Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

(Bijna) Alle getallen zijn bijzonder


In Algemeen,Trivia, door wiskundemeisjes

Je kan 'bewijzen' dat elk getal bijzonder is: stel maar eens dat er een kleinste getal is, dat niet bijzonder is. Dat is ook een speciale eigenschap, dus dit getal is toch bijzonder!

Het bovenstaande werkt stiekem toch niet zo goed, maar voor wiskundigen zijn toch bijna alle getallen bijzonder. De bekendste anekdote gaat over 1729. De Indiase wiskundige Ramanujan lag ziek op bed en Hardy kwam bij hem op bezoek. Hardy vertelde dat hij een taxi met nummer 1729 had genomen en dat hij het jammer vond dat dit zo'n saai getal was. "Nee, het is juist een heel interessant getal", antwoordde Ramanujan: "1729 is het kleinste getal dat op twee manieren als de som van twee derdemachten geschreven kan worden."

Op de website What's special about this number? kun je van een heleboel getallen onder de 10000 vinden waarom ze bijzonder zijn. De wiskundemeisjes selecteerden een paar highlights:

18 is het enige getal dat gelijk is aan twee maal de som van zijn cijfers.

121 is het enige bekende kwadraat van de vorm 1 + p + p2 + p3 + p4, waarbij p een priemgetal is.

432 = (4) (3)3 (2)2.

1160 is het maximaal aantal stukken dat je uit appel kan krijgen met 19 keer snijden.

2520 is het kleinste getal dat deelbaar is door 1 tot en met 10.

9973 is het grootste priemgetal dat uit vier cijfers bestaat.

(Ionica)

40 reacties op “(Bijna) Alle getallen zijn bijzonder”

  1. Camiel:

    Vergeet 69 niet! Dat is het enige getal waarbij je om het kwadraat en de derdemacht te schrijven alle getallen van 0 tot en met 9 eenmaal nodig hebt.

    En het was ook het grootste getal waarvan mijn middelbareschoolcalculator de faculteit kon uitrekenen (69! ≈ 1.71x10^98)(ja, ik verveelde me op de middelbare school).

  2. Steven:

    @Camiel: Dat was dan zeker een good old TI-30(X)? Heel herkenbaar :-)
    Verder is dus volgens dat lijstje 226 het kleinste niet-bijzondere getal, wat het dus toch weer bijzonder maakt....

  3. Jos:

    \"Je kan \"bewijzen\" dat elk getal bijzonder is: stel maar eens dat er een
    kleinste getal is, dat niet bijzonder is. Dat is ook een speciale eigenschap,
    dus dit getal is toch bijzonder!

    Het bovenstaande werkt stiekem toch niet zo goed,...\"

    Ik ben het helemaal met de laatste uitspraak eens. Ik heb zelfs een bewijs
    dat die laatste uitspraak correct is.

    Definitie:
    Een (geheel) getal n is bijzonder als het kan worden gekarakteriseerd door
    een zin die begint met:

    \"n is het kleinste getal \"

    waarbij de rest van de zin bestaat uit letters en een beperkt aantal andere
    tekens zoals komma\'s, spaties, punten en haakjes. De totale verzameling
    verschillende tekens is eindig (eventuele rare wiskundetekens als integralen
    en matrices kunnen gerepresenteerd worden door hun (la)tex-commando\'s).

    Merk op:
    Deze definitie is compatibel met het bewijs dat elk getal bijzonder is, niet
    met de beschrijvingen van de getallen op de genoemde webpagina.

    Stelling:
    Er bestaat een getal dat niet bijzonder is.

    Bewijs:
    Stel elk getal n is bijzonder. Er is dus voor elk getal een beschrijving van
    dat getal van een bepaald soort. Er is dus ook een kortste beschrijving, want
    er is er een en dus de verzameling van alle beschrijvingen korter dan die ene
    is eindig.

    Definieer nu het getal x door:

    x is het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving langer is dan deze
    beschrijving.

    Stel dat x bestaat, dan is de kortste beschrijving van x langer dan degene
    die hierboven staat, maar degene die hierboven staat is niet langer dan
    zichzelf en ook een beschrijving van x. Tegenspraak, dus x bestaat niet.

