Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Weeg de ballen


In Algemeen,Trivia, door wiskundemeisjes

Een oud raadsel gaat alsvolgt: je hebt negen ballen gekregen en een ouderwetse balans. Een van de ballen is ietsje zwaarder dan de andere en jij wil graag weten welke. Hoe veel keer moet je nu minstens ballen op de balans tegen elkaar wegen om te weten wat de zwaarste bal is? Denk er zelf even over na, voor je gaat opzoeken wat het (verrassend lage) antwoord is. Dit raadsel (met oplossing) staat als een mooi verhaal in The nine yellow balls. Er is ook een moeilijkere variant, waarbij je alleen weet dat een van de negen ballen een ander gewicht heeft dan de rest, je moet nu niet alleen zeggen welke bal dat is, maar ook zeggen of die zwaarder of lichter is dan de rest (de oplossing is in dit geval een tamelijk ingewikkeld weegschema).

balans

Gisteren kwam ik een nieuw "Weeg de ballen"-probleem tegen, met een leuke oplossing. Je hebt nu een stapel met maar liefst 2006 ballen gekregen en zo'n mooie, ouderwetse balans. Van de stapel wegen er 1003 ballen precies 10 gram en de andere 1003 ballen wegen elk 9.9 gram. Jij moet deze ballen in twee stapels van elk 1003 ballen verdelen en deze twee stapels mogen niet hetzelfde totaalgewicht hebben. Hoe vaak moet je nu minstens wegen? Ik verwacht jullie antwoorden in de reacties!
(Ionica)

28 reacties op “Weeg de ballen”

  1. Hermen Jan:

    haha

  2. Arjan Eising:

    Ik waag me alleen aan de eerste ;)
    1) Eerst pak je willekeurig acht ballen, en verdeel je over de twee delen van de weegschaal. Als de weegschaal in evenwicht is, dan is de overgebleven bal de zwaarste. Als er een kant naar beneden zakt, dan pak je die ballen. De andere gooi je weg ofzo.
    2) De ballen die je nu hebt verdeel je weer over de weegschaal: twee aan elke zijde. Wederom pak je de ballen aan de kant die naar beneden zakt.
    3) Je hebt nu nog twee ballen: je kunt ze gewoon wegen en dan weet je welke het zwaarste is.
    Mijn antwoord is dus 3 weegbeurten maximaal. Waarschijnlijk is het fout omdat ik iets over het hoofd zie, maarja ik studeer geen wiskunde o.i.d.

  3. Garmt de Vries:

    Arjan's truc kan nog effectiever toegepast worden: verdeel de ballen in 3 groepen van 3, en weeg er twee. Is een van de twee groepen de zwaarste, dan pak je die, anders zit de zwaarste bal bij het niet gewogen groepje. Weeg twee van de drie ballen, en herhaal bovenstaande methode. Je kunt dus met twee keer wegen volstaan. Uit 27 ballen kun je met drie keer wegen de zwaarste vinden, uit 81 ballen in 4 keer, etc.

    Over de moeilijker variant kan ik me nu uit tijdgebrek niet buigen...

  4. Laurent:

    Nou ja, zoals de vraag geformuleerd is: je moet minstens één keer twee ballen wegen om erachter te kunnen komen. Dat garandeert niets maar dat was de vraag ook niet, hihi. Je KUNT er dan achter komen...

  5. Dick:

    Als Hermen Jans 'haha' slaat op het
    nieuwe “Weeg de ballen”-probleem, dan sluit ik me daarbij graag aan!

  6. Hermen Jan:

    Ja, het sloeg op het nieuwe probleem...

  7. Burnie V:

    Wat 't nieuwe probleem betreft: 't is inderdaad wel heel weinig...

  8. Ionica:

    Applaus voor Garmt die het goed heeft,voor Arjan die al een heel eind in de goede richting was en voor al het gegiechel om het laatste probleem! En omdat ik in een goede bui ben ook een applaus voor Laurent, die de vraag op eigenzinnige (zij het incorrecte) wijze heeft gelezen!

    Vinden jullie het leuk als we vaker wiskundige puzzels/raadsels plaatsen?

  9. Burnie V:

    Natuurlijk! Kwestie van toch een paar grijze cellen aktief te houden... zolang het maar wiskundig verantwoord blijft natuurlijk!

  10. Maarten:

    Maarre, het is toch nogal wiedes, dat het met twee keer wegen kan? Bewijs uit het ongerijmde:
    Er zijn negen balletjes, en als je twee wegingen doet zijn er in totaal negen mogelijke uitkomsten. Dus als het antwoord niet twee was, dan was het probleem niet goed gesteld, en had men wel een andere opgave verzonnen.

    Net zo kan je de variant oplossen met twaalf balletjes, waarvan er eentje te licht of te zwaar is.

  11. Bart:

    De moeilijke variant:

    verdeel de ballen in drie groepen van drie (A1A2A3,B1B2B3,C1C2C3) en leg de groepen A en B op de balans.

