Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Wiskundige servetten


In Kunst,Trivia, door wiskundemeisjes

Dick stuurde ons weer een goede link! Op de site van Sanny de Zoete vond hij deze geweldige priemgetalservetten:

servet 1

Wat is er nou zo bijzonder aan deze servetten? De blokjes in het patroon hebben te maken met priemgetallen. De servetten zijn gebaseerd op het volgende patroon, dat Balthasar van der Pol in de jaren '50 ontwierp.

servet 2

De blokjes in het patroon stellen niet precies de gewone priemgetallen voor, maar de priemgetallen in de gehele getallen van Gauss. De gehele getallen van Gauss zijn de getallen die je kunt schrijven als a+bi, waarbij a en b gehele getallen zijn en waarbij we stellen dat i2=-1. Met deze getallen kun je net zo rekenen als met gewone gehele getallen.

Ook kun je priemgetallen definiëren in deze nieuwe verzameling getallen. De gewone priemgetallen zijn gedefinieerd als: een priemgetal is een getal met precies vier delers. Het priemgetal 3 heeft bijvoorbeeld 1, -1, 3 en -3 als delers. (Merk op dat bijvoorbeeld -3 volgens deze definitie ook een priemgetal is.) Een equivalente definitie is: p is een priemgetal als geldt: als x en y getallen zijn zodat p een deler is van xy, dan is p een deler van x of van y. Deze tweede definitie kunnen we precies zo overnemen in de gehele getallen van Gauss.

Het blijkt dat alle gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 3 opleveren, nog steeds priem zijn. Dus als p een gewoon priemgetal is dat rest 3 geeft bij deling door 4, dan is p = p+0i een priemgetal in de gehele getallen van Gauss. De getallen 3, 11 en 19 blijven dus priem. Maar de gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 1 opleveren, zijn nu niet meer priem! Het is namelijk zo dat priemgetallen van dit type allemaal te schrijven zijn als een som van twee kwadraten. Bijvoorbeeld: 5=22+12, 13=32+22, 17=42+12. Maar p=a2+b2 is te onbinden als (a+bi)(a-bi), dus in de gehele getallen van Gauss is een gewoon priemgetal dat rest 1 geeft bij deling door 4 niet meer priem. Het blijkt dat in dit geval a+bi en a-bi wel priemgetallen zijn, en de getallen a+bi en a-bi vermenigvuldigd met -1, i of -i ook. Een dergelijk priemgetal a+bi heeft precies acht delers in de gehele getallen van Gauss: a+bi, -a-bi, -b+ai, b-ai en de triviale delers 1, -1, i en -i.

Merk op dat een getal dat rest 0 geeft bij deling door 4 sowieso nooit priem is, en dat 2 het enige priemgetal is dat rest 2 heeft bij deling door 4. Het priemgetal 2 is in priemfactoren te ontbinden als (1+i)(1-i), dus 2 is ook niet meer priem in de gehele getallen van Gauss.

Samengevat: de gewone priemgetallen die rest 3 geven bij deling door 4 blijven priem, de priemgetallen die rest 1 geven bij deling door 4 ontbinden als (a+bi)(a-bi) waarbij a en b gehele getallen zijn zodat a2+b2 dat gewone priemgetal is, en het gewone priemgetal 2 heeft in de gehele getallen van Gauss de priemontbinding (1+i)(1-i).

Maar vinden we op deze manier alle priemgetallen van Gauss? Dat blijkt zo te zijn. Voor elk priemgetal van Gauss a+bi dat niet gelijk is aan p, -p, pi of -pi, met p een gewoon priemgetal, geldt dat a2+b2 wel een gewoon priemgetal is. Alle priemgetallen van Gauss komen dus op de een of andere manier voort uit de gewone priemgetallen.

Hoe staan de priemgetallen van Gauss nu in het servet? Het middelste hokje stelt (0,0) voor. Het hokje (a,b) wordt nu blauw gekleurd als a+bi een priemgetal van Gauss is, en anders blijft het wit. Lees hier de uitleg van Balthasar van der Pol zelf.

Oftewel: op de horizontale en verticale assen staan de getallen (0,p), (0,-p), (p,0) en (-p,0), waarbij p een gewoon priemgetal is dat bij deling door 4 rest 3 geeft. Op alle andere plekken staan de getallen (a,b) waarvoor geldt dat a2+b2 een gewoon priemgetal is dat óf gelijk aan 2 is, óf bij deling door 4 rest 1 geeft.

De dekservetten kosten 15 euro per stuk en je krijgt er een brochure met uitleg over de priemgetallen op het doek bij.

(Jeanine)

13 reacties op “Wiskundige servetten”

  1. Tammo Jan:

    Meer leuke feitjes over Gauss-priemen op Mathworld:
    http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html

    Wist je bijvoorbeeld dat de grootst bekende Gauss-priem (1+i)991961-1 is? (De grootte van de a en b in a+b×i laat zich hier goed omschrijven in hoeveelheden schermen vol, een stuk of 40 voor elk.)

  2. Marco:

    Ik vond Tammo Jans getal al zo klein, maar er blijkt een dakje te missen: Het is 1+i tot de macht 991961 min 1. En het grootste bekende Gauss-priemgetal is zelfs nog groter: als je de bron van deze priem opzoekt, dan vind je een grotere: 1+i tot de macht 120373 min 1.

