Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Reken mee met abc! (3)


In Algemeen,Nieuws, door wiskundemeisjes

Het project Reken mee met abc! heeft een eerste resultaat bereikt: er is een heel goed abc-drietal gevonden dat nog niet bekend was! Het is al gevonden in februari, maar wij hoorden er pas gisteren over.

Het nieuwe drietal is het volgende:

a = 13.651.536.370.466.816,
b = 875.615.065.424.903.125,
c = 889.266.601.795.369.941,
met kwaliteit q = 1,419559.

Het is gevonden door Wiztar, een onbekende die zijn computer mee laat rekenen om alle abc-drietallen te vinden tot een bepaalde grens.

abc

Maar wat is nou een abc-drietal? Birgit van Dalen legt het uit op de website:

"Allereerst moeten de getallen alle drie positief en geheel zijn. Het kleinste getal noemen we a, het middelste getal b en het grootste getal c. We hebben het dus over drietallen a, b en c en daar komt de naam abc-drietallen vandaan.

De getallen a en b mogen geen gemeenschappelijke delers groter dan 1 hebben. Het getal c moet gelijk zijn aan a + b. Neem bijvoorbeeld a = 1, b = 8 en c = 9. Om te zien of dit inderdaad een abc-drietal is, ontbinden we de drie getallen in priemfactoren. In dit geval geeft dit a = 1, b =2 × 2 × 2 en c=3 × 3.

We nemen nu de verschillende priemfactoren die voorkomen in a, b en c en vermenigvuldigen die met elkaar. Dat noemen we het radicaal van het drietal a, b en c. We schrijven dit ook wel als r(a, b, c). In ons voorbeeld komen slechts twee verschillende priemfactoren voor: 2 en 3. Het radicaal van het drietal 1, 8 en 9 is dus gelijk aan 2 × 3 = 6.

Als het radicaal van een drietal a, b en c kleiner is dan c, dan hebben we een abc-drietal. We zien dat 1, 8 en 9 inderdaad een abc-drietal is, want 6 is kleiner dan 9."

De kwaliteit q is gedefinieerd als: log(c)/log(r(a,b,c)). Het nieuw gevonden drietal komt op plek 120 op de lijst van de beste gevonden abc-drietallen ooit!
Het Reken mee met abc! project probeert alle abc-drietallen te vinden tot een bepaalde waarde voor c, die tussen 1016 en 1018 zal uitvallen. In die lijst hoopt men een patroon te vinden en zo kunnen we misschien meer inzicht te krijgen in de getaltheorie achter het abc-vermoeden.

Als je nog een computer wil laten meerekenen: meld je vooral aan! Er gaan onbevestigde geruchten dat er binnenkort ook een Mac-versie komt.

(Jeanine)

8 reacties op “Reken mee met abc! (3)”

  1. Matthijs Coster:

    In plaats van het abc-vermoeden zou ook het abcd-vermoeden kunnen worden geformuleerd.
    a+b+c+d=0, waarbij a,b,c en d onderling ondeelbaar zijn en 1 <= |a| <= |b| <= |c| <= |d| en de kwaliteit q = log(|d|)/log(r(a,b,c,d)).
    Aangezien a,b,c en d oneven moeten zijn is het niet onwaarschijnlijk dat
    er veel minder oplossingen zijn. Ik vond er (uit het hoofd) drie:
    1+1+25 = 27
    1+1+243 = 245
    2187+11 = 2197+1
    Is er over dit vermoeden iets bekend?

  2. HJ:

    Sinds wanneer krijgt de 120ste plaats een uitroepteken?

  3. Tammo Jan:

    Voor wie het nieuwe drietal met de hand wil narekenen:
    a=2^47*97,
    b=5^5*7^8*89*739^2
    c=3^17*11^6*13^2*23

    Dus r=2*3*5*7*11*13*23*89*97*739=4.406.455.083.030.

    Log r is ongeveer 12 (r is een vier met twaalf nullen) en log c is ongeveer 17 (c is een 8 met zeventien nullen). Dus de kwaliteit is ongeveer 17/12=1,42

  4. Johan:

    @Matthijs: Als ik me niet vergis heeft Nils Bruin daar ooit wat mee gedaan. Dus je zou het aan hem kunnen vragen. :).

  5. Marcel:

    @Matthijs: Waarom zou je in dat geval eisen dat alle getallen oneven zijn? Het lijkt me logischer om te eisen dat gcd(a,b,c,d)=1.

    Mooie oplossing in dat geval: 36+64+243=343.

    Ik ben inderdaad ook wel benieuwd naar abcd(efgh...)-vermoedens; zijn die op de een of andere manier te reduceren tot het abc-vermoeden?

  6. Matthijs Coster:

    @Marcel: Kies een goed (a,b,c)-triple (dus a+b=c), dan heb ik 2 viertallen:

    a^2+ac+bc = c^2 en

    b^2+bc+ac = c^2.

    Je moet de ondergrens voor de kwaliteit brengen naar 2.
    Inmiddels vond ik 2 dergelijke viertallen met kwaliteit groter dan 3:

    25 + 1000 = 1 + 1024 en

    1 + 12 + 243 = 256

    Voor de andere vermoedens die je noemt abcd(efgh...) gelden vergelijkbare opmerkingen.

  7. Marcel:

    @Matthijs: Leuk! Je komt inderdaad alleen met machten van 2 en 3 dan al een heel eind - bijvoorbeeld ook

    729 = 512 + 216 + 1

    met kwaliteit 3.68. Waarmee de vraag natuurlijk rijst: is er in zo'n geval wel een bovengrens, of kun je op deze manier altijd viertallen van hogere kwaliteit vinden? En als er voor viertallen nog wel een bovengrens is, is die er dan ook voor vijf-, zes-, enzovoort-tallen?

    (Het doet wat denken aan: elk geheel getal is te schrijven als de som van vier kwadraten. Is er een n waarvoor elk geheel getal te schrijven als de som van n getallen van de vorm 2^p 3^q?)

    Een wiskundige kan meer vragen dan duizend koppen koffie kunnen beantwoorden...

  8. Marcel:

    ...wat verder denken doet me vermoeden dat het antwoord op mijn vraag "is er een n waarvoor..." hierboven waarschijnlijk "nee" is.

    Reden voor dat vermoeden: de kans dat een willekeurig geheel getal N een kwadraat is is grofweg N^{-1/2}. De kans dat het een derde macht is is grofweg N^{-2/3}. De kans dat het een m-de macht is is grofweg N^{-(m-1}/m}. (Het bewijs is een opgave voor de enthousiaste lezer . :-) )

    De kans dat een willekeurig getal N te schrijven is als 2^p 3^q is grofweg log N / N. (Wederom: bewijs zelf. Hint: tel het aantal getallen van die vorm tussen N en 2N.) Voor grote N neemt die kans dus sneller af dan de kans dat N een m-de macht is, voor alle m.

    De dichtheid van getallen van de vorm 2^p 3^q wordt dus uiteindelijk kleiner dan de dichtheid van m-de machten, voor elke m. Aannemende dat je voor groter wordende m een steeds groter wordend aantal termen nodig hebt om een getal the schrijven als som van m-de machten (dit staat bekend als "Waring's problem") kun je dus vermoeden dat een gegeven eindig aantal termen uiteindelijk niet meer voldoende is om een getal te schrijven als som van termen van de vorm 2^p 3^q.

    Dat is natuurlijk nog geen bewijs, en het zegt al helemaal niets over mijn oorspronkelijke vraag, maar ik kon het toch niet laten het op te schrijven... :-)

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.