Wiskundemeisjes

Sjoerd Verduyn Lunel

Sjoerd Verduyn Lunel is hoogleraar analyse en wetenschappelijk directeur van het Mathematisch Instituut en het Liacs in Leiden. Binnenkort gaat hij ons in die hoedanigheid verlaten en wordt hij decaan van de faculteit W&N. Een mooie aanleiding om hem te vragen naar zijn favoriete (nog levende!) wiskundige.

Verduyn Lunel houdt zich bezig met oneindig-dimensionale dynamische systemen. Die kom je tegen als je in een gewone differentiaalvergelijking een tijdsvertraging stopt: een term waar bijvoorbeeld t-1 in voorkomt. Dat betekent dat je niet alleen de huidige staat van een systeem nodig hebt, maar ook de staat van het systeem op een bepaald moment in het verleden. In de praktijk hebben veel systemen waarvan je een model wil maken een tijdsvertraging, want vaak wordt systeeminformatie teruggekoppeld, bijvoorbeeld in de transcriptie van RNA naar DNA. Vaak wordt die tijdsvertraging in modellen weggelaten, niet omdat ze niet relevant is, maar omdat ze de modellen te moeilijk maakt.

Verduyn Lunel vindt differentiaalvergelijkingen met tijdsvertraging zo interessant omdat er twee kanten aan zitten. Aan de ene kant wordt het systeem door die tijdsvertraging oneindig-dimensionaal in plaats van eindig-dimensionaal. Daardoor gelden allerlei stellingen die je wel hebt voor eindig-dimensionale systemen niet meer voor deze systemen. Aan de andere kant lijken ze wel zoveel op gewone differentiaalvergelijkingen dat er wel een heleboel aan te rekenen en te ontdekken valt. Zo kun je toch iets leren over oneindig-dimensionale systemen in het algemeen.

Jack Hale

Verduyn Lunel kiest als zijn favoriet iemand die ook in dit vakgebied werkt: Jack Hale (1928). Hij is lang professor geweest aan Brown University, waar Verduyn Lunel met hem werkte als postdoc. Ze kennen elkaar goed en ze hebben samen een boek geschreven (Introduction to Functional Differential Equations).

Hale is beroemd geworden met zijn kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen. Vroeger zochten wiskundigen die een differentiaalvergelijking wilden oplossen naar een analytische formule, en als dat niet lukte of niet kon dan stopten ze ermee. Nu bestuderen wiskundigen ook kwalitatieve aspecten van zo'n vergelijking. Je kunt bijvoorbeeld kijken naar het gedrag van oplossingen en zien dat er een oscillatie optreedt, zonder dat je precies de minima, de maxima of de periode weet. Deze manier is minder precies, maar je kunt wel meer te weten komen over de vergelijking.

Hale was een van de eersten die dit soort nieuwe vragen stelde, in een tijd (de jaren '40) waarin differentiaalvergelijkingen niet in de mode waren. Hij hield zich bezig met zogenaamde attractors, die het lange-termijngedrag van een systeem beschrijven. Hale mengde op deze manier differentiaalvergelijkingen met topologie.

Hale vindt het belangrijk om historisch besef te hebben. Hij was een leerling van Lefschetz, die voor hem een brug vormde met de wiskunde van Poincaré en Lyapunov: pioniers in dit vakgebied. Lefschetz was opgegroeid in Moskou, dus hij sprak Russisch en had bovendien zicht op de Russische literatuur. Zo vormde hij ook een link met de Russische wiskunde, die in die tijd nog niet zo toegankelijk was in het westen. Het belang dat Hale hecht aan de geschiedenis blijkt ook uit het feit dat hij zijn studenten en postdocs de originele bronnen laat lezen. Zo lezen ze ook artikelen waarin verslag gedaan wordt van echt vernieuwende ideeën, in plaats van alleen de recentste artikelen.

Hale vertelt veel anekdotes uit het verleden. Zo vroeg hij een keer aan Lefschetz: "Is this a good problem to be working on?", waarop Lefschetz vroeg: "Does it bother you?" "Yes," zei Hale. Waarop Lefschetz als advies gaf: "Then keep at it until it does not bother you." Zelf vindt Hale dit ook: "We should not work on something unless it excites us and results in satisfaction."

Een ander aspect van Hale dat Verduyn Lunel sympathiek vindt, is zijn houding tegenover toepassingen van de wiskunde. Hij is zich zeer bewust van de toepassingen en wordt daar erg door geïnspireerd, maar vindt ook dat je als wiskundige de verantwoordelijkheid hebt om de wiskunde verder te ontwikkelen. Je moet daar als wiskundige een goede balans in vinden: als je je alleen richt op toepassingen dreigt het gevaar dat je alleen service verleent, maar de toepassingen kunnen wel een goede aanleiding zijn om aan nieuwe wiskunde te werken.

