Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Kussende bollen


In Algemeen,Nieuws, door wiskundemeisjes

Wiskundigen geven vaak gewone woorden een heel andere betekenis. In het geval van kussen lijkt die betekenis echter wel een klein beetje op de normale betekenis van het woord. (En om de reacties voor te zijn: ja, de etymologie van deze term ligt in het biljarten, waar "kiss" ook een gebruikelijke term schijnt te zijn.)

kussen

Het kusgetal is het aantal eenheidsbollen (dat zijn bollen met straal 1) die een eenheidsbol die het midden ligt tegelijk kunnen aanraken, zonder te overlappen. In dimensie 2 zijn bollen cirkels, en dan is het kusgetal 6, zoals je kunt zien in het volgende plaatje.

munten

In drie dimensies is het niet zo gemakkelijk het kusgetal te bepalen. In 1694 leidde deze vraag tot een discussie tussen Isaac Newton en David Gregory: Newton dacht dat het 12 was en hij wist een manier om 12 bollen rond een centrale bol te rangschikken, maar Gregory dacht dat het met 13 ook zou kunnen. Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben. Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953. Het elementairste bewijs dat er is, is echter niet heel makkelijk. Dat komt vooral doordat er oneindig veel verschillende manieren zijn om 12 bollen op een dergelijk manier rond een centrale bol te rangschikken. De buitenste 12 bollen raken elkaar niet allemaal precies, en ze kunnen dus allemaal een beetje vrij verschuiven, terwijl ze de bol in het midden blijven raken.

kusgetal

Het begrip kusgetal bestaat ook in hogere dimensies, maar het is nog maar voor weinig dimensies bekend. In dimensies 8 en 24 weten we het kusgetal wel: het is 240 in dimensie 8 en 196560 in dimensie 24. In feite is het bepalen van deze twee getallen makkelijker dan het bepalen van het kusgetal in dimensie 3, omdat in dimensies 8 en 24 de rangschikking van de bollen om de middelste bol uniek is, er is maar één manier om ze te laten raken aan de middelste bol (hierbij noemen we twee configuraties hetzelfde als ze in elkaar kunnen worden overgevoerd door draaien of spiegelen). Pas in 2003 werd het kusgetal in dimensie 4 bepaald door Musin, het is 24.

In andere dimensies dan 2, 3, 4, 8 en 24 weten we het kusgetal nog niet. Wel zijn er bovengrenzen bepaald: getallen waarvan we weten dat het kusgetal voor die bepaalde dimensie eronder ligt. Delsarte vond in 1970 een manier om dat te doen.

Maar nu hebben twee onderzoekers een manier gevonden die betere bovengrenzen geeft dan de methode die er al was! Frank Vallentin (van het CWI in Amsterdam) en Christine Bachoc (van de Université Bordeaux) hebben de kusgetallen voor dimensies 2, 3, 4, 8 en 24 opnieuw gevonden. Voor dimensie 5 hebben ze de bovengrens van 45 naar 44 teruggebracht, terwijl bijvoorbeeld in dimensie 10 de bovengrens met wel 27 bollen teruggebracht is. Ze hebben resultaten gebruikt van Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver, die ook op het CWI werkt.

Zie ook het persbericht van het CWI en het artikel op kennislink. Voor de wiskundigen onder jullie: een beetje meer informatie en vooral literatuurverwijzingen naar de oudere bewijzen over dit onderwerp kun je vinden in het boek Sphere Packings, Lattices and Groups van Conway en Sloane.

(Jeanine)

7 reacties op “Kussende bollen”

  1. Aitrus:

    dit doet me een beetje denken aan materiaalkunde! Daar gebruiken we de "dichste bolstapeling" waarbij wordt gekeken naar het maximale volume wat bollen in een ruimte kunnen in nemen. Dit blijkt 74% te zijn en is op twee manieren te bereiken (en daarom ook twee structuren: FCC en HCP).

    Het grappig vind ik echter dat we ook kijken naar het aantal dichtstbijzijnde "buren" van een willekeurige bol. Dat is voor deze twee structuren 12!
    Daarom was ik verrast dat er staat 13:
    "Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953"
    of wordt hier juist mee bedoelt dat het tegenbewijs werd gevonden (i.e. het kan juist niet met 13)???

  2. Michiel Kosters:

    leuk artikel!

  3. Ionica:

    of wordt hier juist mee bedoeld dat het tegenbewijs werd gevonden (i.e. het kan juist niet met 13)???
    Inderdaad!

  4. Jeanine:

    @ Aitrus: inderdaad, dat had ik duidelijker moeten zeggen. Ik heb in het stukje nu de zin "Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben." toegevoegd. Dank je!

  5. Ionica:

    “Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben.”

    Wat hadden we trouwens anders kunnen verwachten van de vader van de moderne wiskunde? ;)

  6. Vincent:

    Dat hij goud uit lood kon maken, misschien?

  7. Camiel:

    En van die Newton en zijn kusgetal is anders geen enkele amoreuze relatie gedocumenteerd. Er wordt zelfs beweerd dat hij als maagd stierf, wat het onwaarschijnlijk maakt dat hij de vader van de moderne wiskunde is.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.