Wiskundemeisjes

Gisteren stond in de speciale WK-bijlage van de Volkskrant een stukje van mij over (hoe kan het ook anders) voetbal. Het idee van de kansen voor het beste team is (met vriendelijke toestemming) overgenomen van fijne schrijver en amateurwiskundige Jan Paul Schutten. Zijn oorspronkelijke stukje vind je op zijn blog onder de titel Voorspellingsonzin.

In 1988 stelde de juf onze klas een weddenschap voor. Als Nederland Europees Kampioen werd, dan zou zij de hele klas op ijsjes trakteren. Als Nederland géén kampioen werd, dan moesten wij taart voor haar kopen. Als achtjarige vond ik dit een erg oneerlijk voorstel, de juf had een veel grotere kans om te winnen dan wij. Maar de rest van de klas juichte in hun oranje shirtjes en ging de weddenschap aan. Het ongelooflijke gebeurde: Nederland werd kampioen en wij kregen ijsjes.

Een paar weken geleden zag ik een reclame “Koop nu een plasmascherm en krijg het aankoopbedrag terug als Nederland wereldkampioen wordt.” Ook toen dacht ik dat dit wel een makkelijke manier was om wat extra tv’s te verkopen. Nu heb ik een beetje spijt dat ik de aanbieding niet heb gebruikt. Misschien moet ik eens wat meer vertrouwen hebben in Oranje.

Deel van het beste team ter wereld?

Maar zelfs als je aanneemt dat Nederland het beste team ter wereld is (en ik denk dat er niemand op dit moment bezwaar heeft tegen deze aanname), dan is het nog niet vanzelfsprekend dat Nederland wereldkampioen wordt. Je hebt gelukstreffers van de tegenstander, kippige grensrechters en (ook nog) kansrekening.

Stel dat het beste team na de groepsfase bij elke wedstrijd een kans van 80% heeft om te winnen (dit is een wat grove aanname, in werkelijkheid zal de kans bij de achtste finale natuurlijk hoger zijn dan bij de grote finale), dan is de kans dat dit team wereldkampioen wordt een verrassend lage 41%. Elke wedstrijd vermindert de kans om te winnen met een factor 0,8 en dat tikt met vier wedstrijden aardig aan.

De slimste manier om nu nog te wedden op de finale is om twee weddenschappen af te sluiten. Gokwinkeltjes in Madrid betalen je inleg driemaal uit als Nederland wint - de Spanjaarden zijn er natuurlijk van overtuigd dat Spanje kampioen wordt. Daar zet je duizend euro in op Nederland. Vervolgens zoek je een Nederlander die de omgekeerde weddenschap wil aangaan. Daar zet je duizend euro in op Spanje. Dat kost je in totaal tweeduizend euro, maar je krijgt bij elke uitslag drieduizend euro. Zo win je altijd duizend euro. Daar kun je een mooi plasmascherm van kopen. Of ijsjes voor een heleboel schoolklassen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In sommige opzichten voldoen de wiskundemeisjes wel aan het vrouwelijke stereotype. We houden namelijk niet van voetbal. En dat is geen pretje tijdens een WK. Mijn vriend vindt voetbal kijken wél leuk, dus ik heb al meer voetbal gezien dan me lief is. Ik vroeg me af of er wiskundig nog iets interessants te vertellen is over voetbal, en dan liefst zonder over de puntenverdeling en winkansen te gaan praten.

Waar draait het hele spelletje nou eigenlijk om? Om de bal. En die bal zelf is wel een leuk object. De gewone voetbal bedoel ik dan, en niet die hippe Jabulani die op het WK gebruikt wordt.

De ouderwetse voetbal bestaat uit twintig witte zeshoeken en twaalf zwarte vijfhoeken. Hij lijkt op een veelvlak, maar is het niet helemaal omdat de zijvlakken niet plat maar bol zijn. Als we dat voor het gemak even vergeten, behoort de voetbal tot de zogenaamde Archimedische veelvlakken.

