webhost van wiskundemeisjes.nl 
Dit bericht is geplaatst op Wednesday 29 November 2006 om 08:45 in categorieën Algemeen, Nieuws, Onderwijs. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Onderwijsrumoer
In Algemeen, Nieuws, Onderwijs, door wiskundemeisjes
Meestal mengen de wiskundemeisjes zich niet in verhitte discussies (niet online, althans). Nu doen we het toch. Er gebeuren namelijk allerlei belangrijke dingen omtrent de wiskundevoorstellen havo en vwo voor 2007 en later.
Een paar weken geleden kwam de resonansgroep wiskunde met een advies. De resonansgroep wiskunde is door de minister van OCW opgericht om de aansluiting van het nieuw voorgestelde programma voor havo en vwo op het hbo en wo te toetsen.
De belangrijkste aanbevelingen zijn:
1. Zorg ervoor dat het ontwikkelen van reken- en formulevaardigheid weer als een rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heenloopt.
2. Splits voor alle wiskundevakken het centrale schriftelijke eindexamen (CE) in twee delen: een deel dat zonder hulpmiddelen (grafische rekenmachine en formulekaart) wordt afgenomen, en een deel waarin wel van deze hulpmiddelen gebruik mag worden gemaakt.
3. Heroverweeg de rol van contexten in het wiskundeonderwijs.
De rol van de grafische rekenmachine (GR voor vrienden) in het middelbaar onderwijs is een terugkerend gespreksthema onder docenten die de eerstejaars studenten wiskunde onder hun hoede hebben. Vaak blijkt inderdaad dat de GR teveel gebruikt wordt, waardoor basale reken- en formulevaardigheden in het gedrang gekomen zijn. Daarom leek het mij een bijzonder goed idee om deze vaardigheden apart te toetsen, zonder GR en formulekaart. Natuurlijk zie ik ook het nut van de grafische rekenmachine, het is een goede voorbereiding op rekenen en modelleren met een computer, wat in het vervolgonderwijs vaak terug zal komen.
Het bestuur van de NVvW echter was niet blij met het advies van de resonansgroep en stuurde een gepikeerde brief. Inzet is dat het programma juist op advies van de universiteiten veranderd was: uit de academische wereld bleek vraag naar vaardigheden als zelf problemen oplossen, redeneren en bewijzen. Het bestuur van de NVvW erkent dat de grafische rekenmachine vaak verkeerd gebruikt wordt en dat daar iets aan moet gebeuren, maar ziet niets in aparte toetsing op het CE.
De NVvW ontkent dus niet dat de algebraïsche vaardigheden van leerlingen niet meer zijn wat ze vroeger waren, maar zegt dat dit gecompenseerd wordt door andere vaardigheden, zoals het gebruik van computers en redeneren. De NVvW vindt dat de resonansgroep teveel nadruk legt op de algebraïsche vaardigheden en te weinig op de andere vaardigheden die daarvoor in de plaats gekomen zijn en op de andere onderdelen van het programma. Ook geeft de NVvW zelf een aantal punten waarop het wiskundeonderwijs verbeterd kan worden. Bovendien vindt het bestuur dat ook het hbo en wo verantwoordelijkheid moet nemen voor de aansluiting tussen hbo en wo.
Maar buiten deze argumenten lijkt de brief deels een persoonlijke aanval te zijn. Uit de volgende citaten blijkt dat de NVvW weinig genegen is de resonansgroep serieus te nemen en dat ze zich gepasseerd voelt:
Het lijkt ons evenmin verstandig om vanuit een verengd perspectief van doorstroomrelevantie absolute uitspraken te doen over de inhoud van de programma’s. We begrijpen de ijver van de Resonansgroep en het gevoel van urgentie van het probleem. Maar toch: het had de Resonansgroep gesierd als zij hier enige bescheidenheid had getoond, door te beseffen dat haar kennis van het programma en het onderwijs uit de aard der zaak beperkt is.
en:
Samen met docenten uit WO en HBO kijken we naar de aansluiting in de hoop er beiden wat van te leren en er beiden her onderwijs mee te verbeteren. Er is bij ons ook wel eens een verlangen naar een Resonansgroep voor het hoger onderwijs…
en:
De leraren waren met opzet geweerd uit de Resonansgroep. We bieden u hierbij de reactie van het veld aan en hopen dat u die in de uiteindelijke besluitvorming zult willen betrekken. Een stellingenstrijd heeft geen enkele zin, we moeten het samen doen.
Voor een uiterst degelijk commentaar op de brief van het bestuur van de NVvW verwijs ik jullie door naar de reactie van Henk Pfaltzgraff, die ook spreekt vanuit de onderwijspraktijk.
En dan nu de vraag aan onze lezers: hoe denken jullie (leerlingen, studenten, leraren, academici) over al deze onderwijsvernieuwingen? En hoe hebben jullie de overgangsproblemen tussen vwo en wo ervaren?
(Jeanine)
Wednesday 29 November 2006 om 09:16
Ik ben er ook tegen dat er een apart deel van het examen komt met en zonder hulpmiddelen. Gewoon alles zonder. Het enige nut van een grafische rekenmachine is om bij de natuurkundeles het begrip valversnelling te illustreren. Liefst vanaf drie hoog.
