webhost van wiskundemeisjes.nl 
Dit bericht is geplaatst op Thursday 22 March 2007 om 16:38 in categorieën Algemeen, Nieuws. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Magisch vierkant
In Algemeen, Nieuws, door wiskundemeisjes
Drie scholieren hebben een heel bijzonder magisch vierkant gevonden, melden onder andere het Brabants dagblad en de NOS. Ze vonden het nadat ze aan een masterclass van Arno van den Essen hadden deelgenomen, op de Radboud Universiteit Nijmegen. Arno van den Essen schreef vorig jaar ook een boek over magische vierkanten. Jesse Hoekstra (17) en Willem Schilte (17) uit Nijmegen en Petra Alkema (15) uit Heeswijk-Dinther hebben het bijna-Franklin magische vierkant hierboven gemaakt.
In een magisch vierkant van n bij n staan de getallen 1 tot en met n2 en wel zodanig dat de som van de getallen in elke rij en elke kolom hetzelfde is. Het vierkant dat de drie scholieren gevonden hebben heeft nog veel meer mooie eigenschappen, zoals je in het plaatje zelf kunt zien. Leuk!
Als je meer wil weten over magische vierkanten: kijk eens op de Engelse wikipedia of lees meer over Franklins magische vierkanten op mathpages.
(Jeanine)
Thursday 22 March 2007 om 17:58
wat een bijzondere prestatie, knap gedaan hoor!
Thursday 22 March 2007 om 20:30
Ze waren zojuist ook op het journaal! Hoera voor wiskunde in het nieuws.
Thursday 22 March 2007 om 20:34
kijk ook even op de site van [url=http://magie.nl.eu.org/magic.php?N=5&startgetal=1]Pieter[/url]
Hij deed er 2 jaar geleden een profielwerkstuk over. Er staat nog steeds een magisch vierkant op het plafond van het wiskundelokaal op het Dalton.
Thursday 22 March 2007 om 20:36
http://magie.nl.eu.org/magic.php?N=5&startgetal=1
Even kijken of het zo beter klikt…..
Thursday 22 March 2007 om 23:08
Ik zag het net bij nova (dat kun je morgen vast op ‘uitzendinggemist’ vinden) waar de interviewer en een groot punt van maakte dat Petra een meisje was en er onverhoeds ‘normaal’ uitzag.
Ik vind het natuurlijk heel knap, en ik begrijp uit de media-aandacht dat dit iets heel bijzonders is. Maar waarom is dit niet typisch een probleem dat je heel gemakkelijk met een computer kunt uitrekenen?
Friday 23 March 2007 om 09:17
Even pennetje in het zuur: zo’n ontzettende, wereldschokkende doorbraak is dit toch niet? Wel knap natuurlijk dat je met puzzelen zoiets ingewikkelds samenstelt.
In de Volkskrant een kritische reactie van Klaas Landsman, die in het persbericht juist heel juichend was:
http://www.volkskrant.nl/wetenschap/article409036.ece/Magisch_vierkant_toch_geen_sensatie
Friday 23 March 2007 om 09:31
Ha die wiskundemeisjes, als dit het “bijna” het gezochte Franklin vierkant is, kunnen jullie dan niet even een statement maken door “het gezochte Franklin vierkant” te bouwen? ;P Moet toch met een beetje “recreatief programmeren” te doen zijn…
Friday 23 March 2007 om 10:53
Leuk in het nieuws, knap in elkaar geknutseld, maar toch een beetje een zeperd. Landsman in de VK: “Maar even eerlijk: het is geen doorbraak. Het gaat om het invullen van getalletjes, het is recreatieve wiskunde. [...] De wiskunde wordt hier geen stap verder mee geholpen.” En waarom was Landsman zo enthousiast in het nieuws: “Ik kan natuurlijk niet een prestatie van mijn eigen universiteit afvallen”.
In 2004 kraakte een student van een Hogeschool uit Eindhoven nog een eeuwenoud wiskundeprobleem, en haalde daarmee de kranten.
Friday 23 March 2007 om 11:40
Ik had eerlijk gezegd niet achter Arno gezocht dat hij dit soort persberichten zo zou opblazen.
Friday 23 March 2007 om 12:22
Op bladzijde 10 van De Pers van vandaag schrijft ook Jan van Maanen over de ontdekking & de hype.
http://depers.coolcreations.nl/papers/56.pdf
Friday 23 March 2007 om 13:45
[...] Het nieuws dat drie Nijmeegse scholieren het meest magische vierkant ooit gevonden hadden, zette gisteren heel Nederland op stelten. Arno van den Essen, wiskundige van de Radboud Universiteit Nijmegen en auteur van het inspirerende boek Magische vierkanten – Van Lo-Shu tot sudoku, noemde de jongeren “hele bijzondere leerlingen” en het vierkant dat ze vonden “het meest magische vierkant van de wereld”. Heel wat media namen dit bericht klakkeloos over en spraken zelfs over een “wereldwijde sensatie”. Koppen als “Scholieren kraken eeuwenoud wiskundeprobleem” en “Wiskunde op zijn kop” moesten ons doen geloven dat er een grote doorbraak is gebeurd. Ook in de Vlaamse kranten werd dit overgenomen. Gelukkig hebben de internationale media het bericht niet opgepikt, want zo sensationeel is dit nu ook niet. [...]
Friday 23 March 2007 om 13:54
@ Camiel: reken maar eens uit hoeveel mogelijkheden er zijn om 144 getallen in een dergelijk vierkant neer te zetten. Dat is een getal dat uit 250 cijfers bestaat! Veel te groot om allemaal met een computer na te gaan.
Friday 23 March 2007 om 15:18
Het is een hele prestatie voor de scholieren Jesse, Willem en Petra.
Het laat mooi het effect zien van het koppelen van top-onderzoekers met middelbare scholieren.
`het meest magische magische vierkant’ is een uitspraak waaraan weer eens te zien valt dat wiskunde een esthetische kant heeft … en tja over smaak valt altijd te twisten :-)
Eerlijk gezegd vind ik de quote van Landsman erg vermakelijk omdat hij in 1 zin zegt dat het maar recreatieve wiskunde is en daarna geeft hij de stelling van Fermat en Het Poincaré vermoeden als `echte’ wiskunde (een verschil dat ik nooit gezien heb).
Maar dat zijn precies voorbeelden van wiskunde die is geboren uit wat spelen met getallen (en bollen) en zonder oog voor toepassingen; oorspronkelijk zeker recreatieve wiskunde zou ik zeggen.
Hij geeft bovendien blijk van het niet begrijpen van wat ze hebben gedaan door het af te doen door het invullen van wat getalletjes…
daarmee mist hij alle symmetriëen en onderliggende structuur die er enkel met logisch nadenken door hen is in gestopt.
De Radboud Universiteit heeft dan ook te maken gehad met de vreemde bokkesprong van Landsman en heeft een persbericht uit gegeven:
http://www.ru.nl/actueel/nieuws/jaar_2007/maart/scholieren_maken/
Friday 23 March 2007 om 15:36
@ Jeanine
je moet natuurlijk niet alle mogelijkheden uitschrijven en daarna bekijken wat er klopt.
Er zijn heel veel welomschreven constraints (de som van per rij, per kolom etc), die je kunt gebruiken om een algoritme te maken.
Friday 23 March 2007 om 15:42
@ Christian: jouw definitie van recreatieve wiskunde lijkt te zijn: wiskunde die je doet voor je plezier zonder oog voor toepassingen. De definitie die wiskundigen hebben van recreatieve wiskunde is naar mijn idee ongeveer: wiskunde die leuk is om mee te puzzelen, maar die niet relevant is voor de voortgang van het wiskundig onderzoek in het algemeen. Meestal gaat wat wiskundigen ‘recreatieve wiskunde’ noemen om tamelijk elementaire problemen en methodes. Elementair betekent niet “makkelijk”, trouwens, maar: “vereist relatief weinig wiskundige voorkennis”.
Volgens jouw definitie is heel veel wiskunde recreatief: bijna alle wiskundigen beleven veel plezier aan de problemen die ze oplossen en veel “echte” wiskunde houdt zich niet met toepassingen bezig. Maar dat is dus niet wat Klaas Landsman bedoelt met ‘recreatieve wiskunde’.
Friday 23 March 2007 om 15:55
Ik heb ooit iemand de term “scholars in the field of recreational mathematics” horen gebruiken…
Die iemand was Bruce Golden, die in 2005 op de “Lunteren conferentie” iets vertelde over Benjamin Franklin, “The world’s first operations researcher”. Daar kwamen ook de magische vierkanten voorbij.
