Wiskundemeisjes

In het novembernummer van Pythagoras wordt de prijsvraag van dit jaar gepresenteerd. Maar de prijsvraag is al aangekondigd op de wetenschapsdagen op het CWI en in Leiden, en staat ook al op internet!

Er zijn erg mooie prijzen te winnen, zoals deze fractalboom van Koos Verhoeff. Maar wat moet je doen?

De prijsvraag heeft een taalkundige basis. Het principe is dat je getallen uitschrijft in letters en deze telt. Een voorbeeld: het getal 13 (dertien) heeft uitgeschreven 7 letters. We noteren dit als volgt: P(13) = 7. We noemen P de Pyth-actie. Het getal 2500 kun je uitspreken als 'tweeduizend vijfhonderd' en als 'vijfentwintighonderd'.

De opdracht van de prijsvraag van dit jaar is om correcte wiskundige vergelijkingen te zoeken waarin maximaal zes verschillende getallen worden gebruikt, die ook correct blijven als je op alle getallen de Pyth-actie toepast. Zo'n vergelijking noemen we een Pythagorasvergelijking. Een simpel voorbeeld is 13 + 16 = 29, want er geldt ook: P(13) + P(16) = P(29): 7 + 7 = 14.

Voor afspraken over de schrijfwijze en voor de opdrachten (in maar liefst zes categorieën): klik hier. Insturen kan tot 1 april 2009!

Voor wie Derren Brown niet kent, eerst een filmpje waarin hij iets doet met getallen. Er zijn nog veel leukere filmpjes van hem te vinden op YouTube, maar het moet hier natuurlijk wel een beetje wiskundig blijven...

Ik las laatst Tricks of the mind, waarin Brown iets (maar niet te veel) vertelt over hoe hij werkt. Brown schrijft vlot en geestig, maar komt wel een beetje zelfingenomen over. Hoogtepunt was voor mij het hoofdstuk over het geheugen met daarin een aantal trucs om je geheugen te verbeteren. Ik ga flink oefenen, want het zou fijn zijn om eindelijk gezichten en namen te kunnen onthouden.

In het laatste hoofdstuk gaat Brown flink los tegen pseudowetenschap en hij begint met een aantal veelgemaakt denkfouten. Daar ging mijn wiskundig hart sneller van kloppen, want het waren vooral dingen die met kansrekening te maken hadden. Zoals onderstaande klassieker (die Brown veel smeuïger opschrijft).

Eén op de tienduizend mensen heeft een bepaalde ziekte. Er bestaat een test voor deze ziekte en die test is 99% betrouwbaar. Dit betekent dat de test bij 99% van de personen die aan deze ziekte lijden een positieve uitslag geeft. De test geeft bij 99% van de personen die niet lijden aan deze ziekte een negatieve uitslag. Je laat je testen met de betreffende test. De test geeft een positieve uitslag. Hoe groot is de kans dat je echt ziek bent?

Zeg maar in de reacties wat jij denkt, je mag ook een schatting geven. Het schijnt dat veel artsen deze vraag niet correct kunnen beantwoorden...

Komende dinsdag komt bètaminnend Nederland bij elkaar op Vliegende Hollanders 2008, Science & Technology Summit in Amsterdam. Er komen allerlei grote namen spreken: minister Plasterk, Robbert Dijkgraaf en Prins Johan Friso bijvoorbeeld. Wij zijn er de hele dag bij! Je kunt je nog steeds (gratis) aanmelden.

Alleen de onderstaande lezing van de onvolprezen Hendrik Lenstra maakt het volgens mij al de moeite waard.

Wat kost een priemgetal?

Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat geen factoren behalve 1 en zichzelf heeft. Priemgetallen spelen al duizenden jaren een belangrijke rol in de zuivere wiskunde, maar sinds enkele tientallen jaren zijn priemgetallen van zo tussen de 50 en 500 cijfers ook commercieel interessant.

Men kan zich de vraag stellen wat een redelijke prijs is die men voor een priemgetal van een gegeven aantal cijfers zou moeten betalen. Is deze prijs, in eerste benadering, evenredig met dat aantal cijfers, of juist met het priemgetal zelf?

