Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Khinchin en kettingbreuken


In Algemeen,Geschiedenis, door wiskundemeisjes

khinchin

Vandaag is het precies 112 jaar geleden dat Aleksandr Yakovlevich Khinchin in Rusland werd geboren. Hij bewees een mooie stelling over kettingbreuken en toevallig houd ik heel erg van kettingbreuken, dus de verjaardag van Khinchin (al is de beste man inmiddels overleden) leek me een mooie aanleiding om eens iets over kettingbreuken te vertellen.
Een kettingbreuk heeft niets te maken met fietskettingen: het is een breuk in een breuk, in een breuk, enzovoorts. Je hebt verschillende vormen kettingbreuken, maar een 'gewone' kettingbreuk ziet er zo uit:

kettingbreuk

De coefficienten ai zijn gehele positieve getallen, alleen a0 mag negatief zijn als x dat ook is. Je vindt die getallen ai door steeds het algoritme van Euclides te gebruiken (waarmee je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen).

Benaderingen (met een voorbeeld om het duidelijk te maken)
Het leuke is dat je elk getal x als een kettingbreuk kan schrijven. En als dat getal x zelf niet als een gewone breuk te schrijven is (dat is bijvoorbeeld waar voor pi, wortel 2 en de gulden snede), dan gaat die kettingbreuk oneindig lang door. Je kan zo'n oneindige lange kettingbreuk dan afkappen om een benadering te vinden voor je getal x en dit geeft een reeks steeds beter wordende benaderingen.

Zoals de tussenkop al zegt, zal ik het proberen duidelijk te maken met een voorbeeld. Laten we eens kijken naar benaderingen voor pi ≈ 3.14159. De kettingbreuk voor pi begint als volgt:

pifrac

De eerste afgekapte kettingbreukbenadering voor pi is 3, wat niet zo'n goede benadering is. De tweede benadering is 22/7 ≈ 3.14285. Deze benadering wordt op school vaak gebruikt en heeft de eerste twee decimalen van pi al goed. De volgende benadering is 333/106 ≈ 3.14151 en die doet de derde en vierde decimaal ook goed. Met elke volgende stap worden de benaderingen een stukje beter.

Voor ik het resultaat van Khinchin geef, nog een leuk feitje over kettingbreuken. Als je de kettingbreuk voor de gulden snede berekent, dan krijg je een kettingbreuk met alleen maar enen:

guldenbreuk

Daardoor is de gulden snede het moeilijkste getal om te benaderen met breuken. Zou dat de reden zijn dat mensen zo van deze verhouding houden?

De constante van Khinchin

Aleksandr Khinchin bewees dat voor bijna elk getal x geldt dat het meetkundige gemiddelde van de getallen ai in zijn kettingbreuk gelijk is aan een constante:

khinchinformule

Die constante Ko heet de constante van Khinchin en is ongeveer gelijk aan 2.68545. Dat 'bijna elk getal' klinkt misschien een beetje vaag, maar voor wiskundigen is dat een heel helder gedefinieerd begrip. En dat zoiets als hierboven geldt voor bijna elke x is echt een mooi resultaat.

Dit stukje is te kort om echt veel te vertellen, maar wie meer wil weten over kettingbreuken kan eens kijken op Continued Fractions...an introduction.

In mijn eigen onderzoek werk ik trouwens aan multidimensionale kettingbreuken. Het probleem is nu om niet één getal, maar een heel rijtje getallen tegelijk met breuken te benaderen. En daarbij wil je ook nog dat elke benaderingsbreuk dezelfde noemer heeft. Waarom dat handig is en hoe je die schattingen kunt vinden, zal ik vertellen in een latere post!

(Ionica)

6 reacties op “Khinchin en kettingbreuken”

  1. Vincent:

    nul reacties op zo'n interessant onderwerp, dat kan natuurlijk niet! Daarom hier even een equivariante Liebesgeschichte

    Ik ben momenteel in Duitsland en heb daar een meisje ontmoet (om het verhaal wat sappiger te maken) dat vertelde hoe Emil Artin kettingbreuken gebruikte om te laten zien dat het beeld van sommige geodeten in het hyperbolische vlak dicht komt te liggen na uitdelen naar de obvious SL(2, Z) actie. We waren in een geanimeerd gesprek, met wat duits bier en volle maan etc (om het verhaal nog sappiger te maken) hard op weg dit resultaat iets te verscherpen, maar toen, zoals dat vaak gaat met meisjes waarmee ik geanimeerde gesprekken voer bij volle maan, viel ze in slaap en daarna verdween ze op mysterieuze wijze uit mijn leven. Desondanks blijven bij iedere volle maan de geodeten door mijn hoofd spoken, dus... heb jij als kettingbreuk expert misschien ooit van deze toepassing gehoord? Misschien hebben wij meer succes....

  2. Ionica:

    Wat een spannend verhaal Vincent! En wat een teleurstellend einde... Ik ben niet zo thuis in de geodeten, maar over kettingbreuken en het hyperbolische complexe bovenhalfvlak weet ik wel allerlei leuke dingen te vertellen. Misschien kan ik binnenkort zelfs een nieuwe dimensie aan je verhaal toevoegen, want ik ben toevallig net van plan om het artikel Geodesic multidimensional continued fractions te bestuderen. Laten we eens iets afspreken, als jij voor de volle maan zorgt, dan neem ik het Duits bier mee.