Wednesday 29 November 2006 om 09:20
Niet zo ouderwetsch Arjen!
Wednesday 29 November 2006 om 10:26
Gelukkig kom ik zelf uit de periode van net voor de grafische rekenmachine, maar in mijn examenbundel Wiskunde B stond al regelmatig een opgave die ik niet meer hoefde te kunnen oplossen…
Ik heb geen problemen gehad met de overgang van VWO naar WO, maar af en toe bij vakken als Analyse en Differentiaalvergelijkingen wel het gevoel gehad dat ik bepaalde dingen al had moeten weten, terwijl ik die niet wist.
Wednesday 29 November 2006 om 10:44
Als bijlesdocent wiskunde en huiswerkbegeleider ken ik de inhoud van de huidige wiskundeboeken enigszins. Ik probeer die te vergelijken met de wiskunde uit mijn tijd (zeg tien jaar geleden) en te begrijpen waar hbo’s en universiteiten nu over klagen.
En eerlijk gezegd begrijp ik het niet goed. Althans gedeeltelijk begrijp ik het niet goed: leerlingen met wiskunde B1,2 krijgen sommen die niet onderdoen voor de sommen uit mijn tijd. Ze moeten met machten kunnen rekenen, correct breuken kunnen vermenigvuldigen, differentiëren en eerste- of tweedegraadsvergelijkingen met de hand kunnen oplossen. In hun boek staat er overigens altijd uitdrukkelijk bij of ze de som algebraïsch moeten oplossen of met de GR.
Maar dan wiskunde A: deze leerlingen mogen bijna alles met de GR oplossen. Algebraïsche vaardigheden die ze echt wel in de onderbouw hebben geleerd, zijn ze door gebrek aan oefening in hun laatste jaar weer vergeten. Als je maar weet op welke knoppen je moet drukken…
Kritiek op wiskunde A kan ik dus begrijpen, maar wat is er mis met wiskunde B?
Wednesday 29 November 2006 om 12:13
@Guido: Ik weet niet precies wat er nu wel en niet in het middelbare school programma zit. Het enige dat ik wel weet is dat het niveau van leerlingen die hier aankomen bij de wiskunde-opleiding bedroevend laag is, vooral als het op technische vaardigheden aankomt.
Wat ik zelf altijd het leukste onderdeel vond van Wiskunde B, was het functie-onderzoek: je krijgt een functie en je bepaalt nulpunten, asymptoten, teken van functie en afgeleide, etc. Ik vond het heel leuk om langzaam maar zeker een beeld te krijgen van hoe zo’n functie eruit ziet. Het geeft ook een doel aan de berekeningen die je uitvoert: ze geven je inzicht in hoe de functie zich gedraagt.
Tegenwoordig is een functie analyseren een kwestie van intoetsen op de GR en kijken naar het plaatje. Je kan de rest van de berekeningen ook nog wel uitvoeren, maar dat is dan een kwestie van bezigheidstherapie geworden; de motivatie is, voor mij althans, verdwenen.
Wednesday 29 November 2006 om 14:05
@Arjen: Asymptoten bepalen gaat inderdaad met de GR tegenwoordig, vermoed ik, want limieten zie ik nooit meer voorbijkomen. En een grafiek hoeven ze meestal ook niet meer zelf te kunnen tekenen (zonde inderdaad, want dat geeft zoveel meer inzicht).
Maar toch: hoe vaak help ik leerlingen niet om de top van een grafiek te berekenen, nulpunten te bepalen of de functie van een raaklijn op te stellen? Allemaal met de hand!
Misschien krijgen ze nog wel voldoende stof aangeboden, maar oefenen ze niet meer genoeg en krijgen ze makkelijkere repetities dan vroeger. Want hoe verklaar je anders het verschil tussen jouw en mijn waarneming?
Om de proef op de som te nemen zal ik binnenkort eens een eindexamen wiskunde B maken (te downloaden van de CITO-pagina). Wie doet er mee?
Wednesday 29 November 2006 om 20:12
Mag ik als dinosauris (Mathematirex euclidianus) voorzichtig inbreken hier? Ik deed in 1968 eindexamen HBS-B. Het wiskunde-examen was verdeeld in drie onderdelen: gonio- en trigonometrie, stereometrie, algebra. De vooropleiding was voor 99%, zo niet voor 100% abstract. Dus geen GR, geen Freudenthaalsche ‘aanschouwlijkheid’, geen formulekaart en andere flauwe kul die alleen maar tot doel heeft gehad wiskunde for dummy’s haalbaar te maken: wiskunde moest sosialisties worden, ze was te elitair en trouwens, die Euclides, die is toch al meer dan 2500 jaar geleden overleden… onderwijzen we die ouwe troep nog steeds op onze middelbare scholen? Schande! Direct afschaffen. Wiskunde is het kunnen berekenen van de opervlakte van je achtertuintje van 2 bij 7.5 meter (oeps, die .5 is moeilijk, maar gebruik gerust je GR hoor), dát zou de ware wiskunde zijn…
De rampzalige gevolgen zijn intussen wereldberoemd: van onderwijzers die hun groep-8 leerlingen onderwijzen dat inderdaad 1+1 gelijk is aan 3 (’geloof ik’) tot aan universiteiten die bijspijkercursussen moeten geven in de meest elementaire beginselen van het vak. Maar het meest kwalijke lijkt me dat de schoonheid van het abstracte denken, de esthetiek van formules totaal verloren is gegaan; de walging jegens formules is bijkans epidemisch.