Friday 23 March 2007 om 17:26
@ Camiel: Dat is natuurlijk waar. En dat maakt de complexiteit inderdaad stukken kleiner. Toch denk ik dat de orde van grootte veel te groot blijft, maar ik zit niet goed genoeg in algoritmes & complexiteiten om daar iets zeker over te kunnen zeggen. Het zou best kunnen dat het inmiddels wel kan, maar dat niemand het nog heeft geprobeerd.
Friday 23 March 2007 om 17:31
@Jeanine
LOL voor mij is`recreative wiskunde’ een pleonasme, elementair of niet.
`niet relevant is voor de voortgang van het wiskundig onderzoek in het algemeen’ is een onhoudbare definitie. Heb je enig idee hoe je dat wilt toetsen?
Toen Fermat de beruchte kanttekening maakte, was hij toen bezig met recreatieve wiskunde of met `echte wiskunde’?
Begrijp ik nu dat je bedoelt dat Fermat beweerde dat zijn (nu) stelling eigenlijk een `recreatief stuk wiskunde’ was omdat hij elementair formuleerbaar en (volgens Fermat) elementair (volgens huidige standaarden) oplosbaar en (op dat moment) uiteraard geen enkele relevantie had voor de voortgang van het wiskundig onderzoek in het algemeen (van zijn tijd).
Of zouden we wellicht iets hebben kunnen leren van zijn elementaire bewijs? En werd het daarmee opeens weer `echte wiskunde’? Want de stelling zelf lijkt me niet echt iets met de voortgang van de wiskunde in het algemeen van doen… maar ik kan me vergissen :)
Mijn punt is dat op het moment dat als je een stuk wiskunde neerbuigend gaat afdoen als `recreatieve wiskunde’ zoals Landsman deed, het kennelijk wordt afgezet tegen `echte wiskunde’ en kennelijk niet serieus genomen hoeft te worden?!
Een glijdende helling en onhoudbare stelling lijkt me.
De methode die de scholieren gebruikten is gebaseerd op orthogonale latijnse vierkanten, oorspronkelijk door Euler bedacht en onderzocht om nieuwe magische vierkanten mee te maken. In zijn tijd al werden magische vierkanten al als `niet serieuze wiskunde` gezien (laat staan relevant voor ..) maar je wilt niet weten wat voor gevolgen zijn methoden gehad hebben (laat staan toepassingen).
Zeker relevant voor .. :)
Of de manier waarop de scholieren ermee gewerkt hebben nog een staart gaat krijgen, en dus in hoevere dit resultaat relevant voor de voortgang van de wiskunde in het algemeen zal blijken te zijn, is afwachten geblazen …
Ik begin ondertussen wel benieuwd te worden wat Klaas Landsman eigenlijk bedoelt met `recreatieve wiskunde’….
Friday 23 March 2007 om 17:43
@ Christian: Ik denk dat Klaas Landsman vooral valt over de manier waarop dit puzzeltje tot een buitengewoon briljant wiskundig resultaat wordt opgeblazen. Goed kunnen puzzelen maakt iemand nog geen briljante wiskundige.
Friday 23 March 2007 om 17:46
@ Christian: tuurlijk is recreatieve wiskunde een vaag en onduidelijk begrip & ik pretendeer geen precieze definities te geven. Ik probeer alleen aan te duiden waarom jij wat anders onder het begrip verstaat dan Klaas Landsman doet. Prima dat jij recreatieve wiskunde een pleonasme vindt, daar kan ik het prima mee eens zijn natuurlijk ;-). Maar: wiskundigen gebruiken die term nou eenmaal anders dan jij. En ja, ik denk dat Klaas Landsman bedoelt dat dit een leuk wiskundig feitje is, maar geen wiskundige doorbraak. Dat jij het daar niet mee eens bent is een ander verhaal. :-)
Bovendien: jij vergelijkt dit resultaat met de resultaten van Euler en Fermat. Dat lijkt me onterecht. De resultaten van Euler zijn in onze tijd tamelijk elementair, maar ze waren in zijn tijd echt nieuwe, revolutionaire inzichten. En het bewijs van Wiles van Fermats laatste stelling “elementair oplosbaar (volgens huidige standaarden)” noemen is absoluut een misvatting: dat bewijs is een van de meest geavanceerde stukken wiskunde die er zijn. Geen enkele wiskundige vindt dat nu standaard of elementair. Misschien is dat wel zo over 100 jaar, ja, dat kan best.
Vanzelfsprekend zijn de grenzen tussen recreatieve en “echte” wiskunde, zoals mensen dat graag plegen te noemen, uiterst vaag. Wat ik niet snap is dat mensen zich zo aangevallen voelen: beweren deze scholieren een doorbraak gemaakt te hebben? Nee. Ik zie het probleem niet.
edit: zie ook comment 22.
Friday 23 March 2007 om 17:54
Recreatieve wiskunde is voor mij wiskunde die ik ook zou doen als ik er niet voor betaald kreeg.
Wiskunde is zeker niet altijd leuk. Heel veel wiskunde is gewoon taai en technisch. Sommige wiskunde is heel mooi en elegant en toch bijzonder technisch. Dit soort wiskunde vind ik niet echt leuk. Hierover nadenken zie ik niet als een vorm van ontspanning of vermaak.
Friday 23 March 2007 om 17:55
@ Christian: Ah, nu ik je post nog eens lees neem ik aan dat je Fermats vermeende bewijs bedoelt. Ik geloof eigenlijk niet dat hij dat echt gevonden heeft, jij wel? Voor Fermats vermeende bewijs geldt waarschijnlijk hetzelfde als voor de resultaten van Euler, als het er was.
Friday 23 March 2007 om 20:06
Gegeven de beperkingen met de vierkanten en de 1/3 rijen en kolommen, plus de symmetrie in de middellijn, hoef je maar plusminus 12 getallen in te vullen om het hele vierkant vast te leggen. Makkelijk binnen bereik van computers. Maar met de hand is het een goede prestatie!
De eis van de halve rijen (kolommen) kan niet samen met de 1/3 rijen (kolommen), zoals een eenvoudig argument aantoont.
Is het nu een open probleem of er überhaupt een Franklin magisch vierkant bestaat? 8×8 en 16×16 staan geloof ik in het genoemde boek over magische vierkanten.
Saturday 24 March 2007 om 01:31
Toch ben ik het met Gieljan eens. Telegraaf opende met dit vierkant, alsof het de meest fantastische uitvinding sinds tandpasta met streepjes was. Volgens de Volkskrant is het heel knap – voor middelbare scholieren.
Als bloggiewinnende wiskundemeisjes ligt hier een grotere taak voor jullie weggelegd dan alleen het persbericht leuk herschrijven. Duiding! Eigenstandig debiteren! Toegevoegde waarde!
Saturday 24 March 2007 om 09:55
@zeikertje: mee eens. Heel knap, maar niet wereldschokkend.Doet me denken aan de hype die gecreëerd werd rond een wiskundeleraar in opleiding aan de Fontys hogeschool, eenn paar jaar geleden. Hij leek een moeilijke differentiaal vergelijking analytisch te hebben op gelost. Bleek het achteraf een andere manier van noteren geweest te zijn.
Saturday 24 March 2007 om 21:37
Alsjemenou, een kleine veldslag tussen “recreatief” wiskundigen en “echte” wiskundigen!
Toch snap ik het probleem nog niet helemaal. Voor de mensen die hier schrijven is het duidelijk dat zo’n magisch vierkant wetenschappelijk gezien niet zo veel om het lijf heeft. In de krant en op het journaal wordt het wel aangekondigd als een wereldschokkende ontdekking, maar dat is daarmee toch nog niet verkeerd?
Je moet het gewoon zien in het kader van popularisering van de wiskunde. Ik vind dus wel goed dat iemand als Klaas Landsman zo lovend spreekt over het werk van middelbare scholieren. Al haalt het maar 1 persoon over wiskunde te gaan studeren, dan is het toch de moeite waard.
En dat de kwalificaties in de krant niet geheel correct zijn? Ach, so what. Er staan zoveel dingen in de krant die niet kloppen, dat is doodnormaal. In de soort zaken mag je best een beetje overdrijven, iemand die echt wil weten hoe het zit kan altijd nog te rade gaan bij experts, i.e. universitair wiskundigen.