Een Archimedisch veelvlak is een drie-dimensionaal object dat bestaat uit een aantal regelmatige veelhoeken (in ons geval regelmatige vijf- en zeshoeken) waarvoor nog wat extra eisen gelden: alle hoekpunten liggen op een bol, en elk hoekpunt ziet er hetzelfde uit in de zin dat in elk hoekpunt evenveel en dezelfde veelhoeken in dezelfde volgorde bij elkaar komen. Op een voetbal komen in elk hoekpunt twee zeshoeken en één vijfhoek bij elkaar. De laatste eis is dat het object geen prisma of anti-prisma is, maar wat dat precies betekent is niet zo belangrijk.

Voor de bekendere Platonische veelvlakken geldt die laatste eis niet, maar daarvoor is nodig dat de zijvlakken allemaal precies hetzelfde zijn. Voorbeelden zijn de kubus of de zogenaamde icosaëder. Een icosaëder, ofwel regelmatig twintigvlak, bestaat uit twintig gelijkzijdige driehoekjes.

Die icosaëder heeft ook iets te maken met de voetbal. Als je een icosaëder neemt en er bij elk hoekpunt een stukje van afzaagt op één-derde van de oorspronkelijke ribben, dan krijg je een voetbal. Daarom heet het veelvlak dat op een voetbal lijkt ook wel een afgeknotte icosaëder.

Toen ik mijn leerlingen laatst vroeg symmetrische objecten te noemen, kwamen ze al snel met de voetbal. Maar hoe een voetbal precies symmetrisch is, is nog niet zo makkelijk uit te leggen. Wiskundigen vinden een object symmetrisch als je het kunt draaien, spiegelen, verplaatsen of een combinatie daarvan, maar het daarna lijkt alsof er niets gebeurd is. Een vlinder of de letter A bijvoorbeeld kun je spiegelen, en daarna ziet hij er hetzelfde uit. Een kubus kun je ook nog draaien om een aantal assen.

Voor een voetbal zijn er maar liefst 120 draaiingen, spiegelingen of combinaties daarvan die je kunt toepassen waarna de voetbal weer precies in dezelfde positie terugkomt. We zeggen dan: de voetbal heeft 120 symmetrieën.

Tot zover de feitjes, en dit alles met maar één doel. Als u intelligent uit de hoek wilt komen tijdens het voetbal kijken, maar niet weet wat buitenspel betekent, kunt u voortaan zeggen: “Maar ik weet tenminste wel dat een gewone voetbal een afgeknotte icosaëder is met 120 symmetrieën!”

Dit artikel verscheen deze maand in het onvolprezen Vlaamse tijdschrift Vector 8.

Hoe werken wiskundige modellen in de financiële wereld? Kan wiskunde helpen om topsporters te laten winnen? Hoe ging men vroeger om met lijfrentes? En wat is eigenlijk uw favoriete inheemse niet-groene zomergroente? Onder het motto Tel uit je winst – de wiskunde van geld en spelen geeft de Nederlandse vakantiecursus antwoord op deze en vele andere vragen.

De vakantiecursussen wiskunde zijn informatieve en inspirerende bijeenkomsten voor wiskundedocenten, die al sinds 1946 worden georganiseerd. Vroeger hadden de cursussen thema’s als De Algebra met haar Historische en Methodische aspecten of De waarschijnlijkheidsrekening, haar grondslagen en haar toepassingen. De laatste jaren zijn de thema’s wat breder en komen interessante onderwerpen ter sprake, met actuele toepassingen die de relevantie van wiskunde laten zien.

Peter Grünwald tijdens zijn voordracht op de vakantiecursus in 2008.

In Tel uit je winst – de wiskunde van geld en spelen lopen de lezingen uiteen van getaltheorie tot financiële wiskunde en van de wiskunde achter voetbal tot verkiezingsparadoxen. De sprekers zijn niet alleen experts in hun vakgebied, maar kunnen ook stuk voor stuk aanstekelijk vertellen over hun werk. Tijdens de cursus ontvangt u een bundel met teksten van de voordrachten, zodat u de mooiste verhalen daarna kunt gebruiken in de klas.