    Dus elk getal heeft een beschrijving die ten hoogste 87 tekens bevat en omdat
    er maar eindig veel mogelijke tekens zijn, zijn er maar eindig veel getallen.
    Tegenspraak (We weten dat er oneindig veel getallen zijn, immers bij de oude
    Grieken was al bekend dat er oneindig veel priemgetallen zijn, en de
    priemgetallen zijn een deelverzameling van de getallen.)

    Dus niet elk getal heeft zo\'n beschrijving, ofwel niet elk getal is bijzonder.

    Merk op:

    Dit bewijs maakt gebruik van hetzelfde principe als het bewijs dat alle
    getallen bijzonder zijn. Dus als dat bewijs correct is, is mijn bewijs dat
    ook.

    Conclusie:

    De uitspraak \"Het bovenstaande werkt stiekem toch niet zo goed,...\" is correct.

  4. Han:

    whoa @Jos
    respect voor dit bewijs!

  5. anoniempje:

    Waar is 1729? Als ik het goed heb hebben jullie ook nog een stukje over Ramanujan geschreven.

  6. Vincent:

    Hoi Jos,

    ik denk dat ik de fout in je bewijs heb gevonden: je zegt dat er oneindig veel getallen zijn, omdat er volgens de oude Grieken oneindig veel priemgetallen zijn en priemgetallen een deelverzameling van alle getallen vormen.

    Maar zoals je ongetwijfeld ook weet steunen alle bewijzen van dit laatste feit zwaar op het gegeven dat ieder getal groter dan 1 deelbaar is door een priemgetal. Zonder in detail over de bewijzen te treden kunnen we dus wel concluderen dat ergens is aangenomen dat er oneindig veel getallen groter dan 1 zijn om te bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Een beetje cirkelvormig niet waar?

    Sterker nog: we kunnen jouw bewijs gebruiken om aan te tonen dat er slechts eindig veel getallen zijn: als er oneindig veel getallen zijn bestaan er volgens jouw bewijs een niet nader te noemen aantal niet bijzondere getallen. En dus, volgens een bekend principe, bestaat er ook een kleinste niet bijzonder getal, dat bij jouw (eindige) definitie zelf een bijzonder getal moet zijn, tegenspraak. Kortom: er zijn slechts eindig veel getallen.

    Dit roept natuurlijk de vraag op: wat is het grootste getal. Zover ik weet is dit nog een open vermoeden maar ik las laatst iets dat Tijdeman had laten zien dat bijna alle getallen kleiner zijn dan e^e^e^e^e^e^183. (Dat 'bijna' klinkt misschien wat vaag, maar in wiskunde is het heel precies gedefinieerd). Weet jij hier soms meer van Ionica?

    PS Jos, wat is de wiskundige formulering van wat hier mis gaat? De klasse van getallen die aan jouw definitie voldoen is geen verzameling oid?

  7. Jeanine:

    @ anoniempje: In de tweede alinea van ditzelfde stukje heeft Ionica al over Ramanujan & over 1729 geschreven.

  8. Jeanine:

    @ Vincent: Je kan dus blijkbaar beschrijvingen van getallen geven die lijken op een beschrijving van een verzameling door te zeggen: V is de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. Bevat deze verzameling V? Paradox!

    Uit Jos' argument blijkt dat je bij het definiëren van getallen dus ook kritisch moet zijn en dat je moet controleren of je beschrijving niet bij voorbaat al een dergelijke paradox door zelfreferentie oplevert. En vage termen als "een beschrijving van een getal" helpen daar niet echt bij, want hoe definieer je wiskundig wat een beschrijving van een getal is? Ik vermoed dat daar de zwakke plek zit.

  9. Camiel:

    "Dat ‘bijna elk getal’ klinkt misschien een beetje vaag, maar voor wiskundigen is dat een heel helder gedefinieerd begrip."

    Deze zin stond ook al in het kettingbreukenstuk, en ik word langzaamaan toch wel benieuwd wat dan die heldere definitie van 'bijna' is...

    En hebben jullie wisko's ook een heldere definitie voor 'een beetje zwanger', 'bijna dronken' en voor 'een snufje zout'?

  10. Jeanine:

    @ Camiel: Inderdaad, dat is een goede vraag.

    In de getaltheorie en algebra betekent \"bijna alle getallen\" meestal \"op eindig veel na\". Dus als je zegt: \"Bijna alle even getallen zijn niet priem,\" dan bedoel je te zeggen: \"Op eindig veel uitzonderingen na zijn alle even getallen niet priem.\" En dat eindige aantal uitzonderingen bestaat in dit geval natuurlijk uit maar een getal: het priemgetal 2.