Met andere woorden, zou men voor een priemgetal van 105 cijfers ongeveer 5% meer moeten betalen dan voor een priemgetal van 100 cijfers, of juist 100000 keer zoveel?

Enige tijd geleden was ik in Frankfurt, en daar praatte ik met professor Sezgin op het Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften (Instituut voor de Geschiedenis van de Arabisch-Islamitische Wetenschap). In dat instituut heeft Sezgin een museum opgericht van een heleboel wetenschappelijke instrumenten, die zijn nagebouwd van de beschrijvingen in oude, Arabische teksten.

Er staat een virtuele versie van het Frankfurtse museum op internet! Klik op de zalen om de instrumenten te zien, en klik op de kleine plaatjes voor vergrotingen. Er is een zaal met meetkundige instrumenten.

Helaas is het Frankfurtse museum niet open voor publiek, maar omdat er veel belangstelling is voor deze gereconstrueerde instrumenten is deze zomer wel een museum met dezelfde instrumenten in Istanbul geopend! Volgens Sezgin is het een heel mooi museum geworden, waarover de bezoekers erg enthousiast zijn. Het is zeker ook bedoeld voor scholieren. Helaas was het nog net niet open toen ik zelf in Istanbul was.

Een van de doelen van het museum is de westerse en de Islamitische wereld wat dichter bij elkaar brengen. Volgens Sezgin wordt vaak vergeten dat de westerse wetenschap veel te danken heeft aan de Islamitische wetenschap, die bloeide tijdens onze middeleeuwen. Dat is door Europese oriëntalisten wel onderzocht, maar in de Arabische wereld zelf is dat nog niet bekend genoeg. Sezgin (die onlangs 84 werd) heeft vele jaren besteed aan het traceren, uitgeven en interpreteren van oude manuscripten, en dus ook aan het nabouwen van de instrumenten die in de oude manuscripten beschreven worden.

In Nature stond in 2004 ook een artikel over Sezgins museum. Op youtube vond ik dit filmpje over het museum in Istanbul.

Eerder dit jaar haalden Jeanine en ik onze kersenjurkjes uit de kast om Lex Schrijver te interviewen over het bekroonde project Diswis. Inmiddels heeft Niels (een van de drijvende krachten achter Diswis) een compilatie gemonteerd, hieronder zien jullie het resultaat.

Christophe stuurde me een link naar the eyeballing game. Het is een testje om te zien hoe precies jij opmerkt hoe recht iets is, of hoe evenwijdig, of hoezeer in het midden. Zoals de website vertelt:

Some people are bothered by pictures on the wall hanging slightly crooked. Others may not even be aware that something may be amiss.

If you are somebody who is into woodworking or construction, its good to be one of the people who notice when things are crooked. But I suspect the ability to notice that things might be just a little off square, off centre, or not quite straight, varies greatly. I thought it would be fun for people to try to test their abilities to see if things are straight or crooked in a little game.

In het testje moet je van bijna-parallellogrammen echte parallellogrammen maken, van bijna-rechte hoeken rechte hoeken maken, middelpunten van cirkels en driehoeken benaderen en snijpunten van drie lijnen tekenen. Klik hier om het testje te doen. Leuk! Mijn score was 3,72.

Onderstaand artikel staat vandaag in Technisch Weekblad. Het is mijn reportage over het bezoek aan Princeton en de ontmoeting met Nash en Maskin. Een langer artikel over Nash volgt zodra het gepubliceerd is...

Negen getalenteerde scholieren wonnen een reis naar New York. Op 18 oktober hadden zij een ontmoeting met twee Nobelprijswinnaars in Princeton.

De scholieren wonnen op 19 september het Nijmeegse Wiskundetoernooi, een jaarlijkse wedstrijd tussen ongeveer honderd teams met elk vier of vijf leerlingen uit de bovenbouw van het vwo. Dion Coumans en Mirte Dekkers, promovendus respectievelijk student bij wiskunde in Nijmegen, organiseerden dit jaar het toernooi. Coumans: ‘Het toernooi is niet alleen gericht op de slimsten van de klas, we willen alle scholieren een leuke dag bezorgen. We hopen dat ze daarna aan anderen vertellen hoe leuk wiskunde kan zijn.’