Hale is een bescheiden man. Hij groeide op in het arme Kentucky en was de enige uit zijn gezin die ging studeren. Hij heeft nog steeds een zwak voor mensen in moeilijke posities en hij heeft dan ook veel afstudeerders uit andere landen aangetrokken. Zijn aio's en postdocs zien elkaar regelmatig en ze vormen een hechte groep. Inmiddels zijn aio's en postdocs van Hale hoogleraar geworden in veel verschillende landen, bijvoorbeeld Brazilië, Spanje, Portugal, Duitsland en Italië.

(Jeanine)

Uit het artikel Gefascineerd door het geld - Mensen zonder financiële opleiding kunnen ook bij banken terecht in de nrc.next van vandaag:

Uit onderzoek van wervingsbureau Robert Walters blijkt dat een wiskundige als risicoanalist bij een bank een startsalaris mag incasseren van 40.000 tot 50.000 euro. Dat is aanzienlijk meer dan de 25.000 euro die hij als aio kan verdienen.

De wiskundemeisjes zijn erg tevreden met hun baan als aio, maar het is goed om dit te onthouden! Universiteiten zouden dit ook moeten vertellen bij hun voorlichting...

(Ionica)

Jeffrey Shallit schrijft op zijn blog over een nieuw resultaat van zijn promovendus Zhi Xu: The Noncommutative Frobenius Problem is Solved. Het aardige aan dit werk is dat het ook voor buitenstaanders redelijk makkelijk te begrijpen is. Shallit weet ook hoe hij dingen moet uitleggen, hij begint zijn stuk met het Chicken McNuggets probleem. McNuggets werden oorspronkelijk verkocht in doosjes met 6, 9 of 20 stuks. Wat is het grootste aantal McNuggets dat je NIET kunt kopen door een aantal van deze doosjes te kopen? Dit probleem staat (tot mijn verbazing) ook op Mathworld.

Het antwoord is 43. Elk groter aantal kun je samenstellen uit doosjes van 6, 9 en 20 stuks. Dit is een speciaal geval van het Frobenius probleem: stel je hebt een aantal positieve, gehele getallen met de grootste gemene deler gelijk aan één. Wat is het grootste getal dat je niet kunt maken door deze getallen (met positieve gehele coëfficienten) bij elkaar op te tellen? Voor twee en drie getallen is dit probleem efficiënt op te lossen, maar voor grotere aantallen is het een moeilijk probleem.

Shallit generaliseerde dit probleem naar woorden oftewel rijtjes symbolen. Zijn student haalde in die generalisatie een mooi resultaat. Lees de rest zelf op zijn blog Recursivity. Op arXiv kun je ook het complete wiskundige artikel van Xu en Shallit vinden: The Frobenius Problem in a Free Monoid.

(Ionica)

Inmiddels hebben we een heleboel mooie wiskundige foto's ontvangen voor onze zomerprijsvraag. Als jij ook kans wilt maken op een wiskundemeisjes-prijzenpakket of een mooi boek over wiskunde, dan moet je voor 1 september jouw mooiste foto met wiskunde naar ons toe mailen!

Wat zit er in het prijzenpakket? Een wiskundemeisjes-t-shirt naar keuze, een leuk wiskundeboek en een jaarabonnement op Pythagoras! De twee troostpijzen zijn elk een wiskundeboek.

Ter extra motivatie maken we nu vast bekend uit welke boeken de winnaar mag kiezen!

• Simon Singh: Fermat’s Last Theorem of Het Laatste Raadsel van Fermat.
• Marcus du Sautoy: The music of the primes.
• Karl Hofmann e.a.: Proofs from the book.
• Paul Hoffman: The man who loved only numbers.
• Arno van den Essen: Magische vierkanten.

(Ionica en Jeanine)

Canons zijn in! Na de canon van Nederland ontstonden er allerlei canons, lijsten van zaken die alle mensen zouden moeten weten. Zo schreven de wiskundemeisjes allebei al een artikel voor de Volkskrant bètacanon en zagen we grappige stripjes voorbij komen in de historische canon van Fokke & Sukke.

Nu is er dan ook een canon van de wiskunde! Hij is te vinden op www.wiskundecanon.nl. Johannes Lok en Wiggert Loonstra, twee Utrechtse wiskundestudenten, hebben voor het vak Geschiedenis van de Wiskunde een lijst opgesteld van 31 belangrijke wiskundigen uit de wereldgeschiedenis. Bij elk van deze wiskundigen hebben ze een stukje geschreven over hun leven en werk. De site is bedoeld voor iedereen; wie de wiskundemeisjes leest kan dus ook rustig een kijkje nemen op de wiskundecanon!

(Jeanine)

Op dit moment draait The Simpsons movie in de Nederlandse bioscopen. Naar aanleiding daarvan interviewde Nature Al Jean, een van de schrijvers. Jean studeerde wiskunde aan Harvard en stopt regelmatig wiskundige grapjes in The Simpsons. Hierbij twee mooie quotes uit het interview.

So is there a formula for writing good jokes?
I look at comedy writing mathematically, it’s sort of like a proof in which you’re trying to find the ideal punchline for a setup, and when you get it it’s a very elegant feeling. It’s a little like the feeling I used to get on completing a proof when I was doing maths at college.

Several Simpsons writers have backgrounds in maths and science. Are you a bunch of geeks at heart?
When we’re alone we talk about maths [chuckles], but we’ve learned that there’s a wider world, so we don’t always expose others to it, and we do it in a subtle way.

Heeft iemand al subtiele wiskundegrappen gevonden in de film?

(Ionica)

Hoe ontwikkelt vegetatie zich in een woestijn? Dit is een van de vele voorbeelden van dynamische systemen – het onderwerp van de Vakantiecursus voor Wiskundeleraren 2007. De cursus vindt plaats op 24 en 25 augustus in Eindhoven en op 31 augustus en 1 september in Amsterdam. Hij wordt georganiseerd door het Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI voor vrienden) en de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. Speciale aandacht is er dit jaar voor mogelijke invulling van de vrije ruimte in het nieuwe vak wiskunde D.

Begroeiing in een woestijnachtig gebied vormt vaak spontaan patronen. Hoe en waarom ontwikkelen deze vegetatiepatronen zich? Begrip van deze patroonvorming is van groot belang, zeker nu de regenval op veel plaatsen op aarde af lijkt te nemen. In de wiskunde kunnen natuurlijke processen goed gemodelleerd worden met differentiaalvergelijkingen.

Arjen Doelman, clusterleider bij het CWI en hoogleraar aan de Universiteit van Amsterdam, legt uit: "De overgang van een labyrintachtige begroeiing naar een woestijn is zeer plotseling. Bij afnemende regenval of toenemende begrazing neemt de begroeiing eerst langzaam af maar opeens is er een catastrofale overgang. Het labyrint verdort en het gebied verandert in een woestijn. Het proces is onomkeerbaar; de begroeiing keert niet zomaar uit zichzelf terug als er bijvoorbeeld meer regen valt."

Tijdens de vakantiecursus bespreekt Doelman wiskundige modellen. "Hieraan kun je zien wanneer de vegetatiepatronen instabiel worden en woestijnvorming onvermijdelijk is. Ook zie je waarom er geen geleidelijke overgang is tussen begroeiing en de woestijn. Sommige vegetatiepatronen blijken robuuster te zijn dan andere; zij kunnen het langer volhouden zonder regen", aldus Doelman. "Realistischer modellen kunnen wellicht nuttig zijn bij het schatten van de kans dat een gegeven gebied woestijn wordt."

Andere onderwerpen van de Vakantiecursus 2007 zijn biologische netwerken, complexe getallen, de 'Hollandsche differentiaalvergelijking' van Van der Pol, hartritmes, wiskunde en planeetbanen, dubbelplaneten, donder en bliksem en complexe dynamica. Ionica zal in Amsterdam van de partij zijn en verheugt zicht op voordrachten van goede sprekers als Arjen Doelman, Jan van de Craats, Robbert Fokkink en anderen!

(Ionica)

Dick attendeerde ons op het artikel Scholieren mijden wiskunde in Trouw en op een interview over de Tweede Fase met Paul Drijvers. Gisteren is de nieuwe Tweede Fase van start gegaan. Leerlingen krijgen wat meer vrijheid om vakken te kiezen en wiskunde is niet langer in alle profielen verplicht. Wel kunnen de geïnteresseerde leerlingen dieper ingaan op de stof in het nieuwe vak wiskunde D. Paul Drijvers van het FIsme en secretaris van de Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs gaf gisteren een reactie op BNR nieuwsradio (kies voor 20-8-2007, tijdstip 14.43).

Trouw schrijft:
Een deel van de havo-leerlingen krijgt helemaal geen bètastof meer. Voor havisten met het profiel cultuur & maatschappij is wiskunde namelijk niet langer verplicht. Een derde tot de helft laat dat vak inderdaad vallen, blijkt uit de enquête. Bovendien verdwijnt het vak algemene natuurwetenschappen van het havo-rooster; dat was bedoeld om ook scholieren die geen exact profiel kozen enig begrip van bètazaken bij te brengen.

Paul Drijvers zegt in zijn reactie op BNR nieuwsradio dat het wel meevalt met het aantal leerlingen zonder wiskunde en dat de enquête niet zo'n heel duidelijk beeld geeft. Hij noemt de vernieuwde Tweede Fase "gemengd nieuws", en hij benadrukt dat dit slechts een kleine aanpassing is om de kinderziektes aan te pakken. Over een jaar of vier komt de grote inhoudelijke vernieuwing van de Tweede Fase.

Volgens Drijvers is het probleem dat de beleidsmakers niet consequent te werk gaan. Aan de ene kant wordt er veel geld gestopt in bèta-promotie, denk aan het Platform Bèta Techniek dat wil zorgen voor genoeg bèta's en technici. Aan de andere kant worden besluiten over de Tweede Fase voor een deel niet op grond van inhoudelijke, maar op grond van organisatorische argumenten genomen: het aantal uren wiskunde wordt verminderd, omdat het voor scholen makkelijker is als alle vakken ongeveer evenveel uren hebben.

Er is gesneden in het verplichte deel van de wiskunde in het profiel natuur en techniek, wat het profiel is waarmee leerlingen een bèta- of technische studie kunnen gaan doen. Het nieuwe vak wiskunde D biedt veel interessante onderwerpen en een betere voorbereiding op zo'n studie, maar dat is niet verplicht.

Over dit leuke, nieuwe vak wiskunde D zegt Trouw:

Uit de enquête blijkt dat de helft van de scholieren [die het profiel natuur en techniek hebben - JD] dit nieuwe vak mijdt.

Exacte studies aan de universiteiten zijn daar niet blij mee. „Wij moeten onze inhoud afstemmen op de studenten die dat vak niet hebben gevolgd”, stelt Mark Peletier, hoogleraar wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven. „Dat betekent dat het niveau omlaag moet.”

Volgens Drijvers ligt hier het zwakke punt. Universiteiten en hogescholen klagen al een paar jaar over het wiskundeniveau van de eerstejaars bèta- en techniekstudenten, en juist in de verplichte wiskunde voor deze studenten is nu gesnoeid. Volgens Drijvers moeten de toekomstige studenten in exacte vakken goed worden voorbereid, en daarvoor is meer specialisatie en diepgang nodig.

De aansluiting tussen het voortgezet en het hoger onderwijs is met deze aanpassingen dus niet verbeterd, terwijl dat wel nodig is. Drijvers merkt op dat iemand zich zal moeten aanpassen: het voortgezet onderwijs, of het hoger onderwijs, want ze moeten natuurlijk wel op elkaar aansluiten. Een uitdaging voor iedereen.

(Jeanine)

Een paar maanden geleden kregen de wiskundemeisjes via-via de vraag of ze aardige filmfragmenten kenden die de charme van het creatieve proces in de wiskunde demonstreren. Voorzitter van de Sociaal Economische Raad Alexander Rinnooy Kan was daarnaar op zoek. Wij weten nu waarom: vanavond is hij te zien als zomergast op Nederland 2.

Rinnooy Kan studeerde in 1972 cum laude af als wiskundige in Leiden. Daarna promoveerde hij aan de Universiteit van Amsterdam. Zijn publicatielijst is behoorlijk indrukwekkend met meer dan honderd artikelen. Zijn c.v. is zo mogelijk nog indrukwekkender, hij was onder andere rector magnificus van de Erasmus Universiteit en is sinds 2006 voorzitter van de Sociaal-Economische Raad, het belangrijkste sociaal-economisch adviesorgaan van het kabinet.

Dankzij Peter van Emde Boas kunnen we een foto laten zien van Alexander Rinnooy Kan in zijn jonge jaren, toen hij werkte als wiskundige. De foto is genomen in 1976.

We zijn benieuwd welke fragmenten Rinnooy Kan gekozen heeft en wat hij over wiskunde zal zeggen. Hopelijk wordt het net zo'n mooie aflevering als die met Robbert Dijkgraaf twee jaar terug. Vanavond zitten wij in elk geval vanaf 20.25 uur voor de televisie!

(Ionica)

Probleem 5: Leo de leugenaar

Leo de Leugenaar is een vreemde leugenaar. Op zes dagen van de week liegt hij, maar op de zevende dag spreekt hij altijd de waarheid. De volgende uitspraken deed hij op drie opeenvolgende dagen:

Dag 1. "Ik lieg op maandag en dinsdag."

Dag 2. "Vandaag is het donderdag, zaterdag of zondag."

Dag 3. "Ik lieg op woensdag en vrijdag."

Op welke dag spreekt Leo de waarheid?

(Jeanine)