Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Mijn favoriete formule


In Algemeen, door wiskundemeisjes

Wat doe je als iemand vraagt wat je favoriete formule is: welke formule eigenlijk iedereen zou moeten kennen? Zeg je:

a) Alle formules zijn gelijk, maar sommigen zijn meer gelijk dan anderen.
b) e π i = -1 natuurlijk!
c) Nou, eigenlijk is er geen ultieme formule die iedereen moet kennen. Wiskunde is zo veel meer dan formules. Logisch denken en bewijzen vind ik veel mooier dan formules.
d) De Formule 1.

Ik probeerde eerst antwoord c). Maar degene aan de andere kant van de lijn gaf geen krimp en hield vol. Dus eindigde ik met antwoord b). Want dat is toch wel mijn favoriete formule. Waarom?

Mijn favoriet: e π i = -1

Laten we eens rechts van het =-teken beginnen, daar staat -1. Dat is makkelijk, dat kennen we allemaal. Maar vroeger was het helemaal niet zo vanzelfsprekend om negatieve getallen te gebruiken. Heb je wel eens -2 appels gezien? Het duurde even voor mensen inzagen dat als je geen appels had maar wel nog 2 appels aan iemand moest geven, je best kon zeggen dat je -2 appels had.

En wat staat er allemaal links van het =-teken? We zien e, π en i. Pi (π voor vrienden) ≈ 3.14159 en het is de bekende verhouding tussen de diameter van een cirkel en zijn omtrek. Wat zijn die andere twee letters e en i?

De prachtige constante e

e ≈ 2.71828 is een constante met een bijzondere eigenschap. Als je de grafiek van ex tekent, dan heeft deze grafiek in elk punt precies dezelfde helling als de waarde van de functie. Hieronder zie je links de grafiek van ex en rechts de grafiek van zijn helling:

ex

ex

Even ter vergelijking, hieronder links een parabool en rechts zijn helling:

x22x

Deze constante e duikt op allerlei gekke plaatsen op: bij lootjes trekken voor Sinterklaas bijvoorbeeld. De kans dat niemand zichzelf trekt is 1/e voor grote groepen.

De imaginaire constante i

Op de middelbare school leerde ik dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. Ik voelde me enorm bedrogen toen ze op de universiteit doodleuk zeiden dat i2 = -1. Dat kon toch helemaal niet? Want 1 x 1 = 1 en -1 x -1 = 1. Wiskundigen trekken zich daar niks van aan en definiëren i domweg als het getal waarvoor wel geldt dat i x i = -1. Vervolgens rekenen ze vrolijk met die imaginaire (denkbeeldige) i en het leuke is, dat je daardoor allerlei mooie berekeningen kan maken, waar we ook in de echte wereld iets aan hebben. Eigenlijk verschilt zo'n imaginaire constante helemaal niet zo veel van een negatief getal, ook die zie je niet om je heen, maar kan je wel heel goed gebruiken.

Terug naar de fomule... e π i = -1

Waarom is dit nu mijn favoriete formule? Omdat je links allerlei moeilijke dingen ziet, die ineens gelijk blijken te zijn aan iets heel eenvoudigs. Dat is wat wiskundigen leuk vinden, moeilijke dingen makkelijk maken. En soms lijkt dat wel een beetje op een wonder...

miracle

(Ionica)

40 reacties op “Mijn favoriete formule”

  1. Hermen Jan:

    Ik ben het bijna met je eens Ionica, maar niet helemaal. De ultieme formule luidt toch echt:

    e^{\pi i} + 1 = 0.

    Dit komt, zoals mijn wiskundeleraar op de middelbare school al beweerde, omdat alle moeilijke getallen waar veel mensen over struikelen in de formule staan.

    Wie heeft er immers nog nooit per ongeluk zijn computer iets door nul laten delen en vervolgens uren besteed aan het vinden van de bug?