Dit jaar stond het toernooi gedeeltelijk in het teken van speltheorie. De teams moesten niet alleen sommen oplossen, ze onderhandelden ook met tegenstanders om zoveel mogelijk punten te halen. Als toepasselijke hoofdprijs mochten de twee winnende teams naar Princeton om twee grote namen uit de speltheorie te ontmoeten: John Nash en Eric Maskin.

John Nash (geboren in 1928) werd bij een groter publiek bekend als het genie uit de film A beautiful mind: (2001). Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor economie voor zijn jeugdwerk in de speltheorie. Inmiddels is hij tachtig en komt hij nog bijna iedere dag op het Institute for Advanced Studies om te werken en collega’s te ontmoeten.

Princeton
Het is nog vroeg als de scholieren op zaterdag 20 oktober in de trein een ontbijt van bagels en muffins wegwerken. Na drie dagen in New York zijn ze op weg naar Princeton, zo’n negentig kilometer onder New York. Ze weten van tevoren niet zo goed wat ze moeten verwachten van de ontmoeting met Nash. De één hoopt stiekem dat Nash iets heel raars zal doen, zodat hij tegen zijn vrienden kan zeggen: ‘Ken je Nash, dat genie uit A Beautiful Mind? Weet je wat hij deed?’ Een ander ziet het bezoek naar Princeton sowieso als het hoogtepunt van de vijfdaagse reis naar New York.

De winnende scholieren tussen Nobelprijswinnaars John 'A Beautiful Mind' Nash (midden) en Eric Maskin (rechts van Nash).

Nash geeft een korte voordracht over de geschiedenis van zijn werk. Hij kreeg de Nobelprijs voor het introduceren van het naar hem genoemde Nash-evenwicht. Dit evenwicht treedt op in een spel met verschillende spelers waarbij samenwerking tussen de spelers niet kan worden opgelegd. Elke speler heeft een doel en kiest een strategie om dat doel te bereiken. Er is sprake van een Nash-evenwicht als een speler niet van strategie zou veranderen als hij zou weten wat de andere spelers doen. De scholieren vragen Nash of hij nog steeds actief is als onderzoeker. Hij begint een enthousiast verhaal over zijn nieuwe werk aan ideaal geld. De scholieren zijn achteraf onder de indruk. ‘Hij is echt anders dan anderen. Ik zie nooit iemand van tachtig die nog zo scherp is.’

Eric Maskin werkte verder aan de ideeën van Nash en ontving zelf vorig jaar de Nobelprijs voor economie. Hij geeft een glasheldere lezing over hoe speltheorie gebruikt kan worden om keuzeprocessen zo eerlijk mogelijk op te zetten. Bijvoorbeeld bij een gesloten bod veiling: verschillende partijen bieden op een object zonder elkaars bedragen te zien. Hoe zorg je nu dat degene wint, die het object het meeste waard vindt? Dit is bijvoorbeeld belangrijk bij het veilen van gsm-frequenties, dan moet de winnaar na de veiling ook iets gaan doen met zijn verkregen frequentie.

Maskin: ‘Laat degene met het hoogste bod winnen, maar laat hem het een-na-hoogste bod betalen. Niemand zal nu minder bieden dan hij het object waard vindt. Maar ook niemand zal meer bieden dan dat: stel dat jij denkt dat het object 10.000 euro waard is, als je dan 12.000 biedt en iemand anders biedt 11.000, dan betaal je uiteindelijk 1000 euro te veel. Met deze opzet biedt iedereen eerlijk en wint precies degene die het object het hoogste waardeert.’

Na de voordrachten volgt een wandeling door Princeton. Is het beeld dat de scholieren hebben van wiskunde veranderd door deze dag? Niet echt, al zijn ze aangenaam verrast dat wat Maskin vertelde óók wiskunde is. ‘En mijn beeld van Princeton is echt enorm gestegen’, voegt een jongen toe. Dat was ook een beetje de bedoeling van de reis. Dekkers: ‘We hopen deze scholieren extra te motiveren door ze een topuniversiteit te laten zien. Princeton is misschien haalbaar voor hen als ze hard hun best doen.’