Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



  • Laatste Reacties

Categorieën

Archief

Wakker worden kinderlezingen: Tot hoeveel kun je tellen?


In Uitjes, door Jeanine

Een goede reden om aanstaande zondag vroeg op te staan: Robbert Dijkgraaf geeft een kinderlezing in Nemo! Om 11 uur begint de lezing Tot hoeveel kun je tellen?

robbert dijkgraaf

Een voetbalelftal bestaat uit 11 spelers en in Artis vind je ruim 6100 dieren. Dat is nog te begrijpen en te tellen. Maar hoeveel 6 miljard aardbewoners zijn of dat er 200.000.000.000 sterren in ons melkwegstelsel staan, daar kunnen maar weinig mensen zich iets bij voorstellen. Wiskundige prof. dr. Robbert Dijkgraaf van de Universiteit van Amsterdam weet alles over oneindig tellen.

Deze lezing gaat over hele grote getallen, zo groot dat de meeste mensen zich er niets bij kunnen voorstellen. Dijkgraaf onderzoekt samen met de kinderen of er een punt bestaat dat je niet meer verder kunt tellen. Ze gaan op zoek naar de betekenis van grote getallen en het begrip oneindigheid.

Een echte aanrader, want Dijkgraaf is erg enthousiast en een goede spreker, zeker ook voor kinderen! Alle informatie kun je vinden op deze site.

23 reacties op “Wakker worden kinderlezingen: Tot hoeveel kun je tellen?”

  1. Frank:

    Vroeg opstaan? En dan pas om 11 uur in Nemo hoeven te zijn ...........

  2. Anton M(ath):

    Als je uit Friesland moet komen zoals ik zal je redelijk vroeg weg moeten.

  3. Sjoerd Zwaagstra:

    Ik heb me ooit eens bezig geweest met grote getallen, erg leuk is dat. Ik heb zelf ooit het volgende bedacht:

    x(0,n) = 2 n!
    x(m,0) = 2
    x(m,n) = x(m-1,x(m,n-1))

    x(100,1) is dan een enorm getal.

    Op internet vond ik toen nog grotere. De pagina http://www.scottaaronson.com/writings/bignumbers.html gaf mij toen een aardig inzicht.

  4. Joek van Montfort:

    Helaas, helaas, de lezing is volgeboekt.

  5. Jos:

    Ik heb het oneindigheidsbegrip altijd erg intrigerend gevonden. Evenveel even als gehele getallen, evenveel polynomen als natuurlijke getallen, net zoveel reele getallen tussen 0 en 1 als er totaal zijn, etc. Maar komt er in de realiteit ook iets oneindig kleins of groots voor? Of is het louter iets wat in gedachten bestaat?

  6. Arno van Asseldonk:

    @Jos: Het argument dat er even veel polynomen als natuurlijke getallen zijn gaat alleen op als de verzameling, waaruit de coëfficiënten voor zo'n polynoom gekozen kunnen worden, aftelbaar is. Als deze verzameling overaftelbaar is zijn er meer polynomen dan natuurlijke getallen.
    Het begrip oneindig klein geeft aanleiding tot de vraag hoe klein "oneindig klein" dan precies is. In de realiteit is zoiets echter wel te vinden. Denk maar aan het verval van een radio-actief element. Na n halveringstijden is er nog 100(1/2)^n procent van het oorspronkelijke aantal niet vervallen kernen over. Stel dat we willen weten hoeveel procent er na 100 halveringstijden nog over is. Dit is 100(1/2)^100, ofwel zo'n 7,89*10^-29 procent.
    Iets oneindig groots zul je in de realiteit waarschijnlijk niet zo gauw vinden, maar je kunt wel een benadering vinden door bijvoorbeeld het aantal waterstofatomen te berekenen dat je nodig zou moeten hebben om het voor ons waarneembare heelal op te moeten vullen.

  7. Jos:

    Arno, sorry, je hebt helemaal gelijk. Dat was ik er vergeten bij te zetten.

    Voor wat betreft oneindig klein: dat is wat "infinitesimaal" voor mij betekent. Niet nul, maar wel kleiner dan elk positief getal. Zie:

    http://nl.wikipedia.org/wiki/Infinitesimaal

    Ik vind jouw getal best klein :^), maar als ik het door 2 deel (nog een halveringstijd) krijg je toch weer een kleiner getal. Dus het is nog niet oneindig klein.

    Hetzelfde geldt voor je oneindig groot: en als ik er nu nog een atoompje bij doe?

    Mijn idee is dat oneindig klein en groot in de realiteit niet bestaan (maar ik kan dat niet aantonen), maar alleen in de wiskundige verbeelding. Dat maakt niet dat het nutteloos, want op zijn minst ik heb plezier beleefd aan wat ik erover gelezen heb. En indirect heeft het oneindigheidsbegrip de wiskunde als geheel ongetwijfeld verder geholpen - en de toepassingen.

