Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Betegel een veertienhoek met driehoekjes


In Algemeen,Nieuws, door wiskundemeisjes

Deze week was ik op de workshop Geometric Patterns in Islamic Art, die gehouden werd op het Lorentz Center in Leiden. Vandaag doen we een workshop over driehoekjes die we in mei in Iran gedraaid hebben nog eens over. Deze workshop is ontwikkeld door Aldine Aaten, Michiel Kwetters, Jasper Lukkezen en mij. Hieronder staat niet de hele workshop, maar de essentie wordt hopelijk wel duidelijk. De basisideeën komen van www.mathpages.com.
We gaan een regelmatige veertienhoek betegelen met driehoekjes. (Betegelen betekent: opvullen met tegels zodat ze niet overlappen en er ook geen gaten zijn.) De makkelijkste manier om een veertienhoek te betegelen is natuurlijk de volgende.

14driehoek1

Maar op die manier gebeurt er weinig interessants. We gaan daarom deze veertien punten verder opvullen met tegeltjes. De tegeltjes die we gaan gebruiken hebben de volgende vorm.

3tiles

Hierbij is hoek α gelijk aan 360/14 graden, precies de tophoek van de 14 taartpunten hierboven.

Het leuke aan deze drie tegeltjes, is dat ze samen precies grotere versies van zichzelf kunnen opvullen, en wel zo dat alle drie de tegels evenveel vergroot worden!

menben

yen

Nu kunnen we de vergroting van de gele driehoek gebruiken om een nog grotere versie van deze driehoek te maken: we vullen gewoon alle drie de soorten tegeltjes in de grote gele driehoek nog eens op.

seconde

Als je dit doet voor alle veertien taartpunten, krijg je bijvoorbeeld het volgende resultaat:

14hoek

In Iran maakten we uit elke punt een hele veertienhoek door er twee spiegels omheen te zetten, zoals je hier kunt zien.

iran

Natuurlijk kun je op deze manier steeds opnieuw je punt vergroten. Zo krijg je een vlakvulling die niet-periodiek is. (Een betegeling heet periodiek als er verschuivingen zijn waarna hij er hetzelfde uit blijft zien.) Omdat de betegeling die we hier gemaakt hebben in het midden een rotatiecentrum heeft en verder nergens, weten we zeker dat zo'n verschuiving niet kan bestaan.

(Jeanine)

7 reacties op “Betegel een veertienhoek met driehoekjes”

  1. Vincent:

    Wat fantastisch!

  2. Han:

    dit is echt geweldig
    :-)

  3. Han:

    wow wat een mooie spiegelfoto!

  4. Geertje:

    Inderdaad een mooie spiegelfoto!
    Dat moet toch heel wat docenten inspireren om met hun leerlingen eens aan het knutselen en spiegelen te gaan in het kader van bijvoorbeeld een praktische opdracht.

  5. Rhiannah:

    :D Nu haal ik toch nog een goed cijfer voor mijn po over vlakvulling

  6. Wiskundemeisjes » Nationale Wiskunde Dagen:

    [...] Een van de thema’s op de Wiskunde Dagen is “wiskunde en het spoor”, over de HSL die last heeft van trillingen in het veen, en natuurlijk over het nieuwe spoorboekje. Andere thema’s zijn bijvoorbeeld “wiskunde en film”, “geen economie zonder wiskunde”, “wiskundige helden: Huygens” en “onverwachte ontwikkelingen in de 20ste eeuwse wiskunde”. Maar ook een wiskundemeisje is aanwezig: Jeanine geeft een workshop over driehoekjes! [...]

  7. Wiskundemeisjes » Penrose-betegelingen in Middeleeuwse Islamitische mozaïeken?:

    [...] De vlakvulling die je uiteindelijk wil hebben vult het hele vlak, dus die kun je niet na een eindig aantal stapjes vinden: een figuur die uit een eindig aantal tegeltjes bestaat blijft uit eindig veel tegeltjes bestaan na het toepassen van de deflatie-regel. Maar er bestaat een limiet van dit proces: je ziet dat na het steeds toepassen van een bepaald aantal (in ons geval vier) stappen, een steeds groter stuk van de betegeling niet verandert. Voor elk punt in het vlak weet je dus dat de omgeving van dat punt na een bepaald veelvoud van vier stappen niet meer verandert als je weer vier stappen doet. Het idee is hier hetzelfde als bij de betegeling van een veelhoek met driehoekjes, zoals we hier lieten zien. [...]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.