Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Rekenprijsvraag!


In Algemeen, door wiskundemeisjes

Het tijdschrift Pythagoras viel vandaag bij mij in de bus en daar staat zo'n leuke rekenprijsvraag in! De vraag draait om zogenaamde Coster-getallen die Matthijs Coster speciaal voor deze prijsvraag bedacht.

Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de berekening mag je de rekenvolgorde zelf bepalen, je mag dus haakjes zetten zoveel je wilt. 'Cijfers plakken' (bijvoorbeeld van een 1 en een 2 het getal 12 maken) is niet toegestaan.

Voorbeelden van Coster-getallen zijn:

25 = 5 x 5 +2 - 2 en 256 = (2 x 5 + 6) x (2 x 5 + 6).

De opdracht is nu om een zo groot mogelijk Coster-getal te zoeken. De redactie geeft een voorzet met

127750 = 5 x 5 x 7 x (7 x (7 x (7 x 2 +1) -1) +2) + 0 + 0.

De oplossingen moeten pas januari volgend jaar ingeleverd worden, dus er is flink tijd om te puzzelen. Zijn er slimme manieren om Coster-getallen te zoeken? Moet je getallen met veel of juist weinig delers gebruiken of maakt dat niets uit? Is een groot Coster-getal vinden een kwestie van geluk hebben of slim zijn?

Ik heb net even wat dingen geprobeerd op de achterkant van een envelop en ik kwam vrij snel tot

59049 = 9 x 9 x 9 x 9 x (5+4) x (5-4) + 0 + 0.

Wie kan het beter? We beloven plechtig om geen oplossingen van onze lezers in te sturen, dat mogen jullie zelf doen!

(Ionica)

61 reacties op “Rekenprijsvraag!”

  1. Arjen:

    @Matthijs
    Volgens mij is je comment een beetje vervormd door het systeem. Geeft niet, het idee is duidelijk.

    Wat probleem 4 betreft vond ik het volgende na snel wat proberen. Kleiner dan 9/2 lukt vrij eenvoudig: Met twee vijven en een drie kan je 5 * 5 * 5 * (5 + 3) maken, dan is er een vijf over. Dit geeft 13/3 als gemiddelde.

    Ook gemiddelden willekeurig dicht bij 4 kunnen worden bereikt. De cijfers 1258 kunnen willekeurig vaak aan de periode toegevoegd worden, want
    10^4 = ((8 * (2 + 1)) + 1) * 5 * 5 * 8 * 2.

    Volgens mij is het meetkundig gemiddelde trouwens een veel betere maat, omdat het maken van de magische tien-macht typisch neerkomt op veel vermenigvuldigen. Maar het voorbeeld met 1258 geeft een bijzonder klein meetkundig gemiddelde (door die 1).

  2. Matthijs Coster:

    Beste Arjen,

    Je hebt er gelijk in dat het meetkundig gemiddelde een veel betere maat is. Maar als je ook de 0 toelaat, dan heb je een probleem, waarvan ik zelf niet weet hoe je dat moet oplossen.

  3. Albert Hendriks:

    Dat met die binaire getallen is interessant. Ik heb het volgende vermoeden om elk getal met behulp van zo weinig mogelijk enen te berekenen.
    X(2) = 1+1
    X(3) = 1+1+1
    X(n>3) = X(a(n)) * X((n+b(n))/a(n)) - b(n)
    voor zekere a,b met voor alle n: a(n) in {2,3} en b(n) in {-1,0,1}
    In de uiteindelijke formule laten we b(i) uiteraard weg indien b(i)=0.
    Het vermoeden is dat er a en b zijn zodat elk getal n met zo weinig mogelijk enen wordt berekend door X(n). Als het vermoeden klopt dan is het nog steeds de uitdaging a en b te bepalen.
    Misschien is een voorbeeld verhelderend:
    X(63) = (1+1+1) * X(21) - 0
    (a(63)=3 en b(63)=0, al blijkt dat hier niet direct). Ander voorbeeld:
    X(7) = X(2) * X(3) + 1 (a(7)=2 en b(7)=-1)
    = (1+1)*(1+1+1)+1
    Het klopt iig voor de getallen>1 die Matthijs vond (2,3,7,15 en 63).
    Als iemand kan bewijzen dat dit de enige binaire Costergetallen zijn (zou best kunnen), dan is mijn vermoeden niet zo interessant meer.

  4. Arjen:

    Ik heb mijn computer even laten zoeken in het binaire geval. Als er nog meer zijn na 63, dan heeft zo'n getal minstens 21 enen in zijn ontwikkeling (en is dus zeker groter dan een miljoen). Ik zou gokken, meer zijn er niet. Wellicht doe ik vanavond nog een wat grotere zoektocht. Tot en met 25 enen in de ontwikkeling is denk ik nog haalbaar binnen enige uren rekentijd zonder een beter programma te moeten maken...

  5. Albert Hendriks:

    Maakt jouw programma alle mogelijke rekensommen met enen, of hoe werkt het? Zelfs gebruikmakend van mijn vermoeden kom ik al niet verder dan 15 miljoen (wel snel, maar dan is de memory op).

  6. Albert Hendriks:

    Ik heb het toch nog weten op te schroeven naar 430 miljoen, maar nou houdt het echt op. Maar het is allemaal niet zo interessant want het is gebaseerd op dat vermoeden. Ik ben meer benieuwd naar wat Arjen precies doet. Dan zal ik ondertussen proberen het vermoeden te bewijzen ;)

  7. Arjen:

    Wat ik precies deed is het volgende. Ik heb gekeken welke getallen je kan maken met precies N enen en de operaties +, -, * en /, voor N van 1 t/m 40. Door dit op volgorde te doen beginnend met de kleinste N, vind je voor elk gevonden getal ook het minste aantal cijfers dat nodig is.

    Het programma is geschreven in Python, nog geen 100 regels lang en de looptijd voor N t/m 40 ligt onder de minuut. Ik kan het mailen aan geinteresseerden.

    De conclusie is dat van de getallen die te schrijven zijn met hoogstens 40 enen, alleen de eerder genoemden ook voldoende enen in hun binaire representatie hebben om Costergetallen te zijn. Voor alle andere getallen met hoogstens 20 binaire cijfers (dus tot ca. een miljoen) is het dus niet mogelijk om ze te schrijven op de gevraagde manier.

  8. Albert Hendriks:

    Ik heb Arjen's programma vergeleken met het mijne, en het blijkt dat mijn vermoeden niet klopt. Voor n=133 gaat het niet op. Na mijn mooie vondst van de oneindige reeks werd ik denk ik iets te enthousiast :/

  9. Anouschka:

    Hallo allemaal,
    wij doen met school niet mee aan die prijsvraag, maar ik vraag me toch af hoeveel costergetallen er zijn tussen de 10 en de 200. Ik kom uit tussen de 10 en de 100 op 37. Wie weet hoeveel costergetallen er zijn tussen de 100 en de 200?

  10. Matthijs Coster:

    Beste Anouschka,

    Je moet nog even geduld hebben tot april. Dan verschijnt het volledige artikel over de Costergetallen in Pythagoras. Tussen 1 en 100 zijn er 37 Costergetallen, tussen 100 en 200 zijn er maar liefst 52 Costergetallen.

  11. Wiskundemeisjes » Prijsvraag in Pythagoras:

    [...] tangram. Matthijs Coster (bekend van de befaamde coster-getallenprijsvraag van vorig jaar, waar we hier en hier over schreven) bedacht een variant: pygram. Je hebt nog de hele kerstvakantie de tijd om [...]

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.