Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Muntjes op de tafel


In Puzzels, door wiskundemeisjes

Het is weer eens tijd voor een leuke puzzel. Later deze week volgt de oplossing!

Muntjes

Stel dat je een rechthoekige tafel hebt waarop 100 munten van dezelfde grootte liggen. De munten liggen nergens over elkaar heen. De munten liggen zo dat je op geen enkele plek nog een 101ste muntje ertussen kan leggen - elke open ruimte tussen de munten is daar net te klein voor. Je kan ook aan de randen nergens een muntje meer erbij schuiven dat niet direct van de tafel valt.

Bewijs nu dat je de hele tafel kunt bedekken met 400 van deze zelfde muntjes. Hierbij mogen de muntjes elkaar natuurlijk wel overlappen, maar er mag geen stukje van de tafel zijn waarop geen muntje ligt.
(Ionica)

16 reacties op “Muntjes op de tafel”

  1. Aitrus:

    ik geloof dat ik de vraag niet snap, want zoals ik het nu zie kan het zelfs met 300 muntjes. Is de vraag dat je moet bewijzen dat je geen stukje van de tafel meer ziet, of dat op elk punt van de tafel een muntje de tafel fysiek raakt?!

    Want als het is dat je de tafel niet meer mag zien, dan heb je er volgens mij 300 nodig:
    Drie lagen van elk 100 muntjes om alle gaten te vullen. Uitleggen is lastig, maar een plaatje verduidelijkt alles. Het werkt hetzelfde als een kubisch ruimtelijk gecentreerde dichtste bolstapeling.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Close_packing.png

  2. Ionica:

    Je hoeft de tafel niet fysiek te raken met de muntjes, je moet zorgen dat je de tafel niet meer ziet.

    Ik betwijfel of het echt lukt met 300 muntjes. Je kan in de situatie met 100 muntjes nog heel veel grote gaten hebben. Als elk gat maar net iets kleiner is dan een muntje, dan kun je er toch niets bij leggen.

  3. Bart:

    Ik snap de puzzel niet. Dat komt waarschijnlijk door het woord 'overdekken', wat in mijn belevingswereld iets is dat je met zwembaden doet. Wat bedoelen wiskundigen ermee?

    Stel dat de rechthoek 10*10 muntjes groot is. Dan heb je er honderd nodig voor de onderste laag. 81 om de gaatjes tussen elke vier muntjes te dichten, en 20 voor de gaten tussen twee muntjes aan de zijkant. 201 muntjes. Dan kan je natuurlijk gaan stapelen tot je muntjes op zijn, of je neemt de rest mee naar de kroeg.

    Vijf bij twintig muntjes? 100 + 4*19 + 5 + 20 = 201.

    Vier bij vijfentwintig? 100 + 3*24 + 4 + 25 = 201

    Maar het ligt vast aan mij.

  4. Ionica:

    Ik heb het probleem nu ietsje anders opgeschreven, is het zo duidelijker? Het idee is dat je niet weet hoe de muntjes in eerste instantie liggen, alleen dat je weet dat er geen al te grote lege plekken kunnen zijn. Ik zet het antwoord later deze week erop!

  5. Marc:

    Stel de tafel is 10 op 10 munten groot.
    We bedekken de tafel met 100.
    Nadien met 121 (11X11)munten die al de lege plaatsen opvullen inclusief de buitenkanten.
    Ik kom dus aan 212 munten.

  6. Ionica:

    En als de tafel nu groter is dan 10 bij 10 munten?

  7. Maarten:

    Ik zou zeggen, zorg dat je ook een hele stapel munten hebt met een twee zo grote straal, en wat extra tafels. Vervang elk klein muntje op tafel door een grote munt, met het midden op dezelfde plek. Deze honderd grote munten bedekken nu de hele tafel.
    Stel namelijk dat het punt P nog vrij is. Dan zouden we een klein muntje precies midden op P kunnen leggen. Dit muntje zou dan niet overlappen met de aanvankelijke configuratie van kleine muntjes.
    Kopieer nu deze tafel met grote munten drie keer, en schuif die vier tafels zo tegen elkaar aan dat ze weer een rechthoek vormen. Nu hebben we een tafel die twee keer zo lang en twee keer zo breed is, en die bedekt wordt met 400 grote munten. Verklein nu het hele zaakje met een factor 2.

  8. Aitrus:

    nou ja ... zal wel aan mij liggen, ik ben tenslotte geen wiskundige ofzo, maar volgens mij heb je gewoon 300 muntjes nodig:
    elke keer 1 laag van 100 muntjes die iets verschoven zijn t.o.v. elkaar. Met bollen is dat voldoende om geen gaten meer te hebben bij een bovenaanzicht en volgens mij betekent dat dus ook dat het voor muntjes geldt ......

  9. Ionica:

    Ha Atrius, dat werkt niet altijd omdat je bij de eerste 100 muntjes flinke lege plekken kan hebben.

    Misschien helpt het om naar een kleiner probleem te kijken. Stel dat je een heel klein vierkant tafeltje hebt, dan een beetje kleiner dan 2 bij 2 cm is. Leg in het midden een muntje met een diameter van 1 cm. Als het goed is, kun je nu aan de randen geen muntje meer kwijt (de rand is smaller dan een half muntje) en past ook aan de hoeken geen muntje erbij. Je kunt deze tafel niet helemaal bedekken met 3 muntjes, wat je ook probeert. Met 4 muntjes lukt het wel op de manier van Maarten.

  10. Jeroen:

    Hoi Ionica,

    In het laatste voorbeeld dat je schetste kan je 2 muntjes op het tafeltje leggen: namelijk met de middelpunten op de diagonaal van het tafeltje. De muntjes raken elkaar precies in het midden van het tafeltje.

    Een muntje blijft al op de tafel liggen als het zwaartepunt (in dit geval middelpunt van de 'cirkel') zich op het tafeloppervlak bevindt.
    De diagonaal van de tafel moet minder dan 2 maal de straal van het muntje zijn, wil er maar 1 enkel muntje op de tafel passen. Echter in dat geval bedekt dat ene muntje de hele tafel.

  11. Ionica:

    Het gaat er bij dit raadsel niet om hoeveel muntjes er op de tafel zouden kunnen passen: Je hebt een gegeven situatie (tafel + muntjes) en zoals het ligt kan je er geen muntje meer bijleggen. Je mag dus niet gaan schuiven met de al liggende muntjes.

    Het is trouwens erg leerzaam om te zien hoe lastig zo'n raadsel goed uit te leggen is. Ik doe de volgende keer weer iets met getallen... ;)

  12. Camiel:

    Misschien kun je iets erbij illustreren? Hoe ben je met paint?

  13. Marco:

    verf?

  14. Jos:

    Het verkeerd interpreteren van de opgave geeft wel weer een nieuwe opgave. (Wat zit wiskunde toch mooi in elkaar. Zelfs als je het fout doet, gaat de wiskunde alsnog vooruit.)

    De opgave is de volgende.

    Gegeven is een rechthoekige tafel en een hele hoop identieke muntjes. Verder is gegeven dat als je muntjes op de tafel legt, zodat er geen twee overlappen (ze mogen buiten de tafel steken, maar er niet afvallen), dan kun je er maximaal 100 kwijt.
    Geef een zo goed mogelijke bovengrens voor het minimum aantal muntjes dat je nodig hebt om de tafel volledig te bedekken. Hoe zit dit bij tafels die niet perse rechthoekig zijn? Verder kunnen we het aantal muntjes dat in eerste instantie past varieren. Hoe gedraagt het antwoord zich t.o.v. deze variabele? etc. etc. etc.

    We weten al dat 400 muntjes genoeg is, maar dat kan vast beter.

  15. Maarten:

    Fraai is dat! Denk je, dit zal de oplossing wel wezen, komt er gewoon een nieuw probleem op tafel. De vraag van Jos is VEEL moeilijker dan de eerdere puzzel.

    Dat komt doordat 100 een nogal klein aantal is in deze context. Daardoor spelen de rand en de vorm van de tafel een grote rol. Maar goed, als je een rechthoekige tafel neemt en je let even niet zo scherp op de rand, dan valt er wel iets over te zeggen. De meest efficiënte manier om muntjes zonder overlap neer te leggen schijnt te zijn in de vorm van een driehoekig rooster. Als de straal van zo'n muntje 1 is, dan kan je ze het beste zo neerleggen dat de afstand van de middelpunten van naburige muntjes 2 is. Op een tafel van breedte b en lengte l liggen dan ongeveer
    (b x l) / (2 x wortel 3) muntjes.
    Om nu deze tafel helemaal te bedekken met muntjes is het waarschijnlijk ook het handigste om ze in een driehoekig rooster te leggen. Ik denk dat je de muntjes nu op afstand wortel 3 van elkaar moet leggen. Op diezelfde tafel zouden dan nu ongeveer
    (b x l) / ((wortel 3) x 1.5) muntjes liggen.
    Dus als je eerst 100 muntjes zonder overlap op tafel had liggen, dan kan je de tafel overdekken met ongeveer
    100 x (2 x wortel 3) / (wortel 3 x 1.5) = 133.3
    muntjes.
    Vanzelfsprekend is dit allemaal veel beter te zien als je het even tekent.

    Deze redenering houdt zoals gezegd geen rekening met de rand. Ik schat dat je daarvoor nog maximaal 2 x 10 + 1 = 21 extra muntjes nodig hebt.
    Al met al vermoed ik dus dat het met 154 muntjes kan.

  16. GuuSpace:

    dat je de muntjes niet mag verplaatsen had ook wel in de uitleg gemogen eerlijk gezegt:P

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.