Constructief voorstel:
a) verplicht Hoofdrekenen op de basisschool
b) verbied GR
c) verbied Formulekaart (alle Merkwaardige Producten moeten in je kop zitten)
d) streef in het wiskundeonderwijs, vanaf punt zero, naar volkomen abstractie
e) weg met Freudenthal
f) lang leve Euclides
Wednesday 29 November 2006 om 21:01
Houden de heren en dames er rekening mee dat de middelbare scholier van tegenwoordig ongeveer 10-14 vakken heeft? Het vwo zou 2 jaar langer moeten duren om alle stof die jullie suggereren te kunnen behandelen, of je probeert het alsnog in 6 jaar te proppen en hebt ineens nog maar 3 leerlingen per jaar die slagen voor hun examen.
Ik heb vorig jaar mijn vwo NT examen gehaald, en het spijt me, maar ik heb gewoon Euclidische meetkunde gehad en kan prima hoofdrekenen. Maar als ik alle merkwaardige producten uit mn kop had moeten leren was ik overleden door slaapgebrek. Er zijn immers best veel merkwaardige producten en goniometrische troep, waarvan het grootste deel toch niet op de formulekaart staat. Of wou je wiskunde een vak maken bestaande uit dom formules uit je kop leren (in plaats van dom knopjes van de GR uit je kop leren) en het accent weghalen bij inzicht?
Even terzijde, wat is er mis met sosialisties? :)
Wednesday 29 November 2006 om 21:01
Ik ben dit jaar begonnen met de studie wiskunde in Groningen. (Maar eigenlijk is dat daar dus een “brede bachelor” met wiskunde-, scheikunde-, natuurkunde- en sterrenkundestudenten door elkaar die dezelfde vakken volgen…)
Bij ons eerste werkcollege Calculus werd ons een testje voorgelegd, om te kijken hoe het met onze algebraïsche vaardigheden na het vwo (en een lange vakantie) gesteld was, want een ouderejaars deed er onderzoek naar, geloof ik. Het was toen inderdaad even wennen om niet naar de formulekaart te grijpen voor bepaalde integralen en afgeleiden, vooral voor de studenten die een van de andere studies willen gaan doen en het niet zo op wiskunde hebben. Het testje daarom ook niet goed gemaakt. ;)
Ik ben er nu wel weer aan gewend om alles weer uit mijn hoofd te doen, maar dat is misschien ook omdat ik dat wel leuk vind. De andere studenten vinden dat ongetwijfeld minder leuk, maar het is wel nuttig.
Maar ik vind het wel spijtig dat het zo slecht met de wiskundige kennis van vwo-gediplomeerden is gesteld, en dat men de studenten nog op de universiteit moeten bijspijkeren. Ik denk dat er inderdaad minder met de GR moet worden gewerkt, daar worden we veel te lui van!
Wednesday 29 November 2006 om 21:07
Je hebt gelijk, Jan B, wiskunde hoort abstract te zijn. Want alleen daarmee kun je veelbelovende leerlingen verleiden wiskunde te gaan studeren.
Maar je praat nu over een hele tijd terug. Over welke (vermeende) niveaudaling hebben we het precies? Die uit de tijd dat het VWO werd ingesteld (toen Euclides werd onstlagen), of die van de tweede fase (GR)?
Als ik je goed begrijp, zou ik – die eindexamen in 1998 heb gedaan – ook tot de generatie horen die slecht wiskundeonderwijs heeft gehad. Onthutsend…
Wednesday 29 November 2006 om 21:19
@Guido: inderdaad! Ik heb ook in 1998 eindexamen gedaan en merkte aan de universiteit dat ik allerlei dingen nooit gezien had. Daar werd toen door de docenten ook al flink op gemopperd. Ik herinner me vooral nog dat ik even nodig had om te zien dat (a^2 – b^2) mooi ontbonden kon worden.
Wednesday 29 November 2006 om 21:21
@Pimzor: Inderdaad, is dat misschien ook het probleem van de tweede fase? Heel veel vakken, maar van alles net te weinig?
Formules uit je hoofd kennen is goed voor het creatieve proces. Stel je hebt een ingewikkeld probleem met ergens halverwege de uitdrukking x^2 – y^2. Misschien kun je het probleem dan wel oplossen door die uitdrukking als een product te schrijven. Maar dan moet je wel weten dat x^2 – y^2 gelijk is aan (x + y)(x – y). En hoe kom je ooit op zo’n idee als je dat niet een keer uit je hoofd hebt geleerd?
Wednesday 29 November 2006 om 21:22
Nou zeg, twee zielen, één gedachte…! Je was me net voor met dat mooie voorbeeld van a^2 – b^2! ;-)
Wednesday 29 November 2006 om 21:23
Ik vond jouw voorbeeld van x^2 – y^2 ook heel goed hoor!
Wednesday 29 November 2006 om 21:27
Haha. Wij zijn in elk geval nog van de generatie die niet in de war raakt als er andere lettertjes gebruikt worden dan op de formulekaart…
Wednesday 29 November 2006 om 21:30
Oei, hier hebben de wiskundemeisjes wel het meest beladen probleem in wiskundeland te pakken.