Saturday 24 March 2007 om 22:58
Lieve Wiskundemeisjes
Afgelopen donderdagavond heb ik voor het eerst jullie site bezocht. Leuk! Charmant! Ik deed dat vanaf mijn werkplek, en toeval of niet, maar thuisgekomen en tv aangezet viel ik midden in een uitzending van NOVA over hetzelfde magische vierkant dat ik ook bij jullie had gezien, en over de scholieren die het in elkaar hadden weten te knutselen. Er verscheen een hoofd in beeld dat zei dat die kinderen vrijstelling van collegegeld aangeboden zou moeten worden, en dat ze eigenlijk ook wel meteen een hoogleraarschap moesten kunnen krijgen. Vooral dat laatste verbaasde me, en daar zou ik jullie mening graag over horen. Want zonder af te willen doen aan de prestatie van die kinderen – en op gevaar af dat ik het antwoord niet zal snappen – maar hoeveel wiskundig inzicht is er eigenlijk nodig om zo’n vierkant in elkaar te zetten? Het hopeloze aan zoiets lijkt mij – als ik het mis heb hoor ik dat graag – dat je nooit weet of je wel op de goede weg zit. Als het laatste puzzelstukje niet blijkt te passen, ben je dan niet even ver als op de dag dat je begon? Anders gezegd, bestaat er zoiets als ‘hill climbing’ bij het in elkaar zetten van magische vierkanten? Komt het niet vooral neer op eindeloos proberen en een heel goede boekhouding voeren? En als er al wiskundig inzicht voor nodig is, betreft het dan niet een heel erg klein stukje van de wiskunde? Kortom, het zijn ongetwijfeld hoogbegaafde en ook nog heel aardige kinderen, en ik gun ze alles, inclusief een hoogleraarschap, maar van hoeveel realisme getuigt het om ze dat meteen aan te willen bieden?
Wat mijn eigen ervaring met magische vierkanten betreft, die beperkt zich een beetje tot het oplossen van sudoku puzzels, waar ik mee begonnen ben tijdens mijn werk als brugwachter in de warme helft van het jaar. (Dit is dubbelzinnig, maar de dubbelzinigheid kan opgelost worden met haakjes. Ik bedoel niet: ‘waar ik mee begonnen ben [tijdens mijn werk als brugwachter] in de warme helft van het jaar’, maar ‘waar ik mee begonnen ben tijdens [mijn werk als brugwachter in de warme helft van het jaar].) Behalve met de puzzel zelf ben ik dan vaak ook bezig met het observeren van mijn eigen denkproces, en het me afvragen of en hoe e.e.a. in een algoritme te vangen zou zijn. Want het aardige aan sudoku’s is dat er verschillende strategieen mogelijk en nodig zijn om verder te komen. Vaak moet je redeneren met een soort of-of-of-informatie, of hoe noem je dat (is daar een term voor?): je hebt het aantal mogelijkheden voor een of meer vakjes beperkt, maar nog niet teruggebracht tot één. B.v. je weet dat in zekere twee vakjes een 5 en een 8 ingevuld moeten worden, maar de volgorde weet je nog niet, wat dus twee mogelijkheden openlaat. (Ik ga er altijd maar vanuit dat elke sudoku puzzel een en slechts een oplossing heeft, hoewel dat er vreemd genoeg nooit bij vermeld wordt.) Maar door het combineren van zulke stukjes of-of-informatie kan je elders wel tot vaste conclusies komen (alle cijfers uitsluiten op een na). Heel bevredigend vind ik het altijd als ik via een meertrapsredenering tot zo’n conclusie kan komen, en altijd vraag ik me dan onderhuids af: hoe doe ik dit? Hoe zou een algoritme eruit moeten zien die dit ook kan? Precies hetzelfde had ik toen ik een tijdje in een Mastermind-periode zat. Ook bij Mastermind heb je te maken met combinaties en permutaties, met verschillende oplos-strategieen en met of-of-informatie, en ook daar zat ik me dus af te vragen hoe een Mastermind spelende algoritme eruit zou moeten zien. Hebben jullie tips?
Tot slot wat over mezelf. Ik ben na mijn eindexamen wiskunde gaan studeren, maar heb dat al na een paar maanden op moeten geven omdat mijn verstandelijke vermogens duidelijk niet toereikend waren. Het ene na het andere college (analyse-1, lineaire algebra, mechanica en zelfs verzamelingenleer) bleek me hopeloos boven de pet te gaan. Intussen leek het wiskundemeisje dat ik al sinds de eerste klas van het Lyceum aanbad zich als een vis in het water te voelen en links en rechts vrienden te maken, terwijl de stof haar ongetwijfeld geen enkel probleem opleverde. (Misschien – ik weet het niet zeker – was mijn studiekeuze ook wel enigszins beinvloed door haar.) Nooit heb ik me zo verloren en vooral ook zo dom gevoeld als in die paar maanden, en dat is nooit meer helemaal goedgekomen. In februari ben ik toen maar overgestapt naar een studie waar geen hersenen voor nodig waren (Russisch), om tenslotte af te studeren in de algemene taalwetenschap met een stevig bijvak informatica. En nu geef ik dus aan z.g. ‘oudkomers’ z.g. NT-2 en ‘computerlessen’ (ik leg ze uit waar de spatiebalk zit en zo). Maar een ding is altijd gebleven. Slechts een doel heb ik sindsdien nog in het leven. Een wiskundemeisje helemaal voor mij alleen. (Altijd direct antwoord op mijn prangende vragen!) Menige traan pleng ik als ik ’s nachts in mijn ledikantje lig, want nooit, nooit heb ik er eentje kunnen bemachtigen. (Ze schijnen vrij zeldzaam te zijn.) Iedere puber die overweegt verliefd te worden op een wiskundemeisje zou ik daarom willen toeroepen: doe het niet! Je leven wordt er blijvend en onherstelbaar door ontregeld.
Met veel hartelijke groeten,
Bas Voorhoeve
Monday 26 March 2007 om 14:23
Op de een of andere manier lijkt het wel of hier de context waarin uitspraken gedaan worden soms vergeten wordt, dat moet Klaas Landsman bekend voorkomen :)
@Jeanine, ad comment 20
- Ik snap niet waarom jij denkt dat ik denk dat dit een wiskundige doorbraak is?
- Ik vergelijk het resultaat zeker niet met Euler en Fermat.
Het Fermat-voorbeeld was om aan te geven hoe lastig jouw interpretatie van wat jij denkt dat wiskundigen onder recreatieve wiskunde verstaan is. Jouw comment 22 komt meer in de buurt.
- Als je bedoelt in comment 20 met mensen dat ik onder de personen val die zich aangevallen voelen dan klopt dat niet.
@ comment 11
Woh dat klonk eerder als iemand die op zijn p*k getrapt is…?!
Tja als je je voornamelijk beperkt tot de koppen wordt nieuws al snel ongeloofwaardig :)
@Maarten comment 26
Kleine veldslag?? grinnink maar van mijn kant geen vijandigheden hoor :)
Ik vond het vooroordeel dat veel wiskundigen hebben over recreatieve wiskunde goed samengevat door Jeanine. Afhankelijk van welke `type’ wiskundige je spreekt is een ander deel van de wiskunde `minderwaardig’… en ik kon het dus niet laten om daar maar weer eens tegen in te gaan. Gezien deze opmerking @Jeanine: Excuses als het als een aanval overkwam!
Ben het verder helemaal eens met je houding Maarten.
In het kader hiervan zou ik het verstandiger van Klaas Landsman hebben gevonden indien hij zich beperkt had tot het vermelden dat de pers de boel aan het opblazen was.
De eerste artikelen in het brabants dagblad en de Gelderlander waren best redelijk in de context weergeven; het door de scholieren gevonden magische vierkant was `beter’ dan het door Ben Franklin genoemde `meest magische magische vierkant ooit’ en zoiets was nog niet (zover ik weet) eerder gevonden. Hiermee werd kon hun vierkant dus de titel `meest magische magische vierkant’ krijgen.
Zonder deze context is dat uiteraard betwijfelbaar. Maar voor de pers klonk het fantastisch natuurlijk!
In deze context is het wellicht aardig om de mening van Jan van Maanen te citeren (van voordat Landsman probeerde de hype waarheidsgetrouwer(?) te maken) zie comment 10
`De Nijmeegse professor Landsman en consorten pakken dit prima aan, en zetten wiskunde op de kaart. Door een mooi wiskundig werkstuk naar voren te schuiven. Maar ook met gevoel voor dramatiek. Ze hebben passie voor kun vak [Wiskunde], en ze verdienen studenten.’
Monday 26 March 2007 om 15:56
@ Christian: we begrijpen elkaar weer, geloof ik. Dank voor je verheldering. Zoals je het nu zegt kan ik me er wel in vinden! :-)
Monday 26 March 2007 om 16:00
@Bas Voorhoeve comment 27: Je stelt een heleboel vragen… pff
`hoeveel wiskundig inzicht is er eigenlijk nodig om zo’n vierkant in elkaar te zetten?’
