Wiskundemeisjes

Vandaag begint een nieuw polymath project (als ik het goed begrijp om 18.00 uur onze tijd). Op initiatief van de onvolprezen Terence Tao kan iedereen meedoen aan het oplossen van de moeilijkste opgave van de Internationale wiskunde-olympiade.

Het is voor onderzoekers vooral interessant om eens te hoe zo'n polymath-probleem werkt en of de opzet bevalt (polymath wordt inmiddels ook voor serieuzere onderzoeksvragen gebruikt). En het is natuurlijk reuzeleuk om met een grote groep wiskundigen van over de hele wereld te discussiëren over de vraag of volledige inductie voor dit probleem wel een goed idee is.

Op Terences blog vind je meer informatie.

Getaltheoreticus John Tate (85) is een van de grootste wiskundigen van deze tijd. Vooral voor zijn invloed kreeg hij de Abelprijs, iets als een Nobelprijs voor wiskundigen. ‘Dat niemand je werk begrijpt, is nu eenmaal ons lot.’ Door Ionica Smeets

Dit interview verscheen zaterdag in de Volkskrant.

De Noorse koning Harald V overhandigde vorige week woensdag de Abelprijs aan een zichtbaar nerveuze Tate. De 85-jarige wiskundige kreeg de onderscheiding voor zijn omvangrijke en blijvende invloed op de getaltheorie. De Abelprijs is de hoogste onderscheiding in de wiskunde, qua prestige en waarde (750.000 euro) vergelijkbaar met de Nobelprijs.

CV John Tate
1925 Geboren in Minneapolis (Verenigde Staten)

1946 Studeert af als natuurkundige; Princeton

1950 Promoveert als wiskundige; Harvard

1950 - 1953 Onderzoeker; Princeton

1953 - 1954 Gastprofessor, Columbia

1954 - 1990 Hoogleraar, Harvard

1990 - 2009 Bijzonder hoogleraar, Universiteit van Texas

2010 Abelprijs

John Tate is getrouwd en heeft drie dochters en vijf kleinkinderen.

Tate is in Oslo het stralend middelpunt van een driedaags programma vol lezingen, feesten en staatsbanketten. Zijn meegereisde familie, inclusief alle kleinkinderen, kijkt glazig bij de wiskundige voordrachten. Tates werk is maar moeilijk uit te leggen, zelfs de publiekslezingen zijn alleen voor wiskundigen te volgen. De president van de Noorse Akademie der Wetenschappen bekent in een toespraak dat hij in elk geval niets had begrepen van alle lezingen over getaltheorie. Tate lacht gelaten vanaf de eerste rij.

Later die avond zit hij er ontspannen bij in de salon van de Noorse Akademie.

Wordt u er niet moe van dat bijna niemand snapt wat u precies doet?
“Het is het grote nadeel van een carrière als wiskundige. Wiskunde is een taal die maar weinig mensen spreken, het is een kunstvorm voor liefhebbers. Soms vraagt iemand me op een cocktailparty wat ik doe. Als ik antwoord dat ik wiskundige ben, dan loopt de vragensteller vaak weg. Of hij antwoordt dat hij algebra op school wel leuk vond, maar dat hij niets van meetkunde bakte. Het is frustrerend dat je niet kunt vertellen wat je echt doet.”

Tate met de Abelprijs: ‘Ik dacht altijd dat wiskunde voor echte genieën was’

Was u altijd al dol op wiskunde?
“Als kind was ik niet met dat soort vragen bezig, ik speelde gewoon met mijn brandweerwagen. Ik hield wel van wiskunde, maar dacht er nooit serieus over na. Mijn vader was hoogleraar natuurkunde en een academische carrière was in die zin wel vanzelfsprekend.”

Ging u daarom natuurkunde studeren?
“Ik ging vooral géén wiskunde studeren. Op de middelbare school las ik Men of mathematics van E.T. Bell. Dat boek vertelt over de grote namen uit de geschiedenis van de wiskunde: Euler, Gauss, Abel, allemaal echte genieën. Ik vond het prachtig en werd bijvoorbeeld gegrepen door de schoonheid van de wet van de kwadratische reciprociteit. Maar ik kreeg het gevoel dat je alleen maar wiskunde kon doen als je een genie was. Ik wist dat ik niet zo briljant was als bijvoorbeeld Gauss en dacht dat ik niets te zoeken had bij wiskunde. Ik besefte niet dat je ook op een lager niveau fantastisch werk kunt doen. Bij natuurkunde wist ik door het voorbeeld van mijn vader dat je daarbij mooie resultaten kon behalen als je geen genie was.”