Hoe zit het eigenlijk met de hoeveelheid tijd die de leerlingen krijgen om al deze wiskunde te leren? Zowel de oude (zonder GR) als de nieuwe (met GR) vaardigheden zijn natuurlijk hartstikke nuttig, maar ik kan me niet voorstellen dat er ook twee keer zoveel tijd gekomen is voor het wiskundeonderwijs, dus ergens moet iets weggevallen zijn. Wie weet er hoe het zit met de hoeveelheid tijd die leerlingen nu aan wiskunde moeten/mogen besteden in vergelijking met “vroeger”?
En bij welke opleidingen wordt er geklaagd dat de nieuwe studenten te weinig wiskundekennis/kunde (wiskundekunde… :/ ) hebben? Zijn dat alleen harde beta-opleidingen waarbij het dus gaat om wiskunde B of ook andere opleidingen?
Wednesday 29 November 2006 om 22:08
Ik ben het trouwens niet helemaal eens met Guido wat betreft het uit je hoofd leren. Formules als x^2-y^2=(x+y)(x-y) gaan pas leven als je ze toegepast ziet worden of beter nog: zelf toepast. Erop gaan zitten stampen maakt ze vervelend in plaats van mooi.
Zelf was ik altijd erg blij met m’n formulekaart. Je zoekt de abc-formule 99 keer op en de 100ste keer is dat niet meer nodig. Zo hoef je niet zoveel dorre stof uit je hoofd te leren, maar komt het er toch vanzelf in te zitten. En als je dan toch nog een keer twijfelt, dan kun je altijd nog vertrouwen op je (in mijn geval) knalgele formulekaart.
Geen gestamp, geen stress en wel oefening, perfect.
Wednesday 29 November 2006 om 22:11
@Pimzor
Ik wilde wat provoceren en zeker niet denigreren (overigens hadden wij ook minimaal 10 verplichte vakken, w.o. engels, frans, duits , nederlands, wis-, schei-, natuurkunde, biologie verplicht, dat moest gewoon). Enne.. er is niets mis met sosialisties hoor. Overigens is er niets mis mee om dingen uit je hoofd te leren, zeker als het abstracties betreft. Wiskunde is zo’n heerlijk lui vak; als je het begrijpt heb je eigenlijk heel weinig huiswerk!
@Anneroos
Je bevestigt m’n waarneming!
@Guido @Ionica
Prachtig voorbeeld! Dat was er bij ons ingestampt: x^2-y^2=(x-y).(x+y). Was dat dom gedoe? Ik geloof het niet. Konden we direct ophoesten en had als bijkomstig voordeel de bloedsomloop in de grijze smurrie in optima forma te houden.
Maar begrijp me allen goed: ik beweer beslist niet dat ‘alles vroeger beter was’, dat zeg ik niet. Wat ik alleen maar wil zeggen is dat vraagstukken a la ‘Jeltje fietst met een snelheid van 10 km. per uur naar haar huis op 10 km. van school; Peter fietst 12 km. p. u. naar zijn huis op 5 km. van school; wie is er eerder thuis?’, niets, maar dan ook helemaal niets met wiskunde te maken heeft. Dat heeft alles te maken met een aapje een trucje leren. Dat is lelijk als vloeken. Mooi is daarentegen: ontbindt in factoren x^2+^3x+5 e.d. Dat is pure poëzie, dat is schoonheid.
Wednesday 29 November 2006 om 22:17
@Marco
Er wordt wel degelijk ook in de ‘harde bèta-opleidingen’ over de wiskundige basiskennis geklaagd..
Wednesday 29 November 2006 om 22:26
@Jan B
Precies, bij de beta-opleidingen wordt er veel geklaagd over gebrek aan wiskundige basiskennis en basisvaardigheden van eerstejaars (al dan niet terecht) en dat gebeurt dan vast ook wel bij economische opleidingen. Maar hoe zit het bij alpha-opleidingen?
Wat vinden de wiskundedocenten bij bijvoorbeeld een universitaire psychologieopleiding van de wiskundige basiskennis van studenten?
Wednesday 29 November 2006 om 22:28
Nou nou, wat een stapel reacties om door te lezen. Laat ik allereerst mijn grote afkeer tegen dingen uit het hoofd leren uitspreken. Maar dat hoeft ook helemaal niet, je kan ook proberen te begrijpen wat er moet gebeuren en een proces in de vingers krijgen in plaats van een domme formule uit het hoofd leren.
Als ik denk aan het oplossen van een kwadratische vergelijking, dan denk ik niet aan de ABC-formule, maar aan kwadraat-afsplitsen. Dat is een logisch proces, ik *begrijp* wat ik doe en waarom ik het moet doen.
Wat betreft het functie-onderzoek dat ik eerder aanhaalde, het onderdeel hiervan dat helaas met de komst van de GR verdwenen is, is nu juist dat wat ik het meest op ‘echte’ wiskunde vind lijken. Je krijgt een wiskundig object, zo’n functie, en je gaat er wat eigenschappen van afleiden en dankzij die eigenschappen begrijp je de functie veel beter, zo goed zelfs dat je in staat bent om een schets van de grafiek te maken.