    (Terzijde: ik leg deze definitie van \"bijna alle\" ook altijd uit tijdens werkgroepen. Het is heel vermakelijk om het werkcollege daarna te beginnen met: \"Jullie hebben bijna allemaal een voldoende gehaald.\")

    Maar in het kettingbreukenstuk van Ionica bedoelt ze weer iets anders. In dat geval gaat het er volgens mij om dat de verzameling uitzonderingsgetallen maat 0 heeft, oftewel een nulverzameling is. Maattheorie is een beetje technisch, zie voor meer informatie maattheorie in Wikipedia.

  11. sierk:

    Volgens mij is het probleem in het bewijs dat Jos geeft voor zijn stelling dat ieder getal misschien wel een kortste beschrijving heeft, maar dat je deze beschrijving nooit kan vinden, en dit ook niet mag aannemen. De reden hiervoor is dat wanneer je een "kortste" beschrijving hebt gevonden voor een volgend getal, dit de "korste" beschrijvingen van de eerdere getallen beinvloedt en mogelijk korter maakt.
    Je kan het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving 88 tekens bevat principieel onmogelijk bepalen en er daarom niets over zeggen.

  12. Camiel:

    @sierk,

    Volgens mij is het probleem in het bewijs van Jos dat hij uitspraken over wiskunde in getallen (aantal woorden) gaat uitdrukken en met die getallen weer wiskundige bewijzen gaat afleiden.

    Pas maar op! Als je aan dat soort verwarringen begint, bewijs je straks nog dat er fundamenteel onbewijsbare stellingen zijn, en dan kunnen we allemaal wel ophouden met het construeren van ons sluitend overkoepelend axiomatisch wiskundig systeem!

  13. HJ:

    "... dat er fundamenteel onbewijsbare stellingen zijn, en dan kunnen we allemaal wel ophouden met het construeren van ons sluitend overkoepelend axiomatisch wiskundig systeem!"

    Eeuh? Was die hoop in 1931 al niet door Gödel de grond in geboord, of heb ik iets niet begrepen?

  14. Jeanine:

    @ HJ: Jazeker, maar Camiel is het op de een of andere manier niet zo eens met die stelling, zie ook zijn commentaar op ons stukje over Gödel (sorry, linkje werkt even niet).

    @ Camiel: Gödel heeft laten zien dat het kán, uitspraken over wiskunde in getallen uitdrukken; in Jos\' geval ben ik daar niet helemaal van overtuigd. ;-)

    Zo, en nu ga ik lekker op vakantie. Tot volgende week!

  15. Vincent:

    @Sierk

    0 is het kleinste getal dat met 1 teken beschreven kan worden

    0 is het kleinste getal dat met 2 tekens beschreven kan worden

    0 is het kleinste getal dat met 88 tekens beschreven kan worden

    Hoezo kan ik die getallen niet vinden?

  16. Forumspammer91:

    Wat zijn jullie geweldig!

  17. Vincent:

    Nog even een heel ander vraagje:

    is 121 het enige kwadraat van de vorm 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 met p priem of "zelfs" het enige kwadraat van de vorm 1 + p + ... + p^n met p priem?

  18. Camiel:

    Van wikipedia:

    There are no squares besides 121 known to be of the form 1 + p + p2 + p3 + p4, where p is prime (3, in this case). There are only two other squares known to be of the form n! + 1.

    @HJ,
    ja, dat was een grapje, sorrie. Ik zal niet meer posten als ik op vrijdagavond thuiskom. (hoewel, jij maakt het nog later...)

  19. Vincent:

    Dit is niet echt een antwoord op de vraag, maar ik moet wel zeggen dat ik zelf niet eens in staat was het wikipedia artikel te vinden (duidelijk geen generatie Einstein). De vraag fascineert me wel. De gevallen p = 2, p = 5, p = 17, p = 37, p = 101 etc kunnen we uitsluiten dankzij de stelling van Catalan, maar er blijven nog genoeg priemen over waar ik geen idee heb. Iemand? Jeanine, jij weet toch veel van dit soort dingen?

  20. Vincent:

    @Jeanine: leuk en aardig over die verzamelingen die geen element van zichzelf zijn (zoals de verzameling van lantaarnpalen) en verzamelingen die wel element van zichzelf zijn (zoals de verzameling van niet-lantaarnpalen), daar kunnen we inderdaad uren over praten, maar het leidt alleen maar de aandacht af van de echt wezenlijke vraag die al eerder aan de orde was. Wat is het grootste getal?