    Misschien dat dit nog illustratief is: met "oneindig" (waarvan er meerdere soorten zijn, overigens - er zijn in zekere zin meer reele dan gehele getsllen bijv.) kun je allerlei dingen doen, maar het blijft "oneindig". Tel er een bij op en het blijft oneindig, doe het keer twee en het blijft oneindig. Ik vraag me af of je in de realiteit iets kunt veranderen zonder gevolg. Zijn er oorzaken zonder gevolg?

    Help, is er ook een http://www.filosofiemeisjes.nl :^) !?

  8. Oase:

    Oneindigheid en kinderen...

    Deed me meteen denken aan de film "Etre et Avoir" waarin JoJo op een gegeven moment gevraagd wordt of 100 het grootste getal is. Waarop hij ja zegt. De leraar zegt "en 101 dan"...Uiteindelijk worden er stappen gezet naar 1000 en miljoen en staat JoJo op het punt er achter te komen dat je er altijd weer 1 bij op kan tellen. Helaas is hij dan met zijn aandacht alweer ergens anders...

  9. Arno van Asseldonk:

    @Jos: Als het getal 7,89*10^-29 niet klein genoeg is om oneindig klein genoemd te worden, hoeveel halveringstijden zou je dan moeten hebben om een uitkomst te krijgen die wel oneindig klein genoemd kan worden?
    Het is inderdaad mogelijk om een betere benadering voor het oneindig grote te krijgen door het aantal atomen (of onderdelen daarvan) groter te maken en zo het voor ons waarneembare heelal verder op te vullen, maar dan stuit je dus op de vergelijkbare vraag hoeveel objecten je dan nodig hebt om een goede benadering voor het oneindig grote te krijgen.
    Ik denk ook dat oneindig klein en groot in de realiteit niet bestaat, maar dat het wel mogelijk is, zoals ik in mijn voorbeelden ook aangaf, om benaderingen daarvan te vinden.
    Voor zover ik weet zijn er geen oorzaken zonder gevolg, maar kan een oorzaak wel meerdere gevolgen hebben.

  10. Jos:

    Hoi Arno, je vraag over halveringstijden is vergelijkbaar met vragen hoeveel keer je 1 bij 1 moet optellen om oneindig te krijgen: oneindig vaak.

    Maar je moet denk ik wel uitkijken: het ene soort oneindig is het andere niet. Als oneindig = het aantal gehele getallen, dan kom je op dat oneindig uit. Dat heet aleph0, trouwens. Maar als oneindig = het aantal reele getallen (en dat is een andere orde van oneindig dan die van de gehele getallen), dan kom je op dat oneindig uit. Dat heet aleph1, en je kunt laten zien dat geldt: aleph1= 2^aleph0.

    Dus mijn antwoord is: oneindig vaak, maar we moeten wel van tevoren afspreken over welk "oneindig klein" we het hebben. Maar misscihen zijn er mensen die hier meer verstand van hebben... Mijn eindige zakgeld noch salaris hebben ooit aanleiding gegeven om me verder in deze materie te verdiepen.

    Binnen de wiskunde wordt er ook wel verschillend tegen "oneindig" aangekeken. "Men spreekt wel van de tegenstelling tussen het potentieel en het actueel oneindige, dwz. tussen het oneindige beschouwd als een proces, en het oneindige beschouwd als iets voltooids (iets ‘wordt’ oneindig, en iets ‘is’ oneindig)."
    Van http://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/stru008gesc01_01_0005.htm

    Tenslotte, dit vind ik een goed stuk over de hele problematiek - en meer:

    http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/thereals/potential.html

  11. Arno van Asseldonk:

    @Jos: In mijn eerste reactie heb ik ook onderscheid gemaakt tussen de verschillende soorten oneindigheid. Ik had het daar namelijk over aftelbare en overaftelbare verzamelingen. Aftelbare verzamelingen zijn gelijkmachtig met de verzameling natuurlijke getallen en hebben dus alef 0 als kardinaalgetal, terwijl overaftelbare verzamelingen alef 1 als kardinaalgetal hebben. Overaftelbare verzamelingen zijn dus gelijkmachtig met de verzameling reële getallen.
    Het onderscheid tussen het potentiële en het actuele oneindige is mij bekend, evenals de bron (D.J. Struik) die je aanhaalt, aangezien ik zowel een (Amerikaans) Engelse als een Nededrlandse versie van Struiks geschiedenis van de wiskunde in mijn bezit heb. Struik was overigens een voormalige wiskundestudent van de universiteit in Leiden, iets wat onze wiskundemeisjes mogelijk ook al wisten.