  3. Vincent:

    Ha Ionica,

    dat klinkt goed! De eerst volgende volle maan is op woensdag 9 augustus volgens het internet, maar zoals we allemaal weten betekent dat dat het op 9 september weer volle maan is. En toevallig ben ik dan in Delft om piano te spelen dus misschien kun jij me dan alle geheimen van die mooie stad laten zien?

    Ik ben trouwens dat meisje nog een keer tegengekomen (toen het hele kasteel al was leeggelopen en iedereen in de warme trein naar zijn of haar huis zat, bleek dat alleen zij en ik nog over waren. Maar niet voor lang want ook onze treinen stonden klaar om onherroepelijk in tegengestelde richtingen weg te rijden op weg naar de eeuwigheid...) Het leuke was dat ze dit keer pen en papier bij zich had en iets duidelijker kon vertellen wat de stelling van Artin is. Het is ongelooflijk!

    Kies je favoriete fundamentaalgebiedje in het bekende bovenhalfvlakplaatje met die bogen en lijntjes. Kies een punt op de muur en laat er een geodeet uit ontspruiten. Voor de grap kijken we eerst even wat er gebeurt als niemand hem tegenhoudt. Als het goed is komt hij na precies oneindig veel tijd ergens op de reele as terecht in een punt dat we beta noemen.

    Maar nu!

    Stel we zeggen dat we helemaal geen bovenhalfvlak hebben, maar dat we echt hebben uitgedeeld naar de SL(2,Z)-actie, dan betekent dat dat wanneer onze jonge geodeet het fundamentaalgebied uitloopt hij floep ergens anders weer op de muur begint en vrolijk verder loopt tot dat hij bij een andere muur komt en floep daar wordt hij weer terug in de tijd gewarpt. Wat een leven...

    Dit gaat eeuwig zo door, als in een slechte tekenfilm, en telkens heeft hij twee mogelijkheden om (te proberen) uit het fundamentaalgebied te ontsnappen: aan de onderkant O of aan de zijkant Z. Als we bijhouden wat hij kiest krijgen we een rijtje OOZZZZOZZOOZZZZZ etc, wat we iets sneller kunnen samenvatten met een rijtje getallen: 2,4,1,2,2,5 etc in dit geval, ik heb me ooit laten vertellen dat dit ook in een mp3 speler gebeurt. Hoe dan ook, het wonder is: dit rijtje getallen is precies de kettingbreukexpansie van beta!!! Ongelooflijk niet waar? Nou ja, misschien vind jij het volkomen vanzelfsprekend, maar voor mij kwam het nogal uit de lucht vallen. Als je me meer kunt vertellen over waarom dit waar is (of een ander sappig verhaal over kettingbreuken of de liefde in het algemeen) hoor ik het natuurlijk graag!

  4. Ionica:

    Beste Vincent, daar begin je zo\'n wiskundewebsite natuurlijk voor: om afspraakjes bij volle maan te krijgen waarbij je over geodeten en kettingbreuken mag praten...

    Jammer genoeg ben ik 9 september niet in Delft. Niet alleen omdat ik nu in Leiden woon, maar ook omdat ik die dag naar de inauguratie van Mark Peletier in Eindhoven ga.

    Je verhaal over de stelling van Artin is reuze-interessant. Ik geloof dat ik de details nog niet helemaal begrijp, maar dat kan komen omdat ik niet weet wat echt uitdelen naar de SL(2,Z)-actie inhoudt. Toch kan ik me er wel iets bij voorstellen, want het lijkt een beetje op iets wat gebeurt in het
    gewone vlak.

    Pak er even een vel met ruitjes van 1 bij 1 centimeter bij en teken vanaf een hoekpunt linksonder een lijn met een irrationale helling alfa (in het gewone vlak gebruiken we liever alfa dan beta). Deze lijn gaat nu nooit meer door een ander roosterpunt en blijft steeds horizontale en verticale roosterlijnen snijden. Je kunt deze rij snijpunten noteren als VVHVVVHVVVVH... Waarbij H vanzelfsprekend staat voor een snijpunt met een horizontale lijn en V voor een \'verticaal\' snijpunt.

    Dit rijtje heeft ook allerlei supergave eigenschappen, het is bijvoorbeeld een Sturmse rij. Maar (je raadt het al) je kan ook de kettingbreukbenadering van alfa eruit halen! Ongeveer op dezelfde manier als die jij beschrijft, maar ik herinner me de details niet op dit moment. Ik heb er wel eens een praatje over gegeven, zal ik de aantekeningen eens opzoeken? Of wist je dit allemaal al?

  5. rene:

    vincent en ionica, wat is dit allemaal?
    Een lesje (on)opvallend vleien voor wiskundigen op internet..? Blijkbaar hebben jullie hebben op het gebied van flirten nog weinig lessen gehad...

  6. Joanne:

    In de kettingbreuk van pi in het stuk over Khinchin is het 5de getal 292. Hoe komen jullie daaraan? Het staat ook in Wikipedia. Maar ik kom op 293. Wat doe ik fout? Of is 292 fout. Ben benieuwd. Groet, Joanne

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.