    Er zijn geruchten dat een onbekende Bulgaarse wiskundige het onlangs gevonden heeft en op het aankomende ICM bekend zal maken. Tijd dus om even een poule te beginnen. Wie er het dichtste bij zit krijgt een ijsje.

    Ik zet mijn geld op:

    2^673182639283541230982346934582945026458122459723450982345789345879023458792034597824350923457823450923485720439587234509872345987342598723457829245098723450982345782093450923485772438590239458724350982345713487192349801234789102349871234781923049874453982345734269875239485asdf132141234987612394876123498762135621374823146782346711234896132467819238476273467382918234763728198123476738419283746731829487612347819234871236471229348712361293847619238746912837469182734698123764912836491273246921873649187324691286439812363498213746293876489127469726491238347623897462318794632478961239476231974862318974623879462317894623784623789462378946234978621387496213748623178946217839648732964273819468273946237896432789462317848932162431893421798461928374619872634782666666666666666661232498712346918732691872346213874612987346213846291834621398746218374632789632784698712623461238974623187946328794621397846231874632789462783194623874687293673286481279346378291463278964829734621783643219874639128746219387463287946238794612783946231789462378964278364278316473864832796472318462837462387462387462318794632187946231789642378963287946231789643278964327863278643289746287394612793864912783462379846238791643289746239847632897462139874623178462173894632987463281794632897462893746231879463219876438729468913241234982376496918723648762834876234862384682376487236482736487236428736428376428468327468723487126348721634872364876234827346827364872364872364827364283764837648273648273462873462386
    -1

  21. Vincent:

    Aaaah

    Ik heb net een uitgelekte versie van het bewijs gevonden en het blijkt dat ik er nogal ver vanaf zit.

    Het goede antwoord is:

    1 is het grootste getal.

    Bewijs:

    Stel x is het grootste getal.

    Dan is x^2 zeker kleiner/gelijk x (want alles is kleiner/gelijk x)

    Dus

    x^2 =

  22. Camiel:

    Ha, dan zet ik mijn geld op dat getal van Vincent zonder de -1. Sterker nog, op dat getal +1. Of ontploft dan het heelal?

    Over priemen, het is inderdaad geen antwoord op de vraag, ik had je vraag anders gelezen. Maar als het tweede, sterkere geval van je vraagstelling bewezen was, dan hadden ze dat hier wel vermeld, toch?

    @jeanine: Verder had ik nog een vraag. Ik zocht even mijn geboortejaar op: 1980 is the number of ways to fold a 2×4 rectangle of stamps.
    Nu heb ik het even geprobeerd, en ik eindig in de 10-tallen. Ze vouwen toch wel netjes over de priklijn? Wat doe ik verkeerd? Ik heb het probleem even gegoogled, en Catalan heeft ook hier een vinger in de pap (Francois Lucas heeft het bewezen). Verder begrijp ik er niets van.

  23. Ionica:

    @ Vincent: wat is er toch met dat grootste getal? We weten toch allemaal dat er geen grootste getal bestaat!

    @ Camiel: Jeanine is op vakantie. Ik ben niet zo thuis in postzegels vouwen, Catalan en Lucas. Het kan trouwens best zijn, dat er een fout staat op de getallenpagina. Ik had ergens anders ook een fout gespot en doorgemaild. Daar moest een cirkel veranderd worden in een bol. Misschien bedoelen ze hier wel bolvormige postzegels???

  24. Vincent:

    ah ik zie dat er iets misgegaan is

    De rest van het bewijs:

    x is het grootste getal, we vinden

    x^2 = x

    deel nu door x en we vinden:

    x = 1

    QED

    Ik zat er dan toch nog iets (namelijk 2) dichterbij het goede antwoord. Het ijsje is dus voor mij....

    @Ionica: hoezo geen grootste getal? Jos bewijst hierboven dat er maar eindig veel getallen zijn. Dan lijkt mij dat er ook een het grootste moet zijn, of zie ik iets heel doms over het hoofd?

  25. Vincent:

    bleuh

    Ik kan dit soort moeilijke bewijzen nooit goed reconstrueren.

    Het moet natuurlijk zijn:

    x^2 == 1

    zodat inderdaad

    x = 1

    QED

  26. Vincent:

    he?!?!!