    Als de balans in evenwicht is zit de bewuste bal in groep C. Leg nu C1 en C2 op de balans. Bij evenwicht is C3 de bewuste bal en een weging met C1 en C3 volstaat. Is C1 en C2 niet in evenwicht leg dan ook C1 en C3 op de balans en het resultaat is duidelijk. (3 wegingen)

    Is de balans niet in evenwicht (Bij A en B), dan bestaat groep C volledig uit standaardballen. Stel nu dat groep B zwaarder is dan groep A (dit doet niks af aan algemeenheid).

    Neem dan nu bal B1 en B2 en weeg die tegen bal C1 en C2. De balans is nu of in evenwicht of B1B2 is zwaarder dan C1C2.

    Als B1B2 zwaarder is dan hoeven we alleen nog B1 tegen B2 te wegen en we weten welke zwaarder is.

    Als B1B2,C1C2 in evenwicht is neem dan de groepen B3C3 en A1A2. C3 is zeker een standaard bal dus als er evenwicht is zijn B3,C3,A1 en A2 allen even zwaar en is A3 de lichtere bal.

    Is B3C3 zwaarder dan A1A2 dan is of B3 de zwaardere of A1 of A2 de lichtere. Een meting tussen A1 en A2 volstaat dan. Bij evenwicht is B3 de zwaardere, anders is ofwel A1 ofwel A2 de lichtere.

    3 metingen volstaan dus.

  12. Bart:

    Maar dit kan ook makkelijker (volgens mijn vriendin)

    3 groepen, weeg A en B en vervolgens A en C en je weet welke groep lichter dan wel zwaarder is en of hij lichter of zwaarder is.

    pak 2 willekeurige ballen uit die groep en je weet welke bal het is.

    Blijft 3 wegingen.
    Ze studeert overigens geschiedenis wat maar weer eens aangeeft dat wisko's af toe veel te moeilijk denken...

  13. borretje:

    Ik zit deze site vaker te bekijken maar ik ga nu toch eens reageren.

    Heerlijke post dit zeker na het verhaal gelezen te hebben. Mijn eerste keuze was zoals de 'brighter courtier' zei. Acht wegingen.

    De uitleg hoe het in twee wegingen te doen is gewoon brilliant gevonden.

    Ga zo door trouwens wiskunde dames ;)

  14. Ionica:

    Tweemaal chapeau voor Bart! Ik was tot dezelfde lange oplossing gekomen en mijn collega Sierk trouwens ook al. Die tweede oplossing is echt heel mooi en elegant! Waarom komen wiskundigen daar niet op? Voortaan zal ik een een historica bellen als ik vast zit met mijn onderzoek...

  15. dion:

    @[moeilijke variant]:
    Ehm... ik weet niet of ik dit goed lees, maar als je 1003 ballen hebt die allemaal 0.1gr lichter zijn dan de overige 1003 dan kun je toch nooit 2 stapels maken van 1003 ballen die even zwaar zijn? toch?
    Je beste verdeling levert namelijk altijd nog een verschil van 0.1gr op!

  16. rianne:

    hihih ik heb liever geen ballen

  17. me:

    ik ook liever niet iets anders wel :P

  18. Albert:

    Volgens mij heeft Dion gelijk, het kan met NUL keer wegen!

  19. Wouter:

    Ik heb nu hetzelfde probleem (de tweede variant, dus zwaarder of lichter) maar dan met 12 ballen...

  20. Vincent:

    Ja dat was jarenlang mijn favoriete probleem. Helaas ben ik de oplossing vergeten...

  21. Ionica:

    Met 12 ballen kan het ook in drie keer wegen!

  22. Johan:

    Nu met n ballen. ;)

  23. Vincent:

    ...waarvan er k zwaarder of lichter zijn.

  24. Wiskundemeisjes » Tip van de dag: Wolfram Demonstrations Project:

    [...] Op The Wolfram Demonstrations Project staan meer dan 1200 van dit soort programmaatjes die allerlei wiskundige dingen laten zien: van het vermoeden van Goldbach tot de woorden je kunt maken van je telefoonnumer. En van het drie-deuren-probleem tot Penrose tegelingen. Voor bijna elk onderwerp dat je kunt verzinnen, staat er wel iets moois! Om ze te bekijken, moet je even de gratis Mathematica Player downloaden. Daarna kun je genieten van demonstraties in categorieën als Number Theory, Recreational Mathematics of Art. In de categorie Puzzels vind je trouwens ook hoe je kunt bepalen welke van de twaalf ballen zwaarder of lichter is dan de rest… [...]

  25. pat:

    voor die 12 ballen waarvan er 1 meer OF minder weegt is de oplossing:
    - 1. 3 groepjes van 4 ballen
    Groepje A: A1,A2,A3,A4
    Groepje B: B1,B2,B3,B4
    Groepje C: C1,C2,C3,C4

    1ste weeging: Groep A/B
    - indien gelijk = Lichtere of zwaarder in C (even logisch nadenken en dan moet dat geen probleem zijn)
    - indien niet gelijk (vb A naar beneden en B naar boven)

    2de weeging:
    Van groep A en B neem je er 2 en langs de andere kant leg je er nog 1 van A en 1 van B en vult aan met groep C
    (vb A1,A2,B1,B2 / A3,B3,C1,C2)
    - als het gelijk blijft heb je nog 1 beurt om A4 of B4 eruit te halen (verglijk met C)
    - indien het in onevenwicht is (vb linkerkant naar beneden en rechterkant naar boven)dan weet je dat ofwel A1,A2 de afwijkende bal (zwaarder) is, ofwel B3 (lichter)
    !! indien linkerkant omhoog gaat = analoog!!