Juist dat proces van het analyseren van het ‘abstracte’ object, de functie, om tot een ‘concreet’ resultaat te komen (de grafiek) is waar het om draait bij wiskunde.
Laat ik nog eens een leuk probleempje de groep in gooien. Zonder rekenmachine, met beredenering, wat is er groter:
wortel(2) plus wortel(5)
of
2 plus wortel(3)?
Wednesday 29 November 2006 om 22:43
@Arjen
Dat ligt er natuurlijk aan de gekozen inbedding in de reële getallen. (sorry, flauw)
Als er een mooiere oplossing is dan meteen doen wat voor velen een instinctieve reactie op wortels is (en wat ook goed werkt in dit geval), dan wil ik die wel zien.
Wednesday 29 November 2006 om 22:49
@Marco
Ja, ligt zeker aan de inbeddingen, ik denk niet dat het verschil totaal positief of totaal negatief is. De bloed, zweet en tranen methode werkt, maar er is ook een handen in de zakken argument. Hint: wat weet je van de tweede afgeleide van de wortelfunctie?
Wednesday 29 November 2006 om 22:51
@Arjen: Ik zou gebruiken dat a > b d.e.s.d.a. a^2 > b^2. (Dat is heel logisch, maar ik kom op dat idee, omdat ik dat ooit uit mijn hoofd heb geleerd.) Kortom, mijn aanpak is deze:
2 + wortel(3) > wortel(2) + wortel(5)
desda
7 + 4wortel(3) > 7 + 2wortel(10)
desda
4wortel(3) > 2wortel(10)
desda (weer kwadrateren)
48 > 40, en dat is waar. QED
Heb ik ook een vraag voor jou: kun jij zonder rekenmachine laten zien dat pi^2 + e^2 groter is dan 2*pi*e?
Let op: je mag niet gebruiken dat 0
Wednesday 29 November 2006 om 22:51
(…) dat 0
Wednesday 29 November 2006 om 22:54
Je mag niet gebruiken (a-b)^2 = a^2 +b^2 – 2ab, want in jouw onderwijsvisie heb je dat nooit uit je hoofd geleerd, en zou je daar zelf ooit opgekomen zijn?
Wednesday 29 November 2006 om 22:57
@Guido
Kwadrateren werkt inderdaad. Dat was de bloed zweet en tranen methode waar ik aan refereerde. Je kan ook boven- en onder-schattingen maken (en bewijzen) van de wortels. Of je doet de handen in de zakken truc, maar die vereist iets meer wiskundige kennis.
Wat je sommetje betreft, merk op dat voor alle reele
x en y geldt dat
(x-y)^2 >= 0
met gelijkheid dan en slechts dan als x = y.
Aangezien e en pi verschillend zijn, zien we dat
(e – pi)^2 > 0
geldt, hetgeen na haakjes uitwerken
x^2 + pi^2 – 2 * e * pi > 0
oplevert en dat is equivalent met het gevraagde.
Wednesday 29 November 2006 om 22:58
@Arjen
2+wortel(3)2+wortel(3)
(benieuwd)
Wednesday 29 November 2006 om 23:02
Oh, ik heb dat niet uit mijn hoofd geleerd hoor, ik weet gewoon hoe ik haakjes moet uitwerken. Dat is een vaardigheid. En ik weet dat kwadraten positief zijn.
Wednesday 29 November 2006 om 23:03
@Jan B: je opmerking is een beetje vermoord door het comments-systeem, geloof ik.
Wednesday 29 November 2006 om 23:03
Oke allemaal, ik ben natuurlijk heel blij met jullie enthousiasme, maar om nou sommetjes te gaan opgeven die wij als wiskundigen heus wel kunnen oplossen zonder GR lijkt me tamelijk irrelevant voor de discussie.
Dus, Arjen, denk je dat de gemiddelde eerstejaars wiskunde dit niet kan? En als dat zo is, denk je dat dat aan het onderwijs van de laatste jaren ligt of dat gewoon de meeste scholieren dit uberhaupt nooit konden?
Laten we vooral verder ingaan op Marco’s vraag. Is het zo dat alleen de beste leerlingen die daarna wiskunde zijn gaan studeren qua niveau lager scoren dan “vroeger”? Is het algehele niveau (of de motivatie) door de concretisering van het onderwijs en de andere soort vragen misschien niet juist verbeterd? Ik vermoed van niet, maar eigenlijk heb ik geen idee.
En waarop dient het vwo-onderwijs zich te richten: op het uitdagen van de goede leerlingen of zoveel mogelijk mensen een groot deel van de stof te laten begrijpen?
Wednesday 29 November 2006 om 23:05
@Arjen
Inderdaad, onherkenbaar. Hetgeen betekent dat mijn suggestie fout was?
Wednesday 29 November 2006 om 23:09
Excuses voor de vele comments na elkaar.
@Guido:
Merk op dat e en pi positief zijn, dus gevraagde ongelijkheid is equivalent met
(pi^2 + e^2) / (pi * e) > 2.
Herschrijven han de linkerkant geeft
pi / e + e / pi.