    Dit is helemaal niet wat ik intypte
    ik wordt automatisch gecensureerd?!?!

    kan iemand de vorige reactie verwijderen?

    Hier nogmaals een poging tot de goede versie nu zonder wiskundige tekens:

    Stel x is het grootste getal

    x^2 is ook een getal dus x^2 is kleiner gelijk x

    Deel nu aan beide kanten door x.

    We vinden:

    x kleiner gelijk 1

    maar omdat x het grootste getal is en dus ook groter gelijk 1 volgt

    x = 1

    QED

  27. Vincent:

    ha nu werkt het wel.

    Kan de website het volgende tekens soms niet aan?

    ==

  28. Vincent:

    ja...

    volkomen idioot

    Eens kijken wat het patroon is.

  29. Vincent:

    hahaha

    ik heb het door

    als je een zin tussen hoekige haakjes typt komt hij niet in beeld.

    Dat is leuk...

    Nu kan ik allemaal verschrikkelijke dingen zeggen zonder dat iemand het ooit leest...

  30. Ionica:

    Zeg Vincent, moet je niet eens aan je eigen onderzoek gaan werken?

  31. Jos:

    Vincent,

    Nee, ik heb niet bewezen dat er eindig veel getallen zijn. Ik heb bewezen dat als het bewijs dat elk getal bijzonder is correct is, dat dan dezelfde methode gebruikt kan worden om te bewijzen dat er een getal bestaat dat niet bijzonder is, wat een tegenspraak oplevert. Dus het bewijs dat alle getallen bijzonder zijn is niet correct. En daarmee ook mijn bewijs dat er een niet-bijzonder getal bestaat. Dat jij dat bewijs gebruikt hebt om aan te tonen dat er maar eindig veel getallen zijn, is dus ook niet correct.

    PS1: De fout zit in de definitie van x.

    Verbeterde definitie van karakteriseren.

    We beschouwen de functie

    {zinnen die beginnen met "Het kleinste getal"}->{gehele getallen} U {'onzin'}

    die aan elke zin het kleinste getal met die eigenschap toekent. Als er geen kleinste getal met die eigenschap is, dan sturen we de zin naar 'onzin'.

    Dus "Het kleinste getal dat perfect is." gaat naar 6 en "Het kleinste getal dat groter dan zichzelf is." en "Het kleinste getal dat koeien onlangs opschreven." gaan naar onzin. (Nee, ik wil geen discussie over wat voor intelligente koe die tot zes of zeven kon tellen dan ook. De zin mag sowieso naar 'onzin' omdat hij geen tijdloze definitie is.)

    De vraag is: waar sturen we "Het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving langer is dan deze beschrijving." heen? Stel we sturen die naar het gehele getal x, dan voldoet x niet meer aan de beschrijving dus hadden we hem niet naar x moeten sturen. Conclusie: deze zin kunnen we niet naar een geheel getal sturen. Dus deze zin moet wel naar 'onzin' gestuurd worden.

    Hetzelfde gaat fout in het bewijs dat elk getal bijzonder is. We kunnen "Het kleinste getal dat niet bijzonder is." niet naar een geheel getal sturen. Dus ook deze zin gaat naar 'onzin'.

    PS2: Met mijn definitie van bijzonder is elk getal daadwerkelijk bijzonder.
    We kunnen namelijk met inductie elk getal een definierende zin geven

    1 is het kleinste getal.

    2 is het kleinste getal dat niet het kleinste getal is.

    3 is het kleinste getal dat niet het kleinste getal of het kleinste getal dat niet het kleinste getal is is.

    algemeen:

    n is het kleinste getal dat niet (beschrijving van 1) of (beschrijving van 2) of ... of (beschrijving van n-1) is.

    Merk op dat dit niet de kortste of meest leesbare beschrijvingen oplevert.

    Verder zijn deze beschrijving in essentie allemaal dezelfde, en om deze dus bijzonder te noemen gaat misschien een beetje ver.

    Ik ben nog op zoek naar de goede definitie van bijzonder.

  32. Vincent:

    Hoi Jos,

    ik geef toe dat ik vorige keer al behoorlijk wat holle retoriek nodig had om een schokkende conclusie aan jouw bewijs te verbinden, dus ik vrees dat het met de verbeterde versie niet meer gaat lukken.