Geen idee. Wat bedoel je precies met `wiskundig inzicht’? Ik heb met twee van de drie wat kunnen praten na hun presentatie en het viel me op dat ze zeker symptomen van `wiskundig onderzoeker’ vertoonden. Zo kunnen de drie zich nu o.a. best iets voorstellen bij de cartoon van
http://www.wiskundemeisjes.nl/20070313/vakantie
Over laatste puzzelstukjes e.d.: je vragen zijn niet specifiek voor magische vierkanten maar zeker ook voor het vinden van andere objecten. Doorgaans reken je niet veel maar probeer je eerst door redeneringen om zo veel mogelijk eigenschappen van de structuur te begrijpen. Als `het laatste puzzelstukje dan niet past’ kan dat betekenen dat je bewezen hebt dat het object niet bestaat, wat zeker ook een resultaat is. Zo bestaat er bijvoorbeeld geen magisch vierkant van verschillende getallen gemaakt van zijdelengte 2.
Daarbij ga je echt niet eindeloos alle getallen proberen, maar een (bijna) triviale redenering sluit dat uit.
`En als er al wiskundig inzicht voor nodig is, betreft het dan niet een heel erg klein stukje van de wiskunde?’
Dit gaat over een profielwerkstuk van middelbare scholieren van 5 en 6 VWO… hoeveel wiskunde had je ze willen laten doen? :-)
Ze krijgen in zo’n masterclass vooral beginselen van de wiskunde w.b.t. redeneringen opzetten en bewijzen. Die zijn zeer breed toepasbaar :-)
Het aanbieden van het hoogleraarschap moet je niet serieus nemen maar meer zien als een vorm van compliment. ‘T valt mijn inziens meer onder Maarten’s `overdrijven’.
Overigens is het niet zo dat er geen `hogere wiskunde’ gebruikt of nodig is om sommige artikelen over magische vierkanten te begrijpen. Er zijn allerlei verbanden met lineaire algebra, p-adische analyse, statistiek, combinatoriek, natuurkunde, muziek, kunst en meer. Op mijn homepage (http://www.puzzled.nl/multi/ ) staan o.a. wat referenties naar een zeer kleine selectie (niet erg belangrijke maar wel zeer verschillende) artikelen.
Er is verschrikkelijk veel aan magische vierkanten gewerkt door allerlei mensen in de afgelopen duizenden jaren. Er is wel eens gezegd dat er een hele bibliotheek mee gevuld kan worden.
Als je $100 wil winnen van Martin Gardner dan kun je proberen een 3×3 magisch vierkant te vinden dat geheel bestaat uit gehele positieve getallen die elk een kwadraat zijn. Zie bijvoorbeeld
http://cboyer.club.fr/multimagie/English/SquaresOfSquares.htm
voor nog meer gerelateerde prijsvragen en leuke geschiedenis van het probleem uit 1984!
Of beter nog zie problem D15 van Guy’s “Unsolved Problems in Number Theory”, 3e editie, 2004.
Monday 26 March 2007 om 16:06
http://www.puzzled.nl/multi/
Tuesday 27 March 2007 om 11:02
Oef over fouten in de kranten en opblazen gesproken lees ook het artikel in de gelderlander:
http://www.gelderlander.nl/discussie/article1020686.ece
Thursday 29 March 2007 om 09:02
hey,
ik ben er dit weekend in geslaagd om een 16*16 magisch vierkant te maken, het heeft vreemde eigenschap zoals een bepaalde symmetrie van priemgetallen en dergelijke. weet er iemand of er al een ontdekking gedaan is rond 16*16 vierkanten?
Mvg. Jordy.
Thursday 29 March 2007 om 10:23
@jordy vanpoucke: Er bestaat heeeeel veel magische vierkanten literatuur. Je zult iets meer moeten vertellen over wat er bijzonder is aan je vierkant voor daar antwoord op te geven is.
Friday 30 March 2007 om 10:31
Het heeft gewoon alle eigenschappen van een zeer magisch vierkant som horizontaal verticaal en diagonaal en in elk vierkant van 4*4 is 2056.
Bovendien liggen er evenveel priemgetallen (27)boven en onder de horizontale middenas en links en rechts van de verticale middenas liggen er respectievelijk 26 en 28 priemgetallen hierbij is er een link met het magische 12*12 vierkant. daarbij zijn er evenveel priemgetallen links en rechts van de verticale middenas (17) en boven en onder de horizontale middenas liggen er respectievelijk 18 en 16 priemgetallen
Mvg. Jordy
Friday 30 March 2007 om 14:49
@Jordy: Dat lijkt heel erg op een van Franklin’s magische vierkanten:
http://www.math.wichita.edu/~richardson/franklin.html
Dat heeft ook sommen horizontaal en vertikaal en in 4×4-blokken van 2056. Bovendien heeft het halve rijen en halve kolommen van 1028. De twee diagonalen kloppen daar niet, maar daar staat weer tegenover dat bij Franklin de 32 “gebogen diagonalen” een vaste som van 2056 hebben.
Ik heb geen idee of iemand ooit naar de verdeling van priemgetallen in een magisch vierkant gekeken heeft. Je zou ze ook eens in Franklin’s vierkant kunnen tellen.
Goed gedaan in ieder geval.
Friday 30 March 2007 om 14:57
(correctie: 32 moet zijn 64, de diagonalen kunnen twee kanten op buigen)
Saturday 31 March 2007 om 11:58
aha dat is interessant ik heb al even gekeken maar mijn vierkant is niet hetzelfde, mijn gewone diagonalen kloppen zeker die heb ik gecontroleerd en mijn gebogen diagonalen uit figuur 2 en 4 kloppen zeker ook omdat daarbij telkens een sommatie genomen wordt over getallen die tegenover elkaar liggen t.o.v. de middenas en mijn vierkant is zo geconstrueerd dat die som dan ook 2056 is die gebogen diagonalen in figuur 1 en 3 moet ik nog even controleren…
Saturday 31 March 2007 om 12:15
Hier al een volgende reactie
ik heb die gebogen diagonalen uit figuur 1 en 3 gecontroleerd, maar daarbij is mijn som afwisselend 2048 en 2064 het is dus ietsje minder magisch dan gehoopt…
Slechts de helft van de gebogen diagonalen is dus correct, misschien kan ik nog een lichte wijziging doen zodanig dat ze allemaal juist zijn, maar hoe weet ik nog niet…
Mvg. Jordy
Monday 2 April 2007 om 08:04
Beste Marco
ik heb even het vierkant van Franklin dat terug te vinden was op die website bestudeerd voor die priemgetallen. De verdeling is echter anders dan die in mijn vierkant en ook niet vergelijkbaar met die bij het magische 12*12 vierkant van Jesse Hoekstra, Willem Schilte en Petra Alkema. Ik kwam tot de vaststelling dat er bij Franklin’s vierkant boven en onder de horizontale middenas resp. 26 en 28 priemgetallen liggen en links en rechts van de verticale middenas resp. 29 en 25 dit is dus niet zo “symmetrisch” als bij mij…
Ik heb nu wel nog een andere vreemde ontdekking gedaan in mijn vierkant. Ik hoop dat het me lukt om uit te leggen, maar het is niet zo gemakkelijk… Hier komt het:
Beschouw eerst en vooral de verticale middenas. Dan kijken we naar de priemgetallen. de priemgetallen die symmetrisch liggen t.o.v. die middenas kleuren we in. I.e. als je op de zesde rij 5 hokjes links van de middenas een priemgetal vindt en 5 hokjes rechts van de middenas dan kleur je ze in. Elk priemgetal waarmee dus op een gelijke afstand op dezelfde rij gemeten vanaf de verticale middenas een ander priemgetal correspondeert…
Als je dit nu doet, bekom je zo 24 priemgetallen die als som 3084 hebben we hebben dus een verhouding van 24/3084 en die verhouding is gelijk aan 16/2056 en zo komen we terug bij onze som van 16 getallen die steeds gelijk is aan 2056!
Bij Franklin geldt deze eigenschap niet en bij het 12*12 van die drie scholieren ook niet.
Mvg. Jordy
Monday 2 April 2007 om 08:54
Beste Jordy,
Klinkt leuk, al die mooie eigenschappen van jouw vierkant. Ik vraag me af hoe bijzonder je priemgetalleneigenschap is. Laten we eerst naar de horizontale as kijken.
Er staan 54 priemgetallen in je figuur. De symmetrie om de horizontale middenas die je noemde in post 38 zegt dat elk priemgetal p tegenover 257-p staat. Voor hoeveel priemgetallen p het getal 257-p weer priem is weet ik niet. Een snelle (domme) heuristische berekening: 53/255=0,21 kans dat 257-p ook priem is. Voor 54 getallen levert dat een heuristische verwachting van 11,2 priemgetallen, dus ongeveer 6 priemgetallen-spiegelparen. Als het er veel meer dan 6 zijn, is dat iets bijzonders om over na te denken. Echter, dat de som van n paren altijd 257*n is, dat volgt direct uit de symmetrie en is dus niets bijzonders.