Dit is een waarde van de functie x + 1/x, die voor x
tussen 0 en 1 daalt en voor x groter dan 1 stijgt, en dus een minimum aanneemt als x = 1. Omdat pi / e niet
1 is, zien we dat de gevraagde ongelijkheid geldt.
Wednesday 29 November 2006 om 23:10
Goed, nu weer ontopic graag.
Wednesday 29 November 2006 om 23:12
@Jeanine: onze sommetjes waren niet helemaal irrelevant. Ze dienden ervoor om aan te tonen dat je wel of juist geen feitenkennis nodig hebt in de wiskunde. Of het creatieve proces ook op gang komt, wanneer je nooit iets uit je hoofd hebt geleerd. Of de formulekaart en de GR wel of geen slechte zaak zijn.
Wednesday 29 November 2006 om 23:15
Jeanine, je hebt helemaal gelijk, alleen sommetjes maken is niet zo boeiend. De reden dat ik dit sommetje opgaf is omdat het een leuke mix is van techniek en een beetje creativiteit.
Ik durf geen uitspraken te doen over middelbare scholieren. Mijn eigen ervaring is van erg lang geleden en ik was nu ook niet bepaald de typische leerling. Wat de sjaars betreft, dat hangt ervan af. Inmiddels kunnen ze het denk ik wel, maar ik herinner mij van het begeleiden van een werkcollege linalg1 enige jaren geleden dat -2 + -3 * -6 erg moeilijk was voor meer dan de helft.
Wat Jeanine’s laatste vraag betreft, het onderwijs in Nederland richt zich mijns inziens veel te veel op de middenmoot. Leerlingen moeten uitgedaagd worden, zeker op het VWO, daar hebben we tenslotte een systeem met verschillende niveau’s van middelbaar onderwijs voor.
Wednesday 29 November 2006 om 23:19
Was dat niet ook de reden dat de minister het vak wiskunde D heeft ingesteld? Hoe zit het daar eigenlijk mee?
Wednesday 29 November 2006 om 23:20
Gezien de hoeveelheid aan reacties een actueel onderwerp dat de nodige stof doet opwaaien.
Om met de laatste opmerking van Jeanine te beginnen: Het vwo-onderwijs moet zich vooral richten op het uitdagen van de goede leerlingen (met het nieuwe Wiskunde D denk ik, dat dit zeker de goede kant op gaat). Maar ook de echte ‘kneusjes’ moeten voldoende vaardigheden meekrijgen (eenvoudige statistiek, grafieken beoordelen, rekenvaardigheid, getalleninzicht). Door de invoering van Wiskunde C lijkt dit te worden gewaarborgd.
Maar in de eerdere discussie kan ik me erg vinden in de opmerkingen van de responsgroep! Ik heb mijn VWO B in 1989 gehaald en volg nu als zij-instromer de lerarenopleiding Wiskunde. Mijn tenen krommen werkelijk als ik de algebraïsche vaardigheden van mijn collega-studenten zien die pas na de invoering van de tweede fase Havo of VWO hebben afgerond. Ontbinden in factoren? Daar heb je toch de ABC-formule voor? Over het herkennen van a^2-b^2 hoef je het al helemaal niet te hebben.
Het commentaar van de universiteiten in jaren 80 en 90 betrof vooral de bewijsvaardigheid van nieuwe studenten. Dit is prima opgepakt door het herintroduceren van de vlakke meetkunde in Wi B1,2. Maar helaas is er door de GR en inschatting dat context het vak wiskunde leuker maakt veel algebra-vaardigheid verloren gegaan.
Daarom adviseer ik de NVvW haar trots opzij te zetten en de opmerkingen van de responsgroep ter harte te nemen!
Wednesday 29 November 2006 om 23:21
@ Guido: dat weet ik niet precies. Het enige dat ik daarover opgevangen heb is dat er leuke wiskunde in zit, maar dat scholen niet verplicht zijn om het aan te bieden.
Ik denk dat je het in de links op de site van de resonansgroep wiskunde wel kunt vinden, trouwens.
Wednesday 29 November 2006 om 23:31
@jeanine@23:03
Ik zou zeggen: op het uitdagen van de goede leerlingen inplaats van zoveel mogelijk mensen een groot deel van de stof te laten begrijpen. Waarom moeten de goeden toch altijd onder de minder goeden lijden (=zich de pest vervelen, gapend naar buiten turen, knikkebollen), heb daar nooit een rechtvaardiging in kunnen zien.
Wednesday 29 November 2006 om 23:35
@Arjen
Ok, wat ik bedoelde met instinctieve reactie is kwadrateren.
(wortel(2) plus wortel(5))^2 = 7 + 2*wortel(10)
en
(2 plus wortel(3))^2 = 7 + 2*wortel(12)
In dit voorbeeld levert dit onmiddelijk een mooi antwoord op, maar dat lijkt meer geluk dan wijsheid.
Wednesday 29 November 2006 om 23:44
@Marco
(2+wortel(3))^2=7+wortel(6) toch?
Wednesday 29 November 2006 om 23:46
Heren, we dwalen weer af…
Wednesday 29 November 2006 om 23:52
@Arjen, inderdaad. Hoop vooral dat Marco m’n opmerking negeert want die sloeg de plank natuurlijk al helemaal mis; mea culpa!