    En wie heeft nog nooit het schaamrood op zijn kaken voelen opkomen terwijl hem wordt uitgelegd hoe de moeilijk breuk waar hij al uren op worstelt, simpel vereenvoudigd kan worden door met 1 te vermenigvuldigen?

  2. Michiel Kosters:

    Was dit naar aanleiding van het artikel in de Volkskrant?
    Mijn lievelingsformule is trouwens e^(ix)= cos x + i sin x, daar kan je de -1 en 0 (van Hermen Jan) ook uit krijgen ;)

  3. Jeanine:

    @ Michiel: jazeker, als echte wiskundige mag je natuurlijk geen beweringen doen zonder argumentatie! ;-) Dus als je in de Volkskrant vertelt wat je favoriete formule is, kun je maar beter uitleggen waarom. Leuk dat je het gezien hebt!

  4. Liset van Dommelen:

    Als ik dit lees heb ik in mijn verleden iets heel erg gemist namelijk iemand die wiskunde ook kon uitleggen!!!!

  5. Jennie Huijboom:

    Gisteren las ik over jullie weblog in Volkskrant Magazine. Ik heb zelf geen wiskunde gestudeerd maar wel de nodige analysecolleges gehad in Delft, al doe ik er nooit meer wat mee. Als ik dit zo lees mis ik dat toch wel een beetje. Leuk hoe jullie erover vertellen en knap hoe jullie het kunnen uitleggen.

  6. Sjoerd:

    e^(Pi*i) + 1 = 0 is naar mijn idee mooier dan e^(Pi*i) = -1.

    Dit omdat de formule de vijf mooiste wiskundige getallen bevat, nul en één voorop. De uitvinding van de één en de nul vormen de overgang van rekenen naar wiskunde. Min één is een mooi getal, maar vrij willekeurig. Toen de nul en de één eenmaal bedacht waren, moesten de negatieve getallen wel komen. Maar dat er mensen in staat zijn geweest niets (nul, maar ook één is in bepaalde opzichten niets) een naam te geven, dat is geweldig mooi. Buiten dat refereerde Leonhard Euler aan deze formule, en niet die met min-één.

  7. Hermen Jan:

    @Sjoerd: Leuk dat je het met mij eens bent (zie eerste reactie) en fijn om er nog wat extra argumenten bij te hebben!
    @Ionica: ben je nu overtuigd?

  8. Ionica:

    Beste Sjoerd en Hermen Jan, leuk geprobeerd - maar ik blijf bij mijn standpunt. Michiel heeft gelijk: de echte, algemene formule van Euler is natuurlijk
    e^(ix) = cos x + i sin x
    (wat met pi voor x mijn favoriete formule oplevert) en niet
    e^(ix) + 1 = cos x + i sin x + 1.

    Nu jullie weer! ;)

    Iemand mailde trouwens dat zijn favoriete formule
    i^i = e^(-pi/2)
    is. Die is natuurlijk ook prachtig!

  9. Bjorn:

    Mijn favoriete formulie is tanß = sinß/cosß.

  10. John:

    Had Ionica al een mailtje gestuurd, maar zag daarna pas dat enkele mensen hier al volkomen terecht hadden opgemerkt dat

    e^(i*pi) + 1 = 0

    uiteraard oneindig veel mooier is dan de formulering met -1. Heb echter nog steeds een bijna onbedwingbare neiging om de Volkskrant mailen :-)

  11. anouk:

    wat een ingewikkelde formules, krijg ik die ook nog allemaal:S (havo n&t, dacht dat ik het msischien wel zou snappen:P)

  12. John:

    Zelf vind ik e^(i*pi) + 1 = 0 ook de mooiste formule, maar ik herinner me nog dat ik tijdens mijn studie het meest verbijsterd was over het volgende briljantje:

    ∑ van n=1 tot ∞ over 1/n^2 = pi^2/6.