Dan de vertikale as. Waarschijnlijk geldt daar ook een of andere bijna-symmetrie. Dat het aantal paren dan 12 is, dat is leuk, maar niet spectaculair, want het is wel meer dan 6, maar nog lang geen 27. Dat de som dan 3084 is, dat is ook leuk, maar volgens mij ook niet heel spectaculair, omdat er veel symmetrieen en bijna-symmetrieen zijn, die zorgen dat zo’n som toch wel in de buurt van 3084 moet liggen.
Is het nog gelukt om de gebogen diagonalen goed te krijgen zonder de echte diagonalen te verliezen? Dat zou pas echt leuk zijn: Franklin verbeteren.
Monday 2 April 2007 om 15:47
het ergste is dat het betreffende vierkant gewoon (ietwat gepermuteerd dan) op het internet inclusief de wijze waarop het is geconstruerd is te vinden, namelijk hier: http://www.bestfranklinsquares.com/franklinsquaresmcm4.html
het leek mij een beetje veel op die student van vorig jaar die die 4e orde vergelijking zou hebben opgelost (wat helemaal niet kan).
Monday 2 April 2007 om 23:30
Superbriljant staaltje zoekwerk, Arthur! Heb je het al gemaild aan onze 3 wonderkinderen? Of als je hun mailadressen niet kan achterhalen dan in elk geval aan Arno van den Essen? De aanfluiting wordt met de dag erger.
Wednesday 4 April 2007 om 12:53
Nee het is nog niet gelukt, ik heb het wel nu doorgestuurd naar Van den Essen
Jordy.
Wednesday 4 April 2007 om 16:43
@Johan
Het lijkt me niet erg aardig het aan de kinderen optesturen. Een van de charmes van wiskunde is juist dat je altijd het wiel opnieuw kan uitvinden. Als iemand het eerder al gevonden heeft doet dat niets af aan hun prestatie. Voor opsturen naar Arno van Essen is inderdaad misschien iets te zeggen, hij is tenslotte geinteresseerd in wat er gebeurt in de wereld van de magische vierkanten.
Wednesday 4 April 2007 om 21:18
Wat is er onaardig aan? Je kunt de link toch best opsturen naar de kinderen om ze wat bewuster te maken van de wereld om hen heen? Bovendien wisten ze het waarschijnlijk al want alle leerlingen kopieren van internet (dat kan ik weten want m’n vriendin is lerares). Inclusief het iets aanpassen van het materiaal zodat het niet direct te achterhalen is met google.
Wednesday 4 April 2007 om 21:30
@ Johan: ik ben het helemaal eens met Vincent. Die kinderen hebben iets – voor scholieren – heel knaps gevonden, dat er (onterecht) zo’n hype van kwam is niet hun schuld. Het is constructiever om hen aan te moedigen om verder te gaan met wiskunde, niemand heeft er wat aan als ze hun enthousiasme kwijtraken.
Insinueren dat ze het waarschijnlijk al wisten slaat helemaal nergens op; je kunt niet meteen van het slechtste uitgaan in alle jonge mensen. Er zijn nog steeds gemotiveerde scholieren die graag zelf nadenken.
Jeetje zeg, zijn er een keer scholieren die iets leuks doen, wiskunde interessant vinden en nog slim zijn ook, vind jij het opeens nodig om ze “bewust te maken van de wereld om hen heen”. Zeg jij ook tegen kinderen die een tekening maken: “nou ja, wel leuk, maar weet je wel dat er in musea veel mooiere tekeningen hangen?” Wat een ongelooflijk negatieve houding is dat.
Thursday 5 April 2007 om 10:45
Het vierkant dat door de scholieren is gevonden en dat wat op de site staat waar de eerdere comment naar verwees, verschillen een klein beetje. Het vierkant is gespiegeld in de diagonaal en er zijn een aantal rijen omgewisseld. Dat eerste is een heel oppervlakkige verandering, maar de wisseling van rijen is verre van vanzelfsprekend. Het is niet direct duidelijk dat het vierkant z’n vele goed eigenschappen behoudt onder deze transformatie.
Het lijkt me daarom erg onwaarschijnlijk dat het Nijmeegse vierkant een bewerkte kopie is van het internet vierkant. Een stuk waarschijnlijker is mijns inziens het volgende.
Dit vierkant ligt bijna geheel vast door de vele eisen die er zijn. Alleen al het feit dat de elk 2×2 deelvierkantje een gegeven som heeft, maakt dat het vierkant echt geheel bepaald is door een enkele rij en kolom te geven. Er zijn simpelweg maar heel weinig vierkanten die aan deze eis voldoen.
Wil je dan ook nog zo veel mogelijk andere ‘leuke’ deelverzamelingen met een magische som, ja, dan zijn er echt nog maar een handvol vierkanten over. Als iemand anders dan al eens naar een soortgelijk vierkant heeft gezocht, dan heeft bijna zeker een oplossing gevonden die heel veel lijkt op de jouwe.
Kortom, ik zeg petje af voor de scholieren, het is een fraai staaltje rekenkunst. Ik hoop dat ze ontdekt hebben dat wiskunde niet alleen suffe middelbare schoolstof is, maar ook een leuke ontdekkingstocht kan zijn. Als ik zo vrij mag zijn Jeanine’s analogie door te trekken, deze tekening is ook geschikt voor het museum.
Thursday 5 April 2007 om 12:40
Maar als die kinderen vertellen dat ze de meest superpanmultimagische tekening hebben gemaakt, dan is het inderdaad goed om hen wat bewuster te maken. :)
Van den Essen is natuurlijk de grootste boosdoener hier. Ik snap niet hoe hij kan fantaseren, dat de farmaceutische industrie hier veel geld mee kan verdienen.
Thursday 5 April 2007 om 13:35
Ik ken Van den Essen persoonlijk en hij is niet bepaald het type persoon die dit soort dingen zou doen. Misschien dat dat hetgene is wat mij nog het meest verontwaardigd heeft in deze kwestie. Nou ja, laten we hopen dat hij dronken was, dan heeft hij tenminste nog een goed excuus. :)
Thursday 5 April 2007 om 15:14
Beste Marco,
het heeft even geduurd maar mijn 16*16 vierkant is nu volledig in orde alle eigenschappen van Franklin gelden, de diagonalen zijn ok elke rij, elke kolom, elke gebogen diagonaal, elke cirkel van 16 hokjes,elk kruis van 16 hokjes elke waaier van 4 keer 4 hokjes … heeft als som 2056 elk vierkant van 2 op2 heeft als som 514 de halve kolommen, rijen diagonalen hebben som 1028 cirkels en kruisen van 8 hokjes ook en de verdeling van de priemgetallen is behouden!!! Van den Essen was blijkbaar zeer geïnteresseerd en dus heb ik mijn nieuwe volledig magische vierkant nog eens doorgestuurd. als je het ook wil mag je me altijd een mailtje sturen (jordy.vanpoucke@ugent.be)
Mvg. Jordy
Thursday 5 April 2007 om 15:25
@ Jordy: wij zijn wel benieuwd! Kun je het ook even mailen naar mail@wiskundemeisjes.nl? Niet per se voor op de site, maar gewoon omdat we het zelf leuk vinden!
Thursday 5 April 2007 om 15:53
@Jordy: kunt u het ook naar mij sturen; darkiekurdo @ hotmail.com. Het lijkt mij erg interessant. Misschien is ‘ie wel mooier dan die van die drie kinderen. ;) Bedankt!
Thursday 5 April 2007 om 21:33
@Jordy: Ook ik ben zeer benieuwd. Klinkt als een heel mooi magisch vierkant. Wil je het naar mij opsturen? (ik stuur je wel een mailtje met mijn adres) Hoe heb je het gemaakt? Met de hand of computer? Nog speciale trucs gebruikt?
Friday 6 April 2007 om 02:57
hoi Jordy,
Ik ben ook benieuwd naar je vierkant.
Maar wat bedoel je eigenlijk met een waaier van 4 keer 4 hokjes?
En wat versta je onder een kruis van 8 hokjes?