    3de weeging:
    - A1 en B3 leggen we links en rechts 2 van C (C1 en C2)
    - indien het gelijk blijft is A2 de afwijkende bal
    - indien de weegschaal naar links gaat, is A1 de afwijkende zwaardere bal
    - indein de weegschaal naar rechts gaat is B3 de afwijkende lichtere bal

    mvg
    patrick

  26. Jan de Jong:

    Jaren geleden heb ik een elegante oplossing van het twaalfballenprobleem gelezen, maar ik kan me absoluut niet meer herinneren in welk boek. Het gaat dus om drie keer wegen met een balans om te bepalen welke van twaalf ballen een afwijkend gewicht heeft.
    Wanneer we van elke bal noteren waar hij successievelijk wordt neergelegd, dan zien we dat er 27 combinaties zijn van de letters l, r en n (waarbij l staat voor links op de weegschaal neerleggen, r voor rechts neerleggen, n voor niet op de weegschaal leggen). Zo betekent llr: bij eerste weging links op de weegschaal, bij tweede weging ook links, bij derde weging rechts op de weegschaal leggen.
    De weegresultaten geven we ook weer d.m.v. combinaties van drie letters, nl. L, R en N. Hierbij staat L voor: links is zwaarder, R voor: rechts is zwaarder, N voor: neutraal (evenwicht).
    Hoe kunnen we nu een bepaald weegresultaat koppelen aan een uniek neerlegpatroon? Oppassen geblazen: zo zal het resultaat LNR corresponderen met bal lnr als die zwaarder is, maar met bal rnl als die lichter is.
    We moeten dus alle rln-combinaties opdelen in paren van twee waarbij r en l verwisseld zijn; bijv. rll en lrr. Van elk paar mag slechts 1 combinatie gebruikt worden.
    We moeten dus uit twaalf (de combinaties lll, rrr en nnn zijn niet zinvol) paren van drietallen twaalf keer een keuze maken. Daarbij moet ervoor gezorgd worden dat er bij elke weging evenveel ballen links als rechts op de weegschaal komen te liggen.
    Dit valt het eenvoudigst te bereiken door een willekeurig drietal te kiezen, bijv. lln en dan de letters cyclisch te verwisselen: l->r->n. Dat geeft de combinaties rrl en nnr. Tegelijkertijd schrappen we de "gespiegelde" combinaties rrn, llr en nnl.
    Van de overgebleven combinaties kiezen we er weer een willekeurig uit en herhalen de bovenstaande procedure.
    Dit geeft bijvoorbeeld het volgende resultaat:
    1)lln 2)rrl 3)nnr 4)lrl 5)rnr 6)nln
    7)lrn 8)rnl 9)nlr 10)lnn 11)rll 12)nrr
    De wegingen zien er dus als volgt uit:
    1,4,7,102,5,8,11 3,6,9,12
    1,6,9,112,4,7,12 3,5,8,10
    2,4,8,11,-->3,5,9,12 1,6,7,10
    Elk weegresultaat is nu eenduidig te herleiden tot een bepaald balnummer, bijv. RLR betekent dat bal 4 lichter is.

    P.S. Eenvoudig te beredeneren valt dat de ballen bij de eerste weging 4,4,4 verdeeld moeten worden.
    Elke weging geeft 3 mogelijke resultaten (L,N en R), dus twee wegingen 9 mogelijke uitkomsten (LL, LN enz.)
    Wanneer je bij de eerste weging bijv. 6 ballen links en 6 ballen rechts legt en het resultaat is L, dan kan een van de 6 ballen links zwaarder zijn of een van de zes ballen rechts lichter, in totaal dus 12 mogelijkheden; de overgebleven twee wegingen geven slechts 9 verschillende uitkomsten, zodat daarmee nooit 12 gevallen onderscheiden kunnen worden.
    Ook 5 links, 5 rechts en 2 ernaast geeft bij geen evenwicht 10 mogelijkheden.
    Wanneer je echter op deze manier doorgaat, verdwaal je al gauw in een onoverzienbaar woud van mogelijkheden.
    Het zoeken naar de correspondentie tussen lnr-combinaties en LNR-combinaties is dan duidelijk efficienter.

  27. Vincent:

    Om te beginnen moeten we de vraag goed lezen, want er staat:

    "Hoe veel keer moet je nu MINSTENS ballen op de balans tegen elkaar wegen om te weten wat de zwaarste bal is?"

    Het juiste antwoord is dus: Minstens 1 keer.

  28. BestElvin:

    I see you don't monetize your website, don't waste your traffic,
    you can earn extra cash every month because you've got
    high quality content. If you want to know how to make
    extra $$$, search for: Ercannou's essential adsense alternative

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.