Waardoor stapte u over naar wiskunde?
“In die tijd kon je als student gratis studieboeken krijgen en ik maakte daar dankbaar gebruik van. Na het eerste semester keek ik naar mijn boekenplank. Daar stonden twintig wiskundeboeken en één natuurkundeboek. Toen besloot ik naar wiskunde over te stappen.

Bij de overstap had ik veel geluk, ik kreeg Emil Artin als begeleider toegewezen. Ik herinner me hoe in de koffiekamer een medestudent hem enthousiast aanwees en dat ik vroeg wie Emil Artin in vredesnaam was. Toen bleek dat één van mijn favoriete wiskundeboeken, Moderne Algebra door Van der Waerden, gebaseerd was op lezingen van Artin en Emmy Noether. Op de kaft stond alleen Van der Waerden, ik had nooit gezien dat de andere namen op de eerste bladzijde stonden.

Nog toevalliger was dat bleek dat juist Artin de wet van de kwadratische reciprociteit had gegeneraliseerd, het resultaat dat me zo greep als tiener. Ik had me geen betere begeleider kunnen wensen.”

Een grote invloed op de getaltheorie
John Tate werkte vooral aan getaltheorie. In dit vakgebied zijn er veel vragen van de vorm “heeft deze vergelijking een oplossing in de gehele getallen?”. Euclides bewees bijvoorbeeld ruim tweeduizend jaar geleden dat de vergelijking a² +b² = c² oneindig veel oplossing heeft in gehele getallen. De vraag of vergelijking aⁿ + bⁿ = cⁿ, voor machten n groter dan twee, geheeltallige oplossingen heeft, bleef eeuwenlang onbeantwoord. Pas in 1994 bewees Andrew Wiles dat al deze vergelijkingen geen oplossingen hebben in de gehele getallen (behalve flauwe met nullen en enen). Dit resultaat staat bekend als de Laatste Stelling van Fermat en het bewijs zou onmogelijk zijn geweest zonder een wiskundig gereedschap bedacht door Tate: het Tate-moduul.

Het Tate-moduul vormt een brug tussen meetkunde en algebra. Het transformeert een meetkundig object in een algebraïsch voorwerp. Het meetkundige object is onbruikbaar bij bewijzen in de getaltheorie, maar bevat wel de structuur van het oorspronkelijke probleem. Het Tate-moduul vergeet de afstanden die in meetkunde belangrijk zijn en vervangt die door relaties, nuttig voor algebra en getaltheorie. Hierdoor blijft de oorspronkelijke structuur in zekere zin bewaard. Het Vermoeden van Tate gebruikt dit moduul om een klassiek resultaat uit de meetkunde in de getaltheorie te kunnen toepassen. Tate bewees één special geval van dit vermoeden, hiermee was het mogelijk om allerlei bestaande problemen zoals de Laatste Stelling van Fermat aan te pakken. Het algemene vermoeden is één van de grote open problemen in de getaltheorie.

Veel van de hoofdlijnen van huidig onderzoek borduren voort op Tates ideeën en constructies. Een lange reeks wiskundige begrippen draagt zijn naam, naast het Tate-moduul en vermoeden zijn er Tate’s algoritme, Tate-Shafarevich groepen en de Sato-Tate vermoedens. De lijst kan bijna willekeurig lang doorgaan. Wiskundigen grappen dat je ook de Tate-index zou kunnen invoeren: de tijd die het duurt bij een voordracht over getaltheorie voordat de naam Tate valt.

Welk van uw resultaten vindt u zelf het belangrijkste?
“Op die vraag kan ik geen antwoord geven. De eerste Abelprijswinaar Jean-Pierre Serre zei eens dat dit is als een moeder vragen wat haar favoriete kind is. Zelfs als een moeder een lievelingskind heeft, zal ze dat nooit hardop tegen iemand zeggen.”

U werkte ook buitengewoon veel met anderen samen, hoe ging dat?
“Tegenwoordig publiceren veel onderzoekers met mensen die ze nog nooit ontmoet hebben. Dat kan dankzij email. Ik heb ook wel brieven geschreven met collega’s. Maar ik hield er vooral van om met anderen te praten over wiskunde. Vaak kreeg ik na zo’n gesprek ineens een ingeving. Ik had altijd het gevoel dat de ander datzelfde idee ook moest hebben na dat gesprek.”

En was dat ook zo?
“Gek genoeg niet.”

