drie punten, de tweede keus twee en de derde keus één punt. Na wat snel rekenwerk concludeerde hij triomfantelijk dat optie B won. Weer begon een professor te mopperen: “Dat kan niet kloppen, zowel de wiskundemeisjes als de professoren hebben liever A dan B.” Uiteindelijk verzon deze professor nóg een ander stemsysteem, waarbij optie C won. En uiteindelijk gingen de wiskundemeisjes en nerds licht morrend mee naar het rekenlinialenmuseum.

Wiskundigen denken al lang na over stemsystemen. In 1948, tijdens de Koude Oorlog, kreeg Kenneth Arrow de opdracht om een systeem te maken dat de individuele voorkeuren in de Sovjet-Unie combineerde. Arrow begon met een aantal redelijk klinkende eisen: er mag bijvoorbeeld geen dictator zijn - er is niet één persoon die de uitkomst bepaalt. En als een kiezer van gedachten verandert en een optie hoger plaatst op zijn voorkeurslijst, dan mag die optie daardoor in de einduitslag niet lager eindigen. En zo waren er meer eisen.

Maar wat Arrow ook probeerde, het lukte hem niet om een systeem te verzinnen dat aan die paar zo vanzelfsprekend lijkende eisen voldeed. Na een paar dagen ploeteren kwam hij op het idee om het omgekeerde te bewijzen: als er minstens twee mensen en minstens drie keuze-opties zijn, dan bestaat er geen stemsysteem dat aan alle basiseisen voldoet. Leuk voor Arrow, hij promoveerde op dit werk en kreeg in 1971 de Nobelprijs voor Economie. Minder leuk voor de rest van de wereld, want hoe moeten we dan stemmen?

Er zijn een boel manieren, met kiesmannen of met rondes. En elke methode heeft zijn eigen nadelen en imperfecties. Het blijft een raar idee dat verschillende stemsystemen andere winnaars opleveren – bij precies dezelfde voorkeuren van kiezers. Voor politici geeft het wel een mooie smoes. Als hun partij zetels verliest dan kunnen ze altijd nog zeggen dat het aan het systeem ligt.