Thursday 30 November 2006 om 00:56
Hadden we ooit niet http://www.lievemaria.nl over dit onderwerp? Daar kwamen de emoties ook al zo los.
Ik ben het met de aanbeveling eens dat het met de contexten wel wat minder kan. Een middelbareschool wiskundeboek ziet er uit als een soort stripboek. Misschien raken de mindere leerlingen door de contexten wel de weg kwijt. We toetsen geen tekstverklaring. De kinnesinne van de NVvW komt misschien uit het feit dat die aanbeveling van de voorzitter wel verwacht kon worden.
Kunnen de sommetjes ergens anders opgelost worden?
Thursday 30 November 2006 om 01:10
Ik ben momenteel docent in opleiding bij het Iclon en ook daar merk ik wel dat ik (1e generatie 2e fase) minder parate kennis heb dan de oudere generatie. Meer dan genoeg voor sommetjes zoals hierboven, maar ik moet zeggen dat ik nog regelmatig mn calculusboek even uit de kast pak om even iets na te kijken.
Ik heb pasgeleden een lezing van Nico Verloop bijgewoond en hij had een aantal interessante resultaten die ook aansluiten bij de discussie.
Centraal Planbureau, Rapport “Kansrijk Kennisbeleid” (juni 2006)
Diverse beleidsmaatregelen:
Kansrijk:
Verhogen kwaliteit leraren
Meer voor- en vroegschoolse educatie
Vermindering voortijdig schoolverlaten
Niet kansrijk:
Klassenverkleining
Meer computers in het onderwijs
Afschaffen centrale examens
Hij gebruikte daarbij ook resulaten van Sanders over het opleidingsniveau van docenten, waarvan ik dit artikel heb gevonden:
http://www.nesinc.com/PDFs/2005_11Sanders.pdf
De tendens momenteel is dat het opleidingsniveau van leraren in het voortgezet onderwijs steeds lager wordt omdat veel academisch geschoolde docenten uitstromen en er relatief weinig bij komen. Het perspectief (vooral financieel) om leraar te worden is niet echt gunstig vergeleken met bijv. het bedrijfsleven. Zolang dat zo blijft heb je kans dat het (wiskunde)onderwijs langzaam maar structureel achteruit blijft gaan.
En als reactie op Jan die vindt dat goede leerlingen er onder lijden dat er op een grotere groep gefocust wordt. De motivatie is gemiddeld erg laag en je hebt maar een enkeling die echt boven de rest uitsteekt. Tenzij je echt hard gaat selecteren zal dat niet veranderen (wisD biedt perspectief, maar alleen als de selectieprocedure ook echt streng is)
En goede leerlingen uitdagen met verrijkingsstof is natuurlijk altijd een mogelijkheid. Het kost wel veel werk voor de docent, maar het is wel leuk om te doen denk ik.
Thursday 30 November 2006 om 10:20
Tja, de GR en computers (metwiskunde software) in het algemeen, zijn een soort besturingsmechanisme van / voor de wiskunde. Het is net met autorijden. Een goede rijder weet ook niet hoe alles onder de moterkap werkt. Toch kan het een zeer nuttige om GR’s en computers goed te kunnen bedienen.
Friday 1 December 2006 om 10:54
Ik vond het interessant om te lezen dat een van de redenen voor het invoeren van GR was meer aandacht te besteden aan logisch redeneren.
Niet alleen omdat je daar de GR nou juist helemaal niet bij kunt gebruiken, maar ook door mijn eigen ervaringen van de afgelopen twee jaar bij het geven van Calculus en Lineaire Algebra aan eerstejaars natuurkundestudenten.
Eerlijk gezegd herken ik me niet zo in de kritiek dat de studenten te weinig parate kennis hebben. Het is hier al eerder gezegd: dit soort kennis ontwikkel je vooral in de praktijk door het te gebruiken en dat gebeurt hier op de universiteit genoeg.
Waar ik echter wel geschokt over was, was het onvermogen van mijn studenten om – jawel – logisch te redeneren.
Een lichte meerderheid had geen enkele moeite om redeneringen van het type “Een koe heeft een hoofd, ik heb een hoofd dus ik ben een koe op te schrijven”.
Voor de zekerheid heb ik het nog eens nagevraagd in het koeienvoorbeeld en daar zag iedereen de fout wel. Het bleek dat studenten in de veronderstelling verkeren dat de regels van de logica overal gelden BEHALVE in wiskunde.
Aanvankelijk brak mijn klomp, aangezien het in mijn wereldbeeld precies andersom is, maar later ging ik inzien dat dit misschien wel iets met middelbare schoolwiskunde te maken heeft: bij bijna alle voorbeelden die je ziet kun je de koeien-redenering wel toepassen.
Als 3 + 6 = 9 en 3 + x = 9 kun je inderdaad concluderen dat x = 3;
Als 4*5 = 20 en y*5 = 20 is het geen schande om aan te nemen dat y = 5.
Kennelijk neemt wiskunde een soort uitzonderingspositie in, althans in de hoofden van veel mensen.
Eerlijk gezegd kan ik nauwelijks geloven dat dit voor mijn generatie ook gegolden moet hebben, maar aan de andere kant is er ook geen reden om dit verschijnsel nou aan de tweede fase te wijten, dus waarschijnlijk bestond dit probleem altijd al.