Friday 6 April 2007 om 14:11
Is moeilijk uit te leggen die waaier, ik kan hier geen figuurtjes plaatsen hé…
dat kruis is eenvoudig je neemt gewoon een vierkant van 4 op 4 hokjes en je schrapt daarin de cirkel bestaande uit 8 hokjes (die als som ook 1028 heeft) en dan blijft er een soort kruis over die als som 1028 heeft en samen is dit natuurlijk 2056 de som van elk 4 op 4 vierkant
Mvg. jordy
Friday 6 April 2007 om 14:16
Hey,
het is weldegelijk volledig met de hand gemaakt, ik heb gewoon gekeken naar verbanden tussen mijn kolommen en dan enkele permutaties doorgevoerd en zo bekwam ik mijn magische vierkant… ik heb het daarna wel op de computer gezet om het volledig te controleren maar de eerste schets was met pen en papier en ook een rekenmachine om niet alles uit het hoofd te moeten berekenen hé ;-)
Mvg. Jordy
Sunday 8 April 2007 om 15:13
Hey Jordy,
als je naar die mensen verstuurd, moet je wel copyright zetten he. je weet maar nooit, andere kunnen met jou idee vandoor gaan ;p
Monday 9 April 2007 om 11:33
Ha die Jordy,
Ik heb nog geen tijd gehad om goed naar je vierkant te kijken, maar één ding is me wel opgevallen: Je noemt kruizen en cirkels alsof het bijzondere extra eigenschappen zijn die je met de hand na bent gegaan. De 2×2-blokjeseigenschap is echter zo bijzonder sterk dat veel andere figuren hiermee te maken zijn.
Bijvoorbeeld: Als je twee 2×2-blokjes naast elkaar zet, krijg je een 2×4-blok dat vaste som 2*514 heeft. Door twee 2×2-blokjes boven elkaar te zetten krijg je een 4×2-blok met ook som 2*514. Door een 2×4 en een 4×2 op elkaar te leggen krijg je een `plus’ van 12 blokjes en als je de som neemt van de vakjes in de `plus’, waarbij je de middelste 4 blokjes twee keer telt, dan krijg je dus altijd 4*514 als som. Maar die middelste 4 blokjes hebben vaste som 514, dus als je die er twee keer af haalt, dan krijg je een cirkel van 8 blokjes met vaste som 2*514. Op die manier kan je heel veel figuren maken van 4*n blokjes en een vaste som van n*514, zoals het kruis (4×4-blok met cirkel weggelaten). Die 2×2-eigenschap heeft nog meer mooie voordelen: je hoeft bijvoorbeeld maar 1 halve kolom/rij te checken om van alle evenwijdige halve kolommen/rijen te bewijzen dat ze som 1028 hebben en als je een rij en een kolomo invult, dan kan je de 2×2-blokjes gebruiken om de rest van het vierkant in te vullen!
Tuesday 10 April 2007 om 10:56
@ Arjen (#48): als meneer Arjen een paar minuten over heeft om eens te kijken naar het vierkant van onze scholieren en dat vergelijkt met die van mijn link dan kan hij zelf het volgende concluderen: 1) Spiegelen over een as heeft geen invloed op de magisch-heid van een magisch vierkant en mag dus “straffeloos” 2) Wisselen van gepaarde rijen/kolommen met dezelfde eigenschapen heeft geen invloed op de magisch-heid van een magisch vierkant en magmag ook “straffeloos”.
In dit voorkomende geval worden twee dubbele rijen (namelijk rijen 5/6 en 7/8) uit het vierkant van de scholieren die samen dus beide dezelfde eigenschappen hebben gewisseld, ergo, dit mag dus ook straffeloos. Daardoor is het vierkant van de studenten “gewoon”een permutatie van die van mijn link.
Voor een kleine verklaring van dit laatste mbt deze rijen: elke hele set van 4 (beginnend dus bij getal 73) telt tot 290, elke gehele (dus enkel beginnend op oneven cellen) horizontaal set van 2 telt tot 143/147 (en vice verssa), ook de diaginalen in beide rijen tellen hetzelfde in de kolommen de 1e keer tot 160/130 de volgende tot 176/114 etc. Meer relevante eigenschappen zijn er niet omdat enkel deze eigenschappen bepalend zijn voor het Franklin magisch zijn van een vierkant. Dus als je beide verwisselt, verander je niets aan de magisch-heid van het vierkant.
E.e.a. geld daardoor dus niet voor de kolommen 5/6 en 7/8, die zijn namelijk niet “hetzelfde”genoeg. Horizontaal per set van twee wel (nl 144/146) maar diagonaal niet.
Het is trouwens om dezelfde reden ook mogelijk om rijen 3/4 met 9/10 te ruilen. En 1/2 met 11/12. Verder heb ik eea niet onderzocht, maar dit geeft dus om te starten al een leuk aantal permutaties van het vierkant.
Tuesday 10 April 2007 om 11:22
@Arthur: Nou, nou, we hoeven ook niet gelijk zo gepiqueerd te doen hoor.
Ik had inderdaad de tijd genomen om de vierkanten te vergelijken en mijn vorige comment beschrijft mijn observaties.
Jij en ik komen tot dezelfde conclusie ten aanzien van hoe de twee vierkanten verschillen. We merken ook beide op dat spiegelen in de diagonaal een vrij eenvoudige operatie is.
Jij zit geloof ik een beetje beter in de stof en kan dus eenvoudig inzien dat het wisselen van geschikte aangrenzende paren rijen of kolommen in dit vierkant niets verandert aan de ‘magische’ eigenschappen van dit vierkant.
Kortom, wat jij zegt in jou comment lijkt zo veel op wat ik zei in de mijne, dat het bijna zeker zo is dat jou comment een kopie van de mijne is. En nee, dat meen ik niet, maar het is vergelijkbaar met de redenering die ik hier over de magische vierkanten hoor.
Het was aan mij niet meteen duidelijk dat de tweede operatie alle eigenschappen van het Franklin-zijn zou behouden, zoals bijvoorbeeld de magische som op de gebroken diagonalen. Het vereist ook best wel enige manipulatie met de gegevens om dit af te leiden.
Bovendien werken wij met wetenschap van achter af: we hebben twee vierkanten die louter verschillen in het wisselen van twee tweetallen rijen, dus we vragen ons af of dit altijd kan. Als ik de eisen van een Franklin-vierkant zie, schiet bij mij niet direct het idee in m’n hoofd dat tweetallen van rijen verwisselen misschien wel de eigenschappen behoudt.
Om toch nog een constructieve twist aan dit verhaal te geven, gooi ik de volgende vragen in de groep:
1. Hoeveel redundantie zit er in de eisen van Franklin magische vierkanten?
2. Wat voor transformaties zitten er zeker in de symmetriegroep van een Franklinvierkant?
Tuesday 10 April 2007 om 13:41
(#59) Hey Marco
ik denk dat je volkomen gelijk hebt, ik kan inderdaad veel figuren maken die allemaal 2056 uitkomen dankzij het feit dat elk vierkantje van 4 op 4 als som 514 heeft, maar nu ja, ik vind het gewoon tof om allerlei figuren te ontdekken die allemaal 2056 uitkomen alhoewel ik weet dat veel figuren uit andere tevoorschijn komen.
Heeft er ondertussen al iemand mijn vierkant gecontroleerd? Normaal zouden er geen fouten in mogen zitten, maar je weet maar nooit…
En aan DJ Bravey: nee ik heb geen copyright gebruikt =) maar het lijkt wel duidelijk aan deze site dat ik dat vierkant gemaakt heb zeker? Nu ja, van den Essen heeft ondertussen mijn vierkant ook, maar het is nu al weer even geleden dat ik nog reactie kreeg van hem… Het is natuurlijk ook wel paasweekend geweest hé.
Mvg. Jordy
Wednesday 11 April 2007 om 19:50
Als je naar de eerste en de laatste rij kijkt in dit vierkant zie je steeds x en 145-x tegenover elkaar liggen waarbij x tussen 1 en 12 ligt. Aangezien je 1 tot en met 12 niet in 4 gelijke porties kunt verdelen(linksboven, rechtsboven, linksonder en rechtonder) is het onmogelijk om aan alle eisen van een franklinvierkant te voldoen.(1+2+..+12 = 6*(1+12) is niet deelbaar door 4). Als je naar het 8 bij 8 franklinvierkant kijkt is dat wel zo: 1+2+…+8 = 4*(1+8) is wel deelbaar door 4. Het is zelfs zo dat van elk vierkant met een zijde 8k+4 geen franklinvierkant gemaakt kan worden.
Dat de getallen op deze manier in het vierkant moeten staan komt door de andere eigenschappen; als je er zelf even mee bezig bent is alles erg logisch.
Friday 13 April 2007 om 15:13
Jippe, ik zou graag een bewijs willen zien van jouw bewering dat er geen 8k+4 (ihb 12) franklin vierkant mogelijk is.
Het is overigens heel goed mogelijk een franklin vierkant te hebben dat niet axiaal-symmetrisch is:
[51 60 3 12 19 28 35 44]
[13 2 61 50 45 34 29 18]
[52 59 4 11 20 27 36 43]
[10 5 58 53 42 37 26 21]
[54 57 6 9 22 25 38 41]
[ 8 7 56 55 40 39 24 23]
[49 62 1 14 17 30 33 46]
[15 0 63 48 47 32 31 16]
Maar ik ben er eigenlijk ook niet echt mee bezig dus misschien is het ook niet allemaal erg logisch :-)
P.S. oh en mocht je opvallen dat ik niet 1,2.. 64 gebruikte: tel bij elk getal 1 op.