  12. Jos:

    Beste Arno, nog een opmerking: overaftelbaar is volgens mij elke verzameling waarvan de elementen niet een-op-een te koppelen zijn met de natuurlijke getallen. Dat geldt dus ook voor een verzameling met bijvoorbeeld kardinaliteit aleph2. Zie:

    http://nl.wikipedia.org/wiki/Overaftelbaarheid

  13. Vincent:

    En dan nu de taartvraag. Stel ik heb een verzameling waarvan de elementen een volgorde hebben met de volgende eigenschap: de verzameling zelf is overaftelbaar (in de definitie van Jos), maar steeds als ik een willekeurig element uit deze verzameling kies is de verzameling van elementen kleiner/lager/eerder in de volgorde dan dit element aftelbaar.

    (vergelijk het met de natuurlijke getallen: de verzameling zelf is oneindig, maar als ik een getal kies is de verzameling van kleinere getallen eindig.)

    Vraag: is deze verzameling groter of kleiner dan de verzameling van reele getallen?

  14. Ionica:

    Bestaat zo'n verzameling?

  15. Vincent:

    Ja, als ordinaalgetal... Het is zeker niet mijn specialiteit.

    Het idee van ordinaalgetallen is dat je getallen ziet als een verzameling, en ieder ordinaalgetal is in het bijzonder de verzameling van alle kleinere ordinalen. Dus 0 'is' de lege verzameling 5 = {0, 1, 2, 3, 4} etc. Persoonlijk vind ik dit nogal een zieke manier om over getallen na te denken, maar dat terzijde.

    Dan heb je omega die als verzameling gelijk is aan N: het kleinste ordinaalgetal dat groter is dan alle eindige ordinalen, of, in andere woorden, de verzameling van alle eindige ordinalen. Dan wordt het pas echt leuk: je hebt omega + 1: als verzameling gelijk aan omega verenigd {omega}: het kleinste ordinaal dat groter is dan omega, en omega + 2, omega + 3 etc... en 2 omega: de verzameling van alle ordinalen van de vorm n of omega +n, oftewel het kleinste ordinaal groter dan al deze getallen.

    En zo kun je verder tellen: 2 omega + 1, 2 omega + 2, 3 omega, 4 omega, omega^2, omega^omega^omega... je kan het zo gek niet bedenken.

    Het vrolijke aan deze getallen is dat ze een volgorde hebben. Je kan ze min of meer tellen, hoewel je soms even een paar over moet slaan om aan de anderen toe te komen. Het treurige is dat deze getallen (vanaf omega) als verzameling allemaal even groot zijn: aftelbaar oneindig.

    De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen is zelf ook een orinaalgetal (hoewel je misschien een preciezere definitie van ordinaalgetal nodig hebt om dat te geloven): het kleinste ordinaal dat groter is dan alle aftelbare ordinalen.

    Hoe dan ook, 'de verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen' is de verzameling uit mijn laatste post: alle elementen (de aftelbare ordinaalgetallen) zijn geordend (met de 'element van'-relatie) en de verzameling elementen (ordinaalgetallen) kleiner dan x is gelijk aan (en dus zeker even groot als) x zelf en dus per definitie aftelbaar.

    De enige vraag die overblijft is waarom de verzameling van alle aftelbare ordinalen zelf overaftelbaar is. Hier komt het 'een ordinaalgetal zijn' om de hoek kijken: als hij aftelbaar was, was hij element van zichzelf, maar dat is uitgesloten in de constructie van ordinaalgetallen (hier heb je dus eigenlijk een nettere definitie van ordinaalgetal nodig, maar je ziet het wel ongeveer gebeuren in mijn slordigere beschrijving hoop ik).

    Ik denk dat de nette definitie zoiets zegt als "ieder getal x heeft een opvolger, gedefinieerd als x verenigd {x} en voor iedere verzameling ordinalen is de vereniging weer een ordinaal", maar ik weet het niet zeker.

  16. Vincent:

    Als we het toch over ordinaalgetallen hebben nog een leuk raadseltje:

    schrijf je favoriete getal op in termen van machten van 2.

    Bijvoorbeeld 27 = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 1.

    Nu doen we het volgende: vervang alle 2'en door 3'en en trek een af, vervang alle 3'en door 4'en en trek 1 af, vervang alle 4'en door vijfen en trek 1 af etc... dus de getallen worden afwisselend heel veel groter en een klein beetje kleiner:

    27 gaat naar 3^4 + 3^3 + 3^2 = 117 (hoop ik)
    dat gaat naar 4^4 + 4^3 + 4^2 - 1 = 4^4 + 4^3 + 4^1 + 1 + 1 + 1 = iets heel groots

    dat gaat naar 5^4 + 5^3 + 5^1 + 1 + 1 etc

    Bewijs of weerleg: uiteindelijk kom je, na lange omwegen, altijd terecht op 1 en dus op nul.