    Maar toch een poginkje:

    In je oorspronkelijke bewijs gebruik je: als het kleinste getal met eigenschap A niet bestaat (in de nieuwe versie zou dat iets zijn als dat de zin "het kleinste getal met eigenschap A" naar 'onzin' gestuurd wordt, dan bestaat er geen enkel getal met eigenschap A.

    Dit is op zichzelf een interessante eigenschap van getallen die niet helemaal triviaal is, maar wel waar.

    Als nu eigenschap A zoiets is als 'niet tot verzameling B behorend' dan betekent het feit dat onze zin naar onzin gestuurd wordt, dat ieder getal tot verzameling B behoort.

    Dit leidt tot problemen wanneer B eindig is. Normaal gesproken is dit geen probleem: een zin als "Er is een getal dat niet tot de verzamling B behoort" zal voor eidige B altijd waar zijn en dus niet naar onzin gestuurd worden.

    Het gebruik van het woord kleinste maakt echter alles anders. Zoals je hierboven met een voorbeeld aantoont kun je wel een eindige verzameling B maken waarvoor 'het KLEINSTE getal dat geen element is van B' WEL onzin is.

    Kortom: onze aanname dat iedere verzameling getallen een kleinste element heeft is fout.

    PS natuurlijk zijn alle gehele getallen bijzonder - maar binnen de reele getallen vormen de bijzondere getallen slechts een nulverzameling.

  33. Jos:

    Hoi Vincent,

    Zodra we de functie

    {zinnen beginnende met "Het kleinste getal"}->{positieve gehele getallen}U{'onzin'}

    volledig vastgelegd hebben, dan kunnen we van elke verzameling bepalen wat het kleinste element is, zelfs van de verzameling van getallen waarvan de kortste beschrijving langer is dan 87 tekens. Laten we dat kleinste getal x noemen. Als we echter de zin "Het kleinste getal waarvoor de kortste beschrijving langer is dan deze." naar x sturen, hebben we de functie, en daarmee de verzameling waar we over spreken, veranderd.

    Dus elke verzameling heeft wel een kleinste getal, maar als je dat getal probeert te beschrijven, dan heb je mogelijk de verzameling veranderd.

    Alleen als je de verzameling niet verandert (of beter: het kleinste getal uit de verzameling niet wijzigt), kun je de "Het kleinste getal van die verzameling." naar een geheel getal sturen, anders kun je het alleen naar 'onzin' sturen.

    Je kunt natuurlijk ook een nieuwe functie maken die alleen kijkt naar de functiewaarden van je oude functie (en niet naar zijn eigen functiewaarden). En dan een derde die alleen kijkt naar de eerste twee functies, enzovoort. Net zoals je dat kunt doen in de verzamelingenleer om de paradox met de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, te omzeilen.
    Elke verzameling geef je een niveau en een verzameling mag alleen verzamelingen bevatten die van een lager niveau zijn dan de verzameling zelf is, wat equivalent is met een functie die alleen mag verwijzen naar eerder gedefinieerde functies.

  34. Harry:

    Hmm, waarom staat 2611 er eigenlijk niet tussen? Toch behoorlijk beroemd zou je zeggen...

  35. Vincent:

    2611?!?!

  36. Ionica:

    2611! De mooiste postcode van allemaal.

  37. Jens:

    10^100 ofterwijl 1 google
    is het grootste getal

  38. noor:

    en de 36 ?????

  39. Ewald:

    Het getal van Graham, genoemd naar de wiskundige Ronald Graham, is een onvoorstelbaar groot getal. Het wordt algemeen erkend als het grootste getal dat ooit in een serieus wiskundig bewijs is gebruikt, en is als zodanig opgenomen in het Guinness Book of Records.

    Het getal van Graham is zo groot, dat zelfs gigantische getallen als googol of googolplex er volkomen bij in het niet vallen. Het getal van Graham is te groot om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten. Het getal dient te worden weergegeven als een element van een rij getallen gedefinieerd met behulp van Knuths pijlomhoognotatie. Met behulp van elementaire getaltheorie is echter wel uit te rekenen hoe het eind van het getal er uit ziet. De laatste tien cijfers van het getal van Graham zijn ...2464195387 .

  40. Arno van Asseldonk:

    Zie voor een nadere omschrijving van het getal van Graham en de gebruikte pijlnotatie http://nl.wikipedia.org/wiki/Getal_van_Graham

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.