    Toen de prof deze simpele tekens op het bord kalkte, viel mijn mond open van verbazing, en eigenlijk heb ik 'm nog steeds niet dicht gekregen.

  13. Dick:

    Natuurlijk ook mijn favoriet, die vorm van Sjoerd dan, ook omdat erin, naast de 0 en de 1, de 'standaard' bewerkingen machtsverheffing, vermenigvuldiging en optelling voorkomen...

  14. Hermen Jan:

    @Ionica: de elegantie van een formule wordt allerminst bepaald door de manier waarop je hem hebt afgeleid. Als je het bewijs eenmaal hebt gezien, is het mysterieuze er vaak vanaf. We weten natuurlijk allemaal dat echte schoonheid altijd samen gaat met een zekere geheimzinnigheid...

    "exp(i \pi) = -1" vs "exp(i \pi) +1 = 0" : 1-4

  15. Ionica:

    @ Anouk: Deze formules krijg je niet op de middelbare school. Ze zijn stiekem trouwens niet meer zo moeilijk als je alle tekens eenmaal kent.

    @ John en Hermen Jan: Gelukkig heet dit stukje MIJN favoriete formule en niet DE favoriete formule. Dus jullie mogen best een andere vorm mooier vinden!

    Het specaculaire en mooie aan deze formule is voor mij toch echt dat e^(pi i)= -1. Dat maakt het zo bijzonder. Dat vervolgens -1 + 1 = 0 maakt het een leuke regel (met alle moeilijke getallen? waar is wortel 2 dan?), maar vat de magie niet zo mooi samen.

  16. Hermen Jan:

    Over smaak valt wel degelijk te twisten. Maar nu is het weer tijd om me met mijn dagelijkse portie droge doch voedzame wiskunde bezig te houden. Nog een laatste opmerking:

    sqrt(2) = e^( ln(2)/2 ),

    dus je zou aannemelijk kunnen maken dat wortel twee niet in de ultieme formule hoort te staan, als je de e-macht er eenmaal in hebt zitten.

  17. Han:

    mijn favoriete vergelijking is deze:

    □^2 A = - μ0 J

    alle (!) maxwellvergelijkingen in een mooie 4-vector vorm. A en J zijn de vier-vectoren, resp. vectorpotentiaal en source/current. □^2 is de d'alembertiaan en μ0 is de permeabiliteit van het vacuum.

  18. Michiel Kosters:

    @Han * Dit moet toch over wiskunde gaan! Stop met Maxwell vergelijkingen!
    (Echte reden: paar uur geleden tentamen gehad over die vergelijking... ben ze nu even zat)

  19. Tom de Leeuw:

    Klopt het dat voor "pi" elk (reeel) getal ingevuld kan worden en de uitkomst dan steeds -1 is?

    Klopt het dat voor "e" elk (reeel) getal ingevuld kan worden en de uitkomst dan steeds -1 is?

    M.a.w. kan de formule alsvolgt gealgemeniseerd
    worden:

    x ^ (y*i) = -1 ?

  20. Jeanine:

    @ Tom: nee, zeker niet! Zo geldt bijvoorbeeld e^(2 pi i) = 1. Zie voor nog meer tegenvoorbeelden ook de reactie van Michiel hierboven, vul voor x maar eens wat waarden in!

  21. Han:

    @tom
    op de math wolfram site (klik op de url) staat een eenvoudige afleiding van de euler formula.

  22. Vincent:

    Wat ik ook een mooi formule vind is de volgende (de 'verjaardagsformule') maar ik heb geen idee van het bewijs dus wie het weet mag het zeggen:

    Som{n = 1 tot en met kp} (n+1)!n^5 = 26 (mod p^k)

    Voor alle priemen p en natuurlijke getallen k.

    De mooiste formule daarentegen blijft natuurlijk 2 + 2 = 2 * 2 = 2^2 omdat hij zoals hier boven al opgemerkt alle natuurlijke bewerkingen bevat.

