Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In sommige opzichten voldoen de wiskundemeisjes wel aan het vrouwelijke stereotype. We houden namelijk niet van voetbal. En dat is geen pretje tijdens een WK. Mijn vriend vindt voetbal kijken wél leuk, dus ik heb al meer voetbal gezien dan me lief is. Ik vroeg me af of er wiskundig nog iets interessants te vertellen is over voetbal, en dan liefst zonder over de puntenverdeling en winkansen te gaan praten.

Waar draait het hele spelletje nou eigenlijk om? Om de bal. En die bal zelf is wel een leuk object. De gewone voetbal bedoel ik dan, en niet die hippe Jabulani die op het WK gebruikt wordt.

De ouderwetse voetbal bestaat uit twintig witte zeshoeken en twaalf zwarte vijfhoeken. Hij lijkt op een veelvlak, maar is het niet helemaal omdat de zijvlakken niet plat maar bol zijn. Als we dat voor het gemak even vergeten, behoort de voetbal tot de zogenaamde Archimedische veelvlakken.

Een Archimedisch veelvlak is een drie-dimensionaal object dat bestaat uit een aantal regelmatige veelhoeken (in ons geval regelmatige vijf- en zeshoeken) waarvoor nog wat extra eisen gelden: alle hoekpunten liggen op een bol, en elk hoekpunt ziet er hetzelfde uit in de zin dat in elk hoekpunt evenveel en dezelfde veelhoeken in dezelfde volgorde bij elkaar komen. Op een voetbal komen in elk hoekpunt twee zeshoeken en één vijfhoek bij elkaar. De laatste eis is dat het object geen prisma of anti-prisma is, maar wat dat precies betekent is niet zo belangrijk.

Voor de bekendere Platonische veelvlakken geldt die laatste eis niet, maar daarvoor is nodig dat de zijvlakken allemaal precies hetzelfde zijn. Voorbeelden zijn de kubus of de zogenaamde icosaëder. Een icosaëder, ofwel regelmatig twintigvlak, bestaat uit twintig gelijkzijdige driehoekjes.

Die icosaëder heeft ook iets te maken met de voetbal. Als je een icosaëder neemt en er bij elk hoekpunt een stukje van afzaagt op één-derde van de oorspronkelijke ribben, dan krijg je een voetbal. Daarom heet het veelvlak dat op een voetbal lijkt ook wel een afgeknotte icosaëder.

Toen ik mijn leerlingen laatst vroeg symmetrische objecten te noemen, kwamen ze al snel met de voetbal. Maar hoe een voetbal precies symmetrisch is, is nog niet zo makkelijk uit te leggen. Wiskundigen vinden een object symmetrisch als je het kunt draaien, spiegelen, verplaatsen of een combinatie daarvan, maar het daarna lijkt alsof er niets gebeurd is. Een vlinder of de letter A bijvoorbeeld kun je spiegelen, en daarna ziet hij er hetzelfde uit. Een kubus kun je ook nog draaien om een aantal assen.

Voor een voetbal zijn er maar liefst 120 draaiingen, spiegelingen of combinaties daarvan die je kunt toepassen waarna de voetbal weer precies in dezelfde positie terugkomt. We zeggen dan: de voetbal heeft 120 symmetrieën.

Tot zover de feitjes, en dit alles met maar één doel. Als u intelligent uit de hoek wilt komen tijdens het voetbal kijken, maar niet weet wat buitenspel betekent, kunt u voortaan zeggen: “Maar ik weet tenminste wel dat een gewone voetbal een afgeknotte icosaëder is met 120 symmetrieën!”

Een tijdje geleden heb ik een heel goed boek gelezen: Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, geschreven door David (Dave) Richeson, die ook een leuke weblog heeft (Division by zero).

Ik heb het boek gerecenseerd voor de Mathematical Intelligencer (in het Engels, dus). De recensie begint zo:

‘‘They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. ‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to , also Euler’s). ‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship.

Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (), edges () and faces () always satisfy the equality . For example, a cube contains 8 vertices, 12 edges and 6 faces, and indeed, 8 – 12 + 6 = 2.

But if this formula is so simple, why did no one think of it earlier, especially when, as Richeson explains, people had been fascinated by polyhedra for millennia?

Hier kun je het hele stuk lezen (pdf).

Het is geen gemakkelijk boek. Het vereist niet meer voorkennis dan VWO-wiskunde, maar je moet wel echt je best doen om mee te denken. Maar als je doorzet leer je een boel: het boek vormt een goede balans tussen wiskundige gedachtegangen, historische feiten en subtiele historische ontwikkelingen. Onderweg leer je, aan de hand van de veelvlakkenformule van Euler, waar het vakgebied van de topologie nou eigenlijk over gaat en hoe het ontwikkeld is.

Voor scholieren of andere mensen die liever in het Nederlands lezen over veelvlakken: wiskundedocent De Leuw heeft op zijn website een toegankelijker stuk over veelvlakken gezet, met opgaven erbij, zie hier.