In elk geval kunnen we concluderen dat als wiskundeonderwijs wil bijdragen aan vermogens tot logisch redeneren er nog veel moet gebeuren…
Friday 1 December 2006 om 20:03
In die voorbeelden zie ik zelfs geen koeienlogica! En dat schrijven eerstejaars natuurkundestudenten zo op? Dat zullen toch slordigheidsfouten zijn, mag ik hopen?
Saturday 2 December 2006 om 16:55
O ik heb mijn eigen stukje weer verpest door de verkeerde voorbeelden op te schrijven.
Ik bedoelde natuurlijk: als x + 6 = 9 en 3 + 6 = 9 dan kun je inderdaad concluderen dat x = 3 en als y * 4 = 20 en 5 * 4 = 20 dan is het geen schande te concluderen dat y = 5.
Hmmm ik krijg opeens een stuk meer begrip voor mijn studenten nu blijkt dat ik het zelf in deze eenvoudige voorbeelden al niet kan.
Saturday 2 December 2006 om 19:02
Geeft niet, Vincent, daar hebben we allemaal wel eens last van; een raar soort blinde vlek; menen op je beeldscherm hetzelfde te zien als wat je in je hoofd hebt en pas na ‘Submit Comment’ ontdekken dat dat precies omgekeerd is. Laatste durfde ik hier om dezelfde reden met droge ogen te beweren dat de wortel(2)=4…
Brrr.. en vluchten kan niet meer…
Tuesday 5 December 2006 om 21:41
*Valt laat weer binnen*
“Ik zou gebruiken dat a > b d.e.s.d.a. a^2 > b^2″
Is dat waar? Er zijn reële getallen te kiezen waarvoor a b^2 namelijk als je a een negatief getal neemt met een absolute waarde groter dan b. Aangezien -8^2 = 64 en 2^2 = 4 en 64 > 4 maar -8
Tuesday 5 December 2006 om 21:44
Stomme code. *mopper*
-Er zijn reële getallen te kiezen waarvoor a kleiner dan b maar a^2 groter dan b^2.
-Aangezien -8^2 = 64 en 2^2 = 4 en 64 groter dan 4 maar -8 kleiner dan 2.
Toch?
Tuesday 5 December 2006 om 21:57
dat klopt
slim gezien!
Thursday 7 December 2006 om 09:40
He? nieuw lettertype?
Thursday 7 December 2006 om 09:40
Even een technisch vraagje tussendoor: hoe maak je een groter dan teken?
Thursday 7 December 2006 om 09:45
Ha, iemand heeft alles bold gemaakt hier. Opgelost. Hier staan html-tekens: http://www.htmlhelp.com/reference/html40/entities/special.html
Even kijken of het werkt: >
Thursday 7 December 2006 om 10:18
Leuk > > >
Thursday 7 December 2006 om 10:18
hmmmm
Thursday 7 December 2006 om 10:19
>
Thursday 7 December 2006 om 10:20
^>
Thursday 7 December 2006 om 10:20
ok, ik zal ophouden met dingen uitproberen…
Thursday 7 December 2006 om 10:20
Maar het blijft toch een soort wonder
Thursday 7 December 2006 om 21:13
[...] Na het onderwijsrumoer van de afgelopen weken, dient zich een nieuwe speler aan in het discussieveld: de onderwijsraad, het adviesorgaan voor de regering op het gebied van onderwijs. [...]
Monday 18 December 2006 om 11:47
[...] Ook het Freudenthal Instituut (FIsme) geeft zijn mening in het onderwijsdebat (zie ook hier en hier). [...]
Monday 18 December 2006 om 14:41
[...] Als reactie op het advies van de resonansgroep wiskunde (zie ook ons stukje), heeft het ministerie van OCW een aantal veranderingen aangebracht in de nieuwe concept-examenprogramma’s die in augustus 2007 ingaan. Het gaat om kleine veranderingen, want op het moment dat de resonansgroep gevraagd werd zich te buigen over de programma’s waren de leermiddelen eigenlijk al bijna klaar. [...]
Sunday 27 May 2007 om 18:27
[...] Wij schreven al eerder over al het onderwijsrumoer: lees hier over de discussie tussen de resonansgroep en de NVvW, lees hier de mening van de onderwijsraad, lees hier over de brief die Jan van Maanen schreef namens het Freudenthal Instituut (lees vooral ook zijn oratie De koeiennon – Hoe rekenen en wiskunde te leren en van wie?) en lees hier wat het ministerie aanpaste in de examenprogramma’s op aanbeveling van de resonansgroep. [...]
Friday 21 December 2007 om 12:30
hoiii we zitten hier met klein probleempje namelijk we kunnen deze vergelijking niet oplossen:
(3x+4)/(x-3)
Thursday 14 February 2008 om 22:33
Volgens mij kun je die vergelijking niet oplossen. Er staat immers niet = (**)
Friday 15 February 2008 om 00:10
Dan zouden plaatjes ook moeten kunnen:
Friday 15 February 2008 om 00:14
Dat weer niet, maar vet wel?
Friday 15 February 2008 om 00:17
Of cursief?
Friday 15 February 2008 om 00:21
tabel?
Friday 15 February 2008 om 00:23
De meeste html-codes worden er blijkbaar uitgefilterd.