  3. Tammo Jan:

    Drie opmerkingen bij het bericht van Marco:
    - Dat van het dakje klopt, ik heb Ionica al gevraagd of we superscripten mogen in de reacties.
    - Volgens mij(n Mathematica) is (1+i)^120373-1 niet groter dan (1+i)^991961-1.
    - Volgens mij(n Mathematica) is (1+i)^120373-1 geen priem: het heeft niet-triviale factoren 5+52i, 32+33i, 36+35i en dan nog wat.

  4. Johan:

    En 232582657-1, oftewel het grootste bekende Mersenne-priemgetal dan? Is dat geen Gauss-priemgetal?

  5. Tammo Jan:

    Vierde opmerking bij het bericht van Marco:
    - Ik zie dat je waarschijnlijk een typfoutje gemaakt hebt, want (1+i)^1203793 is wel priem, en groter dan het getal dat ik probeerde te typen. Zie de bron:
    http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=41#records

  6. Arno van Asseldonk:

    @Johan: Als het grootste bekende Mersenne-priemgetal een Gauss-priemgetal is, dan moet dit als priemgetal bij deling door 4 een rest 3 opleveren.
    @Jeanine: Volgens de definitie die jij geeft zou een priemgetal p naast 1 en p ook -1 en -p als deler moeten hebben. Hoewel dat op grond van de eigenschap van een deler klopt, wordt meestal toch de definitie gehanteerd dat een priemgetal p een natuurlijk getal groter dan 1 is dat alleen zichzelf en 1 als delers heeft. Volgens deze definitie, die in deze vorm voor het eerst door Fermat werd geformuleerd, heeft een priemgetal p dus slechts 2 delers (1 en p) en geen 4. Ik houd me wat dat betreft liever aan de definitie van Fermat.

  7. Tammo Jan:

    Ehm, 2^232582657-1 gedeeld door 4 heeft inderdaad rest 3, dus het is ook een Gauss-priem? Hm, nou snap ik 't niet meer... Waarom claimt die website ( http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=41#records ) dan dat die andere de grootste is? Wil de ware Gauss-priemgetallenexpert nu opstaan?

  8. Tammo Jan:

    Goed, mea culpa, my bad, ik had niet goed gelezen. Nog steeds niet heel erg goed, maar het priemgetal dat ik in reactie 1 gaf is volgens mij de grootst bekende van de vorm (1+i)^n-1, en de mersennepriemen zijn van de vorm 2^n-1.
    Zouden we het op een foutje van Mathworld houden?

  9. Ionica:

    Wil de ware Gauss-priemgetallenexpert nu opstaan?
    Jeanine is de komende twee weken op vakantie (ze had vantevoren vast een aantal artikelen klaargezet) en ik weet bijna niets over Gauss-priemgetallen. Sterker nog, ik had dezelfde bezwaren als Arno tegen deze definitie. Jeanine had daar destijds een goed weerwoord tegen.

  10. Marco:

    Dan is dat voor mij al de tweede fout in Mathworld deze week. Ik bedoelde inderdaad 1203793. Mersennegetallen zijn allemaal 3 mod 4 en 232582657 is wel heel veel groter dan 1203793/2, oef.

  11. Arno van Asseldonk:

    @Ionica: Ik heb er zojuist Thomas W. Hungerfords boek Algebra (ook een Springer-boek overigens) op nageslagen en kwam daar de volgende definitie tegen: een getal p dat element is van een ring R is priem als uit "p is een deler van a*b" volgt dat p deler is van a of p deler is van b. Vervolgens merkt Hungerford op: "If p is an ordinary prime integer, then both p and -p are irreducible and prime in Z in the sense of Definition 3.3". Dit is de definitie die ik zojuist noemde, en die ook al door Jeanine werd aangehaald.
    Wanneer we ons uitsluitend zouden beperken tot de natuurlijke getallen zou een priemgetal p alleen 1 en p als deler kunnen hebben, maar als je alle gehele getallen beschouwt zie je dat -1 en -p ook als deler van p op kunnen treden. Vermoedelijk is Jeanine bij haar eerste definitie van een priemgetal uitgegaan van de verzameling Z, terwijl ik, en jij vermoedelijk ook, uitgegaan zijn van de verzameling N. Dat verklaart dan ook waarom er volgens jou en mij maar 2 delers voor een priemgetal p kunnen zijn (1 en p), terwijl er volgens Jeanine nog 2 andere delers (-1 en -p) voor een priemgetal p kunnen zijn. Het hangt er dus van af wat je als grondverzameling kiest om het aantal delers van een priemgetal p te kunnen definiëren.

  12. Derk Pik:

    Wat leuk dat ze weer gemaakt worden.
    In het decembernummer 2004 van het Nieuw Archief
    hebben we een oud en een beetje verbleekt origineel exemplaar afgedrukt, dat op het 12e International Congress of Mathematicians (ICM) in Amsterdam werd verkocht.
    Daar was echt iedereen, dus de theedoeken zullen
    ook wel van Moskou tot aan Princeton toe verspreid zijn.

  13. Jeanine:

    @ Arno: Ja inderdaad, ik geef de voorkeur aan deze definitie omdat deze voor alle ringen hetzelfde is. Ik kijk naar Z in plaats van N omdat Z wel een ring is, en N niet.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.