Collega’s vertelden dat u vaak aarzelde om uw resultaten te publiceren, waardoor kwam dat?
“Ik aarzelde helemaal niet. Het schrijven van artikelen viel me domweg zwaar. Het kostte me veel moeite om mijn resultaten op papier te krijgen. Ik schreef een pagina en verscheurde hem dan weer.”

Waarom? Vond u het niet goed genoeg?
“Dat moet je maar aan mijn psychiater vragen. Ik was in elk geval meer geïnteresseerd in het doorgaan naar een volgend probleem dan om het vorige resultaat op te schrijven. Dat was misschien niet de beste manier om te werken, maar zo ging het nu eenmaal bij mij.”

Hoe hoorde u dat u de Abelprijs had gewonnen?
“Ik werd gebeld toen ik net was opgestaan. Het was een complete verrassing, ik houd me helemaal niet bezig met dat soort dingen. Ik had geen idee op welke dag de winnaar bekend gemaakt zou worden. En ik had al helemaal nooit verwacht dat ik zou winnen.”

Heeft u nu wel een idee waarom juist u heeft gewonnen?
“Nee, dat moet u aan de jury vragen. Maar ik ben er buitengewoon blij mee.”

Dick Lipton schreef op tweede kerstdag (die hij als Amerikaan natuurlijk niet kent) een prachtige blogpost over genante wiskunde: open problemen die al lang opgelost hadden moeten zijn. Het zijn problemen die eenvoudig zijn te formuleren en die ook makkelijk lijken om aan te pakken, maar die nog steeds onopgelost zijn. Lipton geeft een paar mooie voorbeelden en in reacties van onder anderen Terence Tao staan meer van die genante problemen. Een paar voorbeelden:

• Bewijs dat of transcendent is. Minstens één van deze uitdrukkingen moet transcendent zijn, omdat transcendent is.
• Bewijs dat voor oneindig veel priemgetallen het getal geen priemgetal is.

Tijd voor alle wiskundigen om met een mutsje met ezelsoren op in de hoek te gaan staan en voor alle anderen om een beetje te grinniken...

Lipton schreef eerder ook over wiskundige ziektes. Op zijn blog met de wat ongelukkige titel Gödel's Lost Letter and P=NP is nog veel meer moois te vinden!

Het is strikt genomen geen wiskunde, maar ik denk dat alle wiskundigen die (La)Tex gebruiken reuzeblij zijn met deze tip. Reijer wees me namelijk laatst op het geweldige Detexify, waar je handig kunt zoeken naar de code voor symbolen. Nooit meer wanhopig zoeken in tabellen naar de juiste code voor , of . Je tekent het symbool dat je zoekt en krijgt een lijst met waarschijnlijke mogelijkheden. Je kunt het systeem trainen door aan te geven welk symbool je bedoelde. En je hoeft vaak helemaal niet zo precies te tekenen, prachtig!

Sinds een paar weken kunnen wiskundigen op Math Overflow vragen aan elkaar stellen. De site is niet bedoeld voor huiswerkopgaven (daarmee kun je bijvoorbeeld naar de onvolprezen WisFaq), maar voor vragen die voor beroepswiskundigen interessant zijn. Voorbeelden van populaire vragen zijn:

• A single paper everyone should read?
• Does Aut(Aut(…Aut(G)…)) stabilize?
• Which mathematicians have influenced you the most?

Veel vragen op de site zijn meer vragen over hoe anderen wiskunde doen en niet zo zeer inhoudelijke vragen. Maar dat soort vragen kun je er natuurlijk zelf gaan stellen als je dat interessanter vindt!

Ik word zelf wel een beetje afgeschrikt door het overweldigende badges-systeem van Math Overflow. De site had beter Badge Overflow kunnen heten. Of ligt dat alleen aan mij en snakken jullie al jaren naar wiskundemeisjes-badges?

In het Nieuw Archief van deze maand staat een mooi artikel Lof der lezing over hoe je moet luisteren naar een wiskundige voordracht. Het is een vertaling van In Praise of Lectures van Tom Körner. Een klein citaat uit het origineel.

What should you do if you get lost?

The first and most important thing is to remember that most mathematicians are lost most of the time during lectures. (If you do not believe me, ask around.) Attending a mathematics lecture is like walking through a thunderstorm at night. Most of the time you are lost, wet and miserable but at rare intervals there is a flash of lightening and the whole countryside is lit up.

Iets moois om te lezen dus voor onder de kerstboom (nadat jullie klaar zijn met het kijken van N is a number). We hebben trouwens ook een speciaal cadeautje voor jullie op kerstavond!