De vakantiecursus wordt georganiseerd door het Centrum voor Wiskunde en Informatica, in samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. De cursus wordt gesponsord door de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek. Het programma bestaat uit twee dagen (vrijdag van 15.00 tot 20.30 en zaterdag van 10.00 tot 15.00) en wordt eerst bij het CWI (21 en 22 augustus) gegeven, en herhaald bij de Technische Universiteit Eindhoven (28 en 29 augustus). Vanuit Vlaanderen is Eindhoven het dichtste bij, maar u kunt natuurlijk ook naar Amsterdam komen en er een gezellig weekenduitje van maken!

De sprekers

• Hoogleraar geschiedenis van de wiskunde Jan Hogendijk spreekt over "Tijd baart rozen: lijfrentes in Nederland in de 17e en 18e eeuw."

• Professor Gerard Sierksma maakt computermodellen om de beste voetbalteams samen te stellen en tijdens de vakantiecursus doet hij daarover een en ander uit de doeken.
• Professor Jan van Eijck van het Amsterdamse CWI geeft vier voorbeelden van sociale software.
• Zijn collega professor Kees Oosterlee geeft een introductie in financiële producten en markten.
• Ook doctor Hans van der Weide van de TU Delft zal over zijn specialisme financiële wiskunde praten.

Vincent van der Noort laat het publiek stemmen voor hun favoriete groente. Wie kiest er voor bloemkool?

• Promovendus Vincent van der Noort organiseert een verkiezing voor de inheemse niet-groene zomergroente van het jaar en laat zien dat het onmogelijk is om eerlijk te bepalen welke groente er wint.
• Doctor Bart Windels uit Vlaanderen spreekt onder de intrigerende titel `Smeergeld’.
• Professor Peter Stevenhagen geeft tenslotte een mooie voordracht over getaltheorie.

Kortom: het beloven twee mooie dagen te worden!

Zoals alle jaren is de cursus voor alle wiskundedocenten op elk niveau toegankelijk. Voor geïnteresseerden is een nascholingscertificaat beschikbaar. Het cursusgeld bedraagt € 75. Voor studenten aan lerarenopleidingen is het cursusgeld slechts € 25. De cursus is inclusief een warme maaltijd op vrijdagavond.

Meer informatie en een aanmeldformulier zijn te vinden op de site van de vakantiecursus.

Tsja, wij hebben niet zoveel met voetbal. Maar jullie, onze lezers, misschien wel. Verscheidene mensen wezen ons in ieder geval op een artikel dat gisteren in de Pers stond, over wiskunde en voetbal. Dus, om onze lang verwaarloosde voetbal-minnende lezers ook eens aandacht te geven: kijk maar eens op de laatste pagina van De Pers van woensdag 13 mei.

(De wiskundemeisjes houden wel van veelvlakken.)

Uit het artikel:

De traditionele topdrie heeft dit seizoen uiterst moeizaam gepresteerd. Ajax, PSV en in het bijzonder Feyenoord moesten hun hoop op een nieuw kampioenschap al snel laten varen en ondertussen leidden de voormalige middenmotors AZ en FC Twente de dans in de eredivisie. ‘Je ziet dat de regionale clubs steeds sterker worden’, vertelt Pieter Nieuwenhuis, oprichter van Hypercube. Het bedrijf van de 51-jarige Enschedeër adviseert op basis van feiten en cijfers onder meer de KNVB, de Nederlandse eredivisie en de UEFA. ‘Clubs als Heerenveen, AZ en FC Twente hebben de traditionele topdrie ingehaald.’

Gezien de eindstand in de eredivisie geen baanbrekende bewering, ware het niet dat Nieuwenhuis zijn stelling kan staven aan de hand van een ander systeem. Hypercube heeft een wiskundig model ontwikkeld, waarmee het bedrijf aantoont dat de topclubs de laatste seizoenen structureel onderpresteren.

Het komt er kort gezegd op neer dat Nieuwenhuis een maat voor de prestatie van een club heeft bedacht die hij Q noemt, en die in een grafiek heeft uitgezet tegen de begroting van de clubs. Een grotere Q komt overeen met betere prestaties in de afgelopen drie jaar. De prestaties van dit jaar, vorig jaar en het jaar daarvoor tellen mee in de verhouding 3:2:1. De conclusie is in ieder geval dat de grote clubs te veel geld uitgeven voor de resultaten die ze bereiken.