  17. Rinse Poortinga:

    "de kleinste ordinaal die groter is dan alle aftelbare ordinalen" kun je ook lezen als "de kleinste overaftelbare ordinaal".

    Het overaftelbare zit dus al in de definitie van deze ordinaal.

  18. Rinse Poortinga:

    Vincent's vraag "is deze verzameling groter of kleiner dan de verzameling van reele getallen?" kan niet beantwoord worden zonder dat men zegt welk axiomasysteem men aanneemt m.b.t. de verzamelingenleer. Het gaat hier om de zgn continuumhypothese, die onafhankelijke is van andere meer elementaire axioma's van de verzamelingenleer. Deze vraag stellen los van enig axiomasysteem is zinloos.

  19. Jos:

    Vincent, er zitten wat rekenfouten in je raadsel, geloof ik. Maar is deze reeks er een zoals je bedoelt? :

    2^1 -> 3^1 - 1 -> 4^1 - 1 - 1 -> 5^1 - 1 - 1 - 1 -> etc.

    ofwel

    2 -> 2 -> 2 -> etc.

    Deze gaat dus niet naar 1.

  20. Arno van Asseldonk:

    @Jos: Ik heb het even nagezocht en het is inderdaad zo dat een verzameling ook overaftelbaar is als het kardinaalgetal groter dan alef 1 is, maar we hebben dan wel met een verzameling te maken die gecompliceerder is dan een verzameling die gelijkmachtig is met de verzameling reële getallen.
    Laat V een verzameling met kardinaalgetal alef n-1 en W een verzameling met kardinaalgetal alef n zijn, dan is het duidelijk dat V en W niet gelijkmachtig zijn. Het blijkt nu dat W gelijkmachtig is met de machtsverzameling van V, ofwel de verzameling die alle deelverzamelingen van V bevat. Hiertoe behoren dus ook de lege verzameling en V zelf, maar welke verzamelingen nog meer?
    Voor n=1 is V gelijkmachtig met de verzameling natuurlijke getallen IN en W is dan gelijkkmachtig met de machtsverzameling van IN, die naast de lege verzameling en IN zelf alle eindige en oneindige deelverzamelingen van IN bevat.
    Voor n=2 is V gelijkmachtig met de verzameling reële getallen IR en W is dan gelijkkmachtig met de machtsverzameling van IR, die naast de lege verzameling en IR alle eindige, aftelbare en overaftelbare deelverzamelingen van IR bevat. Tot de aftelbare deelverzamelingen van IR behoren naast IN, Z en Q ook de verzameling A van de algebraïsche getallen, ofwel die getallen die oplossing zijn van een veeltermvergelijking. Tot de overaftelbare deelverzamelingen van IR behoort ook de verzameling transcendente getallen. Dit zijn de niet-algebraïche irrationale getallen, waartoe onder andere e en pi behoren. Het zal wel duidelijk zijn dat de machtsverzameling van IR gecompliceerder is dan de machtsverzameling van IN, en je kunt je waarschijnlijk wel voorstellen dat V en zeker ook W voor n>2 nog gecompliceerder zullen zijn dan voor de gevallen n=1 en n=2. Je hebt dus steeds gecompliceerdere overaftelbare verzamelingen naarnate n groter wordt, vandaar dat ik me bij het bespreken van het begrip overaftelbare verzamelingen beperkt heb tot het geval n=1.

  21. Jos:

    Arno, bedankt voor de uitleg, het is duidelijk.

  22. Vincent:

    Ha jos, goed dat je het vraagt, mijn formulering is wat klunsig.

    Je trekt 1 af maar herschrijft alles dan zo dat er alleen nog maar plussen in voorkomen. Dus 2^1 -> 3^1 - 1 = 1 + 1. (Eigenlijk 3^0 + 3^0). Die gaat in de volgende stap natuurlijk naar 1. (4^0 + 4^0 - 1 = 4^0 als je het heel formeel doet).

    In een iets groter voorbeeld: 2^2 -> 3^2 - 1 = 3^1 + 3^1 + 1 + 1 -> 4^1 + 4^1 + 1 -> 5^1 + 5^1 -> 6^1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 -> 7^1 + 1 + 1 + 1 + 1 etc.

    Weet iemand trouwens wie dit raadsel ooit bedacht heeft?

  23. HJ:

    De naam Goodstein is er aan verbonden, zegt althans Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem
    Dit 'raadsel' werd als voorbeeld gegeven in een lezing van Frits Beulers, "The limits of reason", maar nu vermomd als Hydra. Iedere kop die je eraf slaat, komt in veelvoud terug.

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.