  23. Habbie:

    optie b! zie ook http://xkcd.com/c179.html :)

  24. Wiskundemeisjes » Mijn favoriete formule (2):

    [...] Dankzij de nieuwe plugin voor reacties (zie de rechterzijbalk) zag ik net dat er vandaag een reactie van Habbie op een oud stukje was gekomen met dit prachtige plaatje! [...]

  25. Iemand uit vwo-5:

    Hallo!
    Is er hier misschien iemand die ooit heeft moeten bewijzen waarom e^(pi*i) gelijk is aan -1. Ik kom namelijk niet verder dan het in mijn rekenmachine typen en dat daar dan -1 uitkomt..
    Alvast bedankt!

  26. Ionica:

    Het is een speciaal geval van Eulers formule e^{i\theta}=cos(\theta)+i\cdot sin(\theta). Met google kun je daar vast van alles over vinden!

  27. han:

    met een taylor expansion kun je het soort-van bewijzen

  28. MaNOj:

    Dag Wiskundemeisjes,

    leuke site, ik kwam er achter via die van Tammo. Heb je hem weer. Ik stem ermee in dat

    e^(i Pi) + 1 = 0

    the most remarkable formula the world is, om even met Feynman te spreken.

    Ik vind het zelfs zo sterk, dat ik er maar een muziekstuk over heb geschreven, dat nu ingezonden is voor een compositiewedstrijd. K ben benieuwd of er meer kunstige mensen de esthetische schoonheid van deze formule inzien.

  29. henk:

    Hey, ikzelf zit dus op 4 vwo, en kan dus echt niet begrijpen hoe

    I^2 = -1

    kan kloppen, kan iemand mij in voor mij begrijpelijke taal die formule uitleggen.

  30. Ionica:

    Tja...zo is i juist gedefinieerd, het lijkt in het begin misschien raar, maar je kunt er echt mee werken. Als je er meer over wilt weten, dan kun je dat elders op internet vinden. Bijvoorbeeld in de Wisfaq:

    http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=2172

    Jan van de Craats is ook bezig met een boek voor Wiskunde D over complexe getallen, je kunt het hier downloaden:
    http://staff.science.uva.nl/~craats/#cg

  31. Arno van Asseldonk:

    Hallo, Henk,

    veronderstel dat je alleen over de natuurlijke getallen 1, 2, 3,... beschikt, en dat je de aftrekking 2 - 4 uit wilt voeren. Omdat dit niet kan zolang je alleen over de natuurlijke getallen beschikt, zul je je getallenstelsel uit moeten breiden. Door nu de nul en de negatieve getallen erbij te nemen lukt het wel om de aftrekking
    2 - 4 uit te voeren.
    Zolang je binnen de gehele getallen blijft is het niet altijd mogelijk om 2 getallen op elkaar te delen. Zo heeft de deling 3:5 binnen de gehele getallen geen uitkomst, omdat er geen enkel geheel getal te vinden is, dat bij een vermenigvuldiging met 5 een uitkomst 3 geeft. Om dit op te lossen voeg je nu gebroken getallen toe. Je krijgt dan de rationale getallen.
    Zolang je binnen de rationale getallen blijft is het bijvoorbeeld niet mogelijk om een getal te vinden waarvan het kwadraat 3 is. Om dit op te lossen voeg je nu de irrationale getallen toe. Je krijgt dan de reële getallen.
    Zolang je binnen de reële getallen blijft is het niet mogelijk om een getal te vinden waarvan het kwadraat een negatief getal is. Om dit op te lossen introduceer je een nieuw getal i met de eigenschap dat het kwadraat hiervan gelijk is aan -1. Je kunt zo getallen construeren van de vorm a + b*i, waarbij a en b gegeven reële getallen zijn en i de zojuist vermelde eigenschap heeft. Je krijgt dan de complexe getallen.
    Historisch werden de complexe getallen overigens op een andere manier geïntroduceerd. Ze doken namelijk voor het eerst in de geschiedenis van de wiskunde op in het begin van de 16e eeuw, toen men op zoek was naar de algemene oplossing van de derdegraadsvergelijking. Het bleek toen dat sommige oplossingen van zo'n vergelijking alleen bruikbaar waren als je aannam dat het ook mogelijk is om wortels uit negatieve getallen toe te laten. Pas in het begin van de 19e eeuw slaagde men er in om een beter idee van complexe getallen te krijgen, toen de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss op het idee kwam om een complex getal als een punt in een coördinatenstelsel voor te stellen. Het complexe getal a + b*i stelt dan het punt (a,b) voor.
    Waar het om gaat is dat het mogelijk is om een bestaand getallensysteem zodanig uit te breiden, dat je een nieuw getallensysteem krijgt, waarin bepaalde bewerkingen, die in het vorige systeem niet mogelijk waren, nu wel mogelijk zijn.

  32. Pieter Roffelsen:

    "Pas in het begin van de 19e eeuw slaagde men er in om een beter idee van complexe getallen te krijgen, toen de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss op het idee kwam om een complex getal als een punt in een coördinatenstelsel voor te stellen."
    Dat is niet waar. Deze constructie is in 1806 bedacht door de Zwitserse wiskundige Jean-Robert Argand om er een meetkundige voorstelling van te maken. Gauss heeft het ´herontdekt´

  33. Arno van Asseldonk:

    Hallo, Pieter,

    Ik heb er even Morris Klines Mathematical Thought from Ancient to Modern Times op nageslagen. Het blijkt dat de Noorse wiskundige Caspar Wessel in 1797, dus 11 jaar voor Argand, al op het idee kwam om complexe getallen als eindpunten van een lijnstuk met het beginpunt in de oorsprong te definiëren. Argand deed hetzelfde, maar Gauss was uiteindelijk degene die een complex getal als een punt in het platte vlak voorstelde. Ik citeer hier Morris Kline: "In Article 38 of the paper he not only gives the representation of a + b*i as a point (not a vector as with Wessel and Argand) in the complex plane, but describes the geometrical addition and multiplication of complex numbers." Het gaat hier om een publicatie van Gauss uit 1831.
    In Nederland spreken we in het algemeen over het complexe vlak als het getallenvlak van Gauss, maar in de Angelsaksische literatuur kom je ook wel de termen Argand plane en Argand-Gauss plane tegen.

  34. Anneleen:

    Ik kies ook voor de formule e^{i Pi} + 1 = 0. De twee redenen waarom ik deze vorm verkies boven e^{i Pi} = -1 zijn al min of meer eerder vermeld:

    1) De eerste formule bevat 5 belangrijke constantes uit de wiskunde (misschien wel de belangrijkste?):
    het neutraal element voor de optelling (0), het neutraal element voor de vermenigvuldiging (1), i van de complexe getallen, Pi uit de goniometrie, en de e van exponentiële groei.

    2) Daarenboven bevat het ook de 3 belangrijkste bewerkingen: optelling, vermenigvuldiging, en machtsverheffing!

    De getallen 0, 1 en de optelling komen in de andere vorm niet (of alleszins minder expliciet) voor...

  35. j. maria b. hendriks:

    Ik kies voor de formule e^{i Pi} = -1. De reden:een postitief getal (e) tot een macht verheffen en dan een negatief getal als uitkomst krijgen.

  36. Theo:

    Wiskunde nerds :'(

  37. Arno van Asseldonk:

    Wat is er, Theo? Beetje jaloers misschien omdat jij niets van wiskunde weet en wij wel?

  38. name:

    best of the best it is,

  39. Veritas:

    0 bestaat niet...

  40. Arno van Asseldonk:

    @Veritas: 0 bestaat wel degelijk. Als a een gegeven getal is, dan is het getal 0 te definiëren als dat getal dat de eigenschap a+0 = a heeft.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.