Saturday 14 April 2007 om 19:23
Laat ik dit voorbeeld gebruiken:
109 35 119 25 115 32 116 31 117 27 111 33
24 122 14 132 18 125 17 126 16 130 22 124
1 143 11 133 7 140 8 139 9 135 3 141
144 2 134 12 138 5 137 6 136 10 142 4
121 23 131 13 127 20 128 19 129 15 123 21
36 110 26 120 30 113 29 114 28 118 34 112
97 47 107 37 103 44 104 43 105 39 99 45
60 86 50 96 54 89 53 90 52 94 58 88
61 83 71 73 67 80 68 79 69 75 63 81
84 62 74 72 78 65 77 66 76 70 82 64
85 59 95 49 91 56 92 55 93 51 87 57
48 98 38 108 42 101 41 102 40 106 46 100
Dit ogenschijnlijke franklinkvierkant mist 1 eigenschap, dat de som van een willekeurige gebroken diagonaal niet de magische som oplevert. Echter bij de horizontale gebroken diagonalen zit maar een fout van 2(om en om 868 en 872). Dit komt omdat 1+11+7 niet gelijk is aan 8+9+3. Doordat het verschil 1 is en alle getallen zich tot elkaar verhouden (de som van 2 horizontaal naast elkaar liggen getallen is gelijk aan de som van de 2 er onder of boven, zelfde geldt voor verticaal maar dan de 2 links of rechts ervan)
wordt dat verdubbeld omdat 143+133+140 1 meer is dan 139+135+141. Als je er even mee bezig bent in Excel is het al snel duidelijker.
Als je dit probleem zou kunnen oplossen zou je een franklin vierkant kunnen maken van 12 bij 12, maar omdat de som van 12 willekeurige opeenvolgende getallen niet deelbaar is door 4 wil dat dus niet
Sunday 15 April 2007 om 00:16
@jippe: Ik snap nu pas dat je niet de goede definitie hebt van een franklin vierkant. Het is inderdaad onmogelijk om 1 diagonaal goed te hebben en ook de gebogen gebroken diagonalen etc. bij deze zijde. Voor de correcte eisen zie mijn website:
http://www.puzzled.nl/franklin/
Sunday 15 April 2007 om 01:07
Ik heb de goede definitie wel zeker, want ik had hem in eerste instantie al van jouw site gehaald, ik zeg dus ook dat dit geen franklin vierkant is…
Op je site en op vele anderen kon ik niet echt een reden vinden waarom het niet mogelijk was om zo’n vierkant te maken en wat me opviel staat in mijn vorige posts.
Sunday 15 April 2007 om 15:59
Ik zie nu waar de miscommucatie op berust, waar ik zei gebroken diagonalen bedoelde ik gebogen diagonalen. De diagonalen van linksboven naar het midden naar rechtsboven etc.
Monday 16 April 2007 om 10:20
@Jippe: Ik heb je comments toch nog eens (beter) gelezen.
De drietallen die je aanwijst dienen idd gelijk zijn willen de gebogen diagonalen de goede som krijgen. Zie ook fig. 2 van
http://www.puzzled.nl/franklin/frank12.pdf
waar ‘t iets preciezer staat.
Ik begrijp dat je beweert dat dat niet kan als aan de andere eisen is voldaan (fig 1. van bovenstaande pdf) omdat 4 geen deler is van 12 opeenvolgende getallen!? Dat volg ik niet.
Ik neem aan dat je comment 63 als argument aanvoert. Maar ik zie niet in waarom bv. 1,2,..12 persé opgesplitst moet worden in 4 gelijke som delen over de vier “kwadranten” van het vierkant. Het 8×8 franklin-vierkant van comment 64 bevat bijvoorbeeld in het rechtsboven vierkant geen van de cijfers 1,2,…,8.
mmm ik zal er wanneer ik echt tijd heb eens naar kijken.
Tuesday 17 April 2007 om 13:43
@Christian: Dat klopt, het vierkant wat je gepost hebt in 64 is zeg maar een kwartslag gedraaid. In kolom 2 en 3 staan 0 en 7, 1 en 6, 2 en 5, 3 en 4 bij elkaar en zo ook de getallen 63-0 en 63-7 etc. Op dezelfde manier zijn de andere paren ook in het vierkant geplaats.
Thursday 19 April 2007 om 16:01
@Jippe: Ik begrijp dat je een verband denkt te zien in de plaatsing van complementaire getallen.
Als 1,2,..,N*N gebruikt in het vierkant dan zijn dan is het complement van van een getal x gelijk aan N*N-x.
Bij zijde N=12, zijn complementaire paren bijv. (1,144), (2,143) en (33,111).
Alle mogelijke Franklin vierkanten van zijde 8 zijn naar complementaire paren ingedeeld in in 8 typen/groepen door Miguel Amela zie
http://www.region.com.ar/amela/franklinsquares/
Let op hij laat echter de constante som voor de 2×2-blokken weg!
Maar wat is nu precies je redenering of bewering waaruit zou moeten volgen dat je bij zijde 12 je twaalf opeenvolgende getallen in 4 gelijke som delen moet splitsen (wat uiteraard onmogelijk is)?
Monday 23 April 2007 om 16:05
@Christian
Als 2 rijen elkaars complement zijn dan zitten er 6 getallen in tussen 12x+1 en 12(1+x) en 6 getallen tussen 145-(12x+1) en 145-(12(1+x)) waarbij x tussen 0 en 11 ligt. Doordat links en rechts van het midden en beide gekozen rijen dezelfde som op moet leveren moeten die 24 getallen waarvan er 12 complementaire paren zijn in 4 gelijke stukken worden gedeeld.
In het vierkant F2 van je gegeven link zijn wat getallen met elkaar verwisseld maar je kunt bij een 12 bij 12 vierkant bij elk getal 12x aftrekken zonder dat je de deelbaarheid door 12 veranderd. Zo heb ik ook dit vereenvoudige vierkant gemaakt:
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
1 11 11 1 7 8 8 7 9 3 3 9
12 2 2 12 6 5 5 6 4 10 10 4
Dit is hetzelfde vierkant als die van #65 maar dan zovaak mogelijk 12 er van af. Wellicht geeft dit meer inzicht.
Monday 30 April 2007 om 11:32
Hey Jordy,
W’l jen me da vierkant van 16*16 ook n’n keer doorsturen? ‘k z’n er erg in g’intreseerd!
Greeeeetz Saskiaa xX
Friday 4 May 2007 om 19:28
@Saskiaa
hey
twas lang geleden dat ik hier nog eens op deze site was, maar blijkbaar is er nog steeds interesse in mijn vierkant =). Het probleem is wel dat ik je e-mail niet heb hé. en als ik op je naam klik opent mijn computer niets. terwijl ik dacht dat er een website of zoiets ging verschijnen…
Mvg. Jordy
Saturday 19 May 2007 om 12:16
wtf is dit voor een site man .
mensen die van wiskunde houden wtf.
ga toch wat nuttigs doen zoals Guildwars Factions
Saturday 19 May 2007 om 12:24
@dooie eend: Als jij meent dat wiskunde niet nuttig zou zijn realiseer je je blijkbaar niet hoeveel wiskunde je zelf dagelijks gebruikt. Net als vele anderen heb je op de basisschool de getallen leren kennen en er mee leren rekenen, en waarschijnlijk heb je toen ook wel het een en ander geleerd over lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten. Als het goed is pas je die kennis nog regelmatig toe om bepaalde situaties uit het dagelijks leven op te kunnen lossen. Denk bijvoorbeeld aan het narekenen van je elektriciteitsrekening, of het berekenen hoeveel vierkante meter linoleum je eigenlijk nodig hebt voor het bedekken van een vloer. Als je hiermee bezig bent, ben je ook al met wiskunde bezig, en zelfs met zeer elementaire wiskunde. Je kunt wat dat betreft dus moelijk volhouden dat wiskunde niet nuttig zou zijn, integendeel zelfs.
Saturday 2 June 2007 om 01:48
Hallo. Toen ik vanmorgen wakker werd, was het eerste wat ik dacht het nieuws over het magische vierkant wat jullie voor elkaar gekregen hebben. Nu moet ik toegeven dat ik totaal niet weet hoe bijzonder dit is maar wat ik wel weet is dat ik wat met die gedachte moet.
Nu ik hier al die commentaren heb gelezen waar naar mijn mening nogal denigrerend over jullie prestatie word gedaan wil ik alleen maar tegen jullie zeggen.
Geweldig gedaan. Ik ben trots op jullie.
Mensen als jullie heeft de wereld nodig en ik hoop dan ook dat jullie een geweldige toekomst tegemoet gaan.
Thursday 7 June 2007 om 13:18
Hey
tis een tijdje geleden maar hier ben ik nog eens. Heeft er iemand het tijdschrift natuur wetenschappen en techniek al gelezen van juni? Op pagina 11 staat daar zogezegd een magisch vierkant van Barbieri. Ik vind het echter schandalig! In het artikel staat dat de rijen kolommen en de beide diagonalen 2056 uitkomen als je echter die diagonalen controleert komen ze 1032 en 3080 uit en dat is zeker geen 2056! Ik vind het dan ook verbijsterend dat ze dit publiceren zonder te controleren of wat er staat wel juist is. Bijgevolg is dit vierkant niet zuiver magisch (per definitie zouden de diagonalen juist moeten zijn en dat zijn ze niet!) en ook niet pandiagonaal magisch! Ik begrijp dan ook niet goed waarom men beweert dat deze man die drie scholieren zou hebben evenaart, want dat heeft hij niet!
Ik ben benieuwd naar jullie reacties.
Jordy Vanpoucke
Sunday 10 June 2007 om 21:05
ey kben pas 13 best wel vet dat vierkant
Sunday 10 June 2007 om 21:06
die gast van 75 is een aap echt zo’n gamefreak
Monday 3 December 2007 om 14:03
Ondertussen ben ik erin geslaagd, te laat om te publiceren een megemagisch 16 bi 16 vierkant te maken.Alle diagonalen kloppen, het is helemaal Franklinmagisch, en te vergelijken met het 12 bij 12 vierkant. Er zijn bovendien vele extra kwart rijen en kolommen en halve rijen en kolommen te vinden ( vijf extra van beiden)
Marco Barbieri
Monday 3 December 2007 om 17:23
5x moet zijn 3x. Uit dit 16×16 vierkant zijn 3×3x3×2=54 verschillende vierkanten te maken met praktisch dezelfde eigenschappen. Ze verschillen alleen in het aantal mogelijke figuren die symmetrisch t.o.v. de middenverticaal zijn en bij op en neer bewegen dezelfde waarde behouden. Bij sommigen is dit aantal niet maximaal.
Kortom, het perfecte magische vierkant, waaruit gemakkelijk een perfect vierkant van 32×32 te maken is.
Tuesday 4 December 2007 om 16:59
Is er iemand die weet of er in de rij oneven getallen nooit vier niet-priemgetallen elkaar opvolgen, m.a.w. of er in elke deelverzameling van vier opeenvolgende oneven getallen ten minste 1 priemgetal te vinden is?
Dan is de stelling dat elk even getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen gemakkelijk te bewijzen. Maar ja, hoe bewijs je wat ik vraag?
Tuesday 4 December 2007 om 17:07
@ Marco:
Er zijn willekeurig lange rijtjes niet-priemen. Neem een groot getal n en bekijk de rij n!+2, n!+3, n!+4, …, n!+n. Het is duidelijk dat al deze n getallen niet priem zijn, want n!+k is deelbaar door k als k ≤ n is. (En je kunt dus ook willekeurig lange rijtjes opeenvolgende oneven niet-priemgetallen maken op deze manier door de even getallen er uit weg te laten.)
Voor een rijtje van lengte 4 is het kleinste voorbeeld: 115, 117, 119, 121 zijn allemaal niet priem.
Tuesday 4 December 2007 om 17:11
Volgens Jordy zijn er 32 gebogen diagonalen in een 16×16 vierkant. Ik dacht toch echt dat dat er 64 zijn, net als de gewone diagonalen en gbroken varianten.
Thursday 17 January 2008 om 13:55
Ik vind deze wiskunde vierkant tog zo leuk. Op dit moment ben ik ook zo blij om een wiskundenurd te zijn! echt geweldig zeg!
Thursday 17 January 2008 om 13:57
hahaha wat een zielig ‘magisch vierkant’ het lijkt helemaal nergens op!!!!! dit is echt een zieligge site en van die foto van jullie moest ik bijna kotsen.
Wednesday 19 March 2008 om 18:18
Is de foto ,of poster die op de achtergrond bij de foto waar jullie gezellig samen tegenover elkaar liggen ontleend aan de tekening van Escher met een figuur in een prentengallery die kijt naar een schilderij, of prent, waar hij weer zelf in voorkomt, waar hij weer kijkt naar een prent waar hij weer zelf in voor komt etc.? Escher wist zelf niet het midden in te vullen , maar in kete is het een oneundige lijst waarvan de zijden steeds kleiner worden en misschien is het ewl een leuke opgave om te bekijken of de som van een van de steeds kleiner wordende zijden convergeert.
Oh ja Jeanine, bedankt nog voor de tip over die priemgetallen. Ik ben nog steeds , of beter gezegd af en toe, aangezien nog veel andere dingen mij interesseren, het probleem dat elk even getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen op te lossen. Er moet toch een methode zijn.
Hartelijke groetjes, Marco Barbieri
Friday 31 October 2008 om 19:48
12 247 1 254 8 251 13 242
213 42 224 35 217 38 212 47
188 71 177 78 184 75 189 66
101 154 112 147 105 150 100 159
204 55 193 62 200 59 205 50
21 234 32 227 25 230 20 239
124 135 113 142 120 139 125 130
165 90 176 83 169 86 164 95
92 167 81 174 88 171 93 162
133 122 144 115 137 118 132 127
236 23 225 30 232 27 237 18
53 202 64 195 57 198 52 207 156 103 145 110 152 107 157 98
69 186 80 179 73 182 68 191
44 215 33 222 40 219 45 210
245 10 256 3 249 6 244 15
Dit is de linkerkant van het perfecte 16×16 vierkant. Dan volgt nu de rechterhelft:
11 248 2 253 7 252 14 241
214 41 223 36 218 37 211 48
187 72 178 77 183 76 190 65
102 153 111 148 106 149 99 160
203 56 194 61 199 60 206 49
22 233 31 228 26 229 19 240
123 136 114 141 119 140 126 129
166 89 175 84 170 85 163 96
91 168 82 173 87 172 94 161
134 121 143 116 138 117 131 128
235 24 226 29 231 28 238 17
54 201 63 196 58 197 51 208
155 104 146 109 151 108 158 97
70 185 79 180 74 181 67 192
43 216 34 221 39 220 46 209
246 9 255 4 250 5 243 16
Ok t.o.v. de verticale as is een symmetrie aanwezig die echter niet zo maximaal is als t.o.v de horizontale as, maar meer is niet mogelijk. Er is aan alle eisen van een Franklin vierkant voldaan en ook de gewone diagonalen en hun gebroken varianten leveren het magische getal (2056). Bovendien zijn er extra halve rijen en kwart rijen die de helft of een kwart van het magische getal opleveren. Vanuit dit vierkant zijn equivalente vierkanten te construeren, zodat er meerdere vierkanten met dit maximaal aantal mogelijkheden
Sunday 2 November 2008 om 16:31
De getallen 156 103 145 110 152 107 147 98 horen boven de derde rij van onderen van de linkerkant van het vierkant. Uit dit vierkant zijn natuurlijk ook equivalente vierkanten van 32×32, 64×64, etc. te construeren.
Friday 27 March 2009 om 19:06
Weten jullie of er een bewijs is voor de stelling dat elf even getal geschreven kan worden als de som van twee priemgetallen?
Saturday 28 March 2009 om 01:26
@Marco. Elk even getal te schrijven als … is het vermoeden van Goldbach, een beroemd onopgelost probleem in de wiskunde. Als daar een bewijs voor gevonden wordt zetten de meisjes het op de voorpagina. Kortom, zo’n bewijs is er (nog) niet. Met de computer is de bewering al gecontroleerd voor bijzonder grote getallen. Dat telt niet als bewijs, maar geeft weinig hoop dat iemand een voorbeeld weet te vinden dat de ’stelling’ tegenspreekt.
Saturday 28 March 2009 om 01:36
78 niet meegerekend natuurlijk
Saturday 28 March 2009 om 11:50
@Vincent: 78 is te schrijven als 7+71, aangezien 7 en 71 allebei priemgetallen zijn.
Tuesday 31 March 2009 om 13:06
Dit is echt een kut site zeg! Ken je mij nog van donderdag 17 januari? Wat was dat een positieve dag. Toen vond ik het wel leuk. Na wat research wist ik dat ik hier echt van moest kotsen.
Tuesday 31 March 2009 om 13:07
Deze site is echt de beste site die er is! IK kijk er elke dag op en probeer dan zelf ook zo’n vierkant te maken. Jullie zijn zo inspirerend. Ik zou graag met jullie uitgaan! jullie zijn zo intelligenttt. Ik was in het verleden wat negatief maar nu ben ik tot inkeer gekomen!
Friday 27 May 2011 om 15